教師資格《初中數(shù)學學科知識與能力》第一章數(shù)學學科知識（中）

130[簡答題]

141[6a

A=（||B=

已知矩陣123jI-1M相似，求a,b的值，并求可逆矩

陣P,使pTAP=B°

參考解析：

兩矩陣相似,則tr（A）=tr（8）（矩陣的跡：主對角線元素之和）.AI=8|。因為.所以有

|A￡-4|='14;=（A-5）（A+I）=O,解得入=-1或5：

-2A-3|

當A=-1時,（-E-A）=：]-[：）:].特征值-1對應(yīng)的特征性向窿為4=（-2.1）、

當A=5時.（5E-A）=[:；]=[：,特征值5對應(yīng)的特征性向量為q=

r-21],,r-101

令尸「（%.%）=|IJ=4=[Q5]o

因為兩矩陣相似，所以矩陣B的特征值也為T和5。進而有，

當人一時,（.”8）=「；m特征值_]對應(yīng)的特征性向鼠為0,二（T/）'；

當入=5時,（5E-8）=「；；]=[：:,特征值5對應(yīng)的特征性向最為氏=

令〃=（用9）=[IJ.使得B'BP：=4=[0J,

由=P；'BPZ^PZP；'AP,P：'=B,

―引「?Al

存在可逆矩陣…日=「"]「；[]=「；）11=:「使

得P'AP=B

131［簡答題］

?2x+%,-+1=0

求通過直線~~~'且與平面*+y+z-1=0垂直的平面方程

［x+2y-z-2=0,

參考解析：

?(2x+y-2z+1=0,

過直線、、,的平面束方程為入(2x+y-2z+I)+〃(x+2>-z-2)=0,即(24+〃)x+

［x+2y-z-2=O

(A+勿)>-(24+〃)：+人-3=0.其中不同時為0,要使所求平面與平面x+y+1-I=0垂直.則有

(2A+M)x1+(A+^i)x1-(2A+M)*1=0,整理得人=-0,不妨令〃=-1,則A=2,所求平面方程

為3x-3z+4=0。

132［簡答題］

-12r

設(shè)實對稱矩陣4=2I2,求正交矩陣Q,使得Q『AQ為對角矩陣

.221J

參考解析：

A--2-2

|A￡-A|=-2A-I-2=(A-5)(4+=0.實對稱矩陣A的特征值為-1(二重).

-2-2A-1

?-2-2_2'

5。當儲=-1時,(-E-A)-2-2-2000,可得實對稱矩陣的特征值-1對應(yīng)的特征向

--2-2—2..000.

10-1'

；當時，(

破叫=(-1,1,0),,a2(-1.0,l)TA=55E-A)01-I,可得實對

000.

稱矩陣的特征值5對應(yīng)的特征向量％=(1.1.1)T

因為實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向最相互正交,所以q與％.a：正交.從而只需對a-a：施密

1=

特正交化，令氏=%=(-1.1.0),fl2=a：-?(-T">~°對9P-.a，單位化,，=

(P?</>\\/2J

備=(-冬冬。)J會十*要箝力=島=停與副實對稱矩陣A經(jīng)正

7-27-6

26

00巨

76-

交變換Q"Q可以得到對應(yīng)的對角矩陣為o-10,其中Q=26

.005.而

OT

133［簡答題］

1

求由y=IInx|與直線x=10,x=10和x軸所圍成圖形的面積。

參考解析：

(99一八81

如圖,S=J!IlatId.t=Jt(-Inx)Lx+JInxdv=-(xlrtr-x)—InlO——

1010

134［簡答題］

設(shè)&尸(1,2,-1,-2)T,a2=(l,1,-1,-1)T,a3=(-l,0,1,一1)T,

B尸(2,5,-1,-5)T,M=(2,5,1,-5)T,Wi=L(a“a2,a3),W2=L(3

i,32)(Wi,%分別表示

由a”a2,a3和"，B2生成的線性空間)。

(1)求MGWz的維度；(3分)

⑵求MGW2的一個基。(4分)

參考解析：

(1)由交空間的維數(shù)公式知.dim(町D%)=dim%+dim%-dim(%+W\),其中dimU,=

L-2-1-1-5-5J

(2)由(I)知dim(%Cl?,)=I,所以交空間的一個基只有一個非零向&t.不妨設(shè)為題(明~O).則存在

一組實數(shù)。！，七,"一61.A,有?ia,+a,a2+am=人仇?力"=ajoL八?九也不全為0),

(31,@3,-匕，-b2)T即為線性力程組(a1,a2,a3,Bi,P2)X—0

的一組非零解。計算得線性方程組的一組非零解為(6,-2,0,-3,1)T,

則a。=6a|-2a2+0a3=38「82=(4,10,-4,-10)T,即為叫AW2的一個

基。

135［簡答題］

已知函數(shù)Ax)=ln(l+x)-xB

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值；

(2)設(shè)a>0,b>0,若b》a,

①求證#"等，e為自然對數(shù)底數(shù)；

②若g(x)=xlnx,求證:g(a)+(a+6)ln2^g(a+6)-<(6)o

參考解析：(1)令/'(幻=|上T=°?解得x=0,當x>0時，f'(x)(x)〈O,故

［0,十8)為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；當-l〈x<0時,f'(x)>0,故(-1,

0)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間。當x=0時，函數(shù)f(x)取得最大值0。

⑵①由⑴知函數(shù)f(x)在x=0處取得最大值，所以f(x)W0,即

In(1+x)-xWO,

假貯磬則有M勺)智W。,即喏w手喈wW

②g(x)=xlnx,g(x)=lnx+1,g”(x)=l/x當x>0時,g(x)在(0,+

8)上是上凹的，又b2a>0,于是確2刃2卜從而

a\na^b\nb^a^b.a^b....,..c+b

/〒，整理得爾"雨4㈠+⑥k仙方^也就是gg)+(a+b)ln22

g(a+b)-g(b)o

136[簡答題]

設(shè)f(x),g(x)在[0,1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(O)：O,f'(x)20,g'(x)2

0o證明:對任何a￡[0,1],有0("(x)&+Jbx)g'(x)&M"a)冢I)。

參考解析：證明：設(shè)"勸=〃("(，)&+仇)g()d-g(i),又f(x),

g(x)在[0,1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則F'(x)=g(x)ff'(X)-

f)(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)],由于xe[0,1],f，(x)20,g'(x)20,

因此Fj(x)W0,艮?F(x)在[0,1]上單調(diào)遞減。注意到

F(l)市+g'(t)dt-/(l)g(l).

而1g(i)/'(t)也=/d/{?)=g(r)/U)-g'(t)山=犬1)g(l)-(Al)g'(l)dr.

JQJO0JoJQ

故F⑴=0。

因此x￡[0,1]時，F(xiàn)(x)20,

由此可得，對任何a￡[0,1],有￡g(x)f'(x)*+/X，)g'(x)&M{a)g(l)。

137［簡答題］

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足：對任意x￡D,存在常數(shù)M>0,都有

|f(x)|WM成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)

的上界。已知函數(shù)f(xhl+x+ax)

⑴當a=T時，求函數(shù)f(x)在(-8,0)上的值域，判斷函數(shù)f(x)在(-

8,0)上是否為有界函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)f(x)在x￡［l,4］上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的

取值范圍。

參考解析：⑴當a=-l時，/⑴=-—(廠司工對您軸為2所

以f(x)在z￡(-8,0)上單調(diào)遞增，所以/*<川"~(°百)二屋故函

數(shù)f(x)在(-8,0)上的值域為(-8,1)0所以|f(x)|￡［0,+8),所以

不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|WM都成立，故函數(shù)f(x)在(一8,0)上不是

有界函數(shù)。

(2)若函數(shù)f(x)在［1,4］上是以3為上界的有界函數(shù)，則|f(x)|W3在

［1,4］上恒成立，

-4-x2-x

即-3Wf(x)W3,所以-3Wax2+x+lW3,所以一？-7,

即f-+***在*e」㈤上恒成立，

所以(升)_?"(?二

令厚則止［刊,

所以iFjWaWd)je［p1］

令g(t)=-4t2-t,則式機Y(0咕十5勺

令h(t)=2t2-t,則W)=2(T)-「［卷小

所以實數(shù)a的取值范圍為卜亍「父1

138［簡答題］

已知函數(shù)f(x)=ex+2x?-3xo

⑴求曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線方程;

(2)求證函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上存在唯一的極值點，并用二分法求函

數(shù)取得極值時相應(yīng)x

的近似值(誤差不超過0.2);(參考數(shù)據(jù)—2.7,1.6/=1.3)

⑶當x〉l/2時，若關(guān)于x的不等式/(幻=?'+(所3)、+1恒成立，試求實

數(shù)a的取值范圍。

參考解析：(l)f(x)=ex+4x-3,則f'(l)=e+l,又f(l)=eT,.?.曲線

y=f(x)在點(If(1))處的切線方程為y-e+l=(e+1)(x-1),即(e+1)-y-2=0o

(2)Vf*(0)=e°-3=-2<0,f*(l)=e+l>0,Af(0)?f*(l)<0,令

h(x)=f，(x)=ex+4x-3,

則h'(x)=eX+4>0,(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，「.f'(x)在［0,1］上存

在唯一零點，

.?.f(x)在［0,1］上存在唯一的極值點。

取區(qū)間［0,1］作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下：

區(qū)間中點坐標中點對應(yīng)導(dǎo)數(shù)值取區(qū)間［%也］\a,~b.

[0,1]1

0+1SA<

x0=—O.5/'(%)=0.6>0[0,0.6]0.6

0+0.6人,

/,(?!)?-0.5<0[0.3.0.6]0.3

X產(chǎn)2=0-3

0.3+0.6

Xj=-2-=0n.4A5C

由上表可知區(qū)間［0.3,0.6］的長度為0.3,所以該區(qū)間的中點x0=0.45,

到區(qū)間端點距離小于0.2,因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的

相應(yīng)x的值。.\y=f(x)取得極值時，相應(yīng)x/0.45。

⑶由"式)=："-3)"1得eI+2x2-3x^yx2+(a-3)x+l.

即

■:aW

2*

e,—1-x1-!c*(x-l)--^-*2+l

今g(幻=-一,則/⑴~1-

Vxr

人夕⑴:e”(x-l)-|.則，(幻=x(r*-l),

>°，-"動在隹，+8)上單調(diào)遞增,??“)云后卜也浜外

因此，(幻>0,故g⑸在田,+8).上單調(diào)遞增,

8_r9

g(x)叫引=T~=2小了，

則2

二.a的取值范圍是a=石-%

139［簡答題］

試分別敘述羅爾中值定理和拉格朗日中值定理。若以s(x)記由(a,〃a)),

(b,/(b)),(x,/(x)))三點組成的三角形面積，試對S(x)應(yīng)用羅爾中

值定理證明拉格朗日中值定理。

參考解析：羅爾中值定理：若函數(shù)“X)滿足如下條件：

(l)〃x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

(2)/(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)/(a)=/(b),

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得/'(&)=0。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)“X)滿足如下條件：

(l)〃x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

(2)“X)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

就在內(nèi)至少存在一點A使得/處).

n-a

在xOy面上考慮，記由A(a,f(a),0),B(b,f(b),0),C(x,f(x),

0)三點組成的三角形面積S(x),則

ABb-a0

/(x)y(a)<

u/(x)-/(a)0

由向身矢量根的幾何意義得

6-fl

c>|=J

x-aKG-fS)

若在上連續(xù),在(a.b)內(nèi)可導(dǎo),又S(G=SQ)=O,所以由羅爾中值定理知：在(a.6)內(nèi)至少存在一點

人使得/'⑹丸

又$(，)=0lf(x)(6y)-6b)Wa))］,故/

I1J(X)/0-a

140［簡答題］

如下圖所示，設(shè)0<a<b,函數(shù)/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)可微且〃x)>0,

/(a)=/(b)。設(shè)i為繞原點0可轉(zhuǎn)動的細棍(射線)，放手后落在函數(shù)〃x)

的圖像上并支撐在點A("/?))上，從直觀上看。

((4)=華。(*)

證明函數(shù)尸(x)h3在〈處取得最大值，并由此證明(*)式。

證明：函數(shù)/(工)在［明川連續(xù).(a,b)可,則「(幻=色)在［*6］連線，(*6)可微。F(x)-

與3,令F(x)=O,則F(G在(風力存在極值點滴足((*)工-/>)=0,即為x=<e(%6)是函數(shù)FG)的極值

點，且

乂在(a.b)內(nèi)J(a)=/(6)=O,且/(x)>0,則F(a)=F(6)=O,且F?)>F(a)=F(6),所以函數(shù)F(x)=A°在《處

取得址大值一

141［簡答題］

證明：連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)；連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)

中只有一個是奇函數(shù)。

參考解析：

設(shè)/G)是連續(xù)的奇函數(shù),F(z)=j';U)也￡是/(X)的所有原函數(shù).

而F(T)=|/(，曲+<?.令.則

#o

F(r)=(/(1)也=；/-u)d(-u)+C=-:|/u)duK=F(x),

所以F(x)是偶函數(shù)即連續(xù)的奇函數(shù)的切原函數(shù)皆為偶函數(shù),

若是連續(xù)的偶函數(shù).FQ)=是“動的所有原函數(shù)，有

F(-x)=L/O)(U=^o/(-u)cl(-u)+C=-jJ(〃)du+C=-F(z)+C.

于是，只有當C=0時才有F(T)AF(T).即連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中只有一個是奇函數(shù)。

142［簡答題］

已知曲線A：，'也”；OWr<品)，其中函數(shù)/⑴具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且〃O)=OJ(t)>O(Ovv

?y=cos/'/'

半),若曲線廠的切線與N軸的交點到切點的距離恒為1。

⑴求函數(shù)/(t)的表達式。

⑵求此曲線L與x軸和y軸圍成的無邊界的區(qū)域的面積。

⑴設(shè)切點坐標為g),則在謨點的斜率為含弓需，

于是切然方程為力)，令尸o.解科《=嘿/?'⑴引，)，

于是曲線L與X軸的交點坐標為］：黑/'⑴如)?0).

根據(jù)兩點之間的距離公式有

V(Gow.=l.

于是可解得r3)=陪,?o,刃。

從而有

小)=〕/'。池=1普也

s=；(secx-coirf)dx

=lnl8ec/+taitfl-RirU-^C

=ln(Bec?+tan/)rin/-C0

又〃0)=0,所以/<0)=dn(8rcgUnO)rinO*C=O,，9C=0,故函數(shù)/(/)=ln(seei+la")Tinr

(2)根據(jù)卷收方程面積計算公式布

^.2.XX.

S=|y(t)dx(X)?|cosl*/*(l)d/=「cosP"?也二：sin^td/u：.

參考解析：故此曲面”與“軸和1軸所圉成的無邊界的區(qū)域的面積為品。

143［簡答題］

設(shè)廠在[a,b]上連續(xù)，滿足

/([a,6])C[a,6]a

證明：存在X06：。,6],使得/(右)=%0

參考解析：

由知,對任何同有a寸*)0.特別地，有a?<B)以及

若a=#a)或/(6)=6,則取五u=a或M從而有〃知)=R?，F(xiàn)設(shè)a6a)與〃6)<6O令

則尸(Q)MQ)TI>0.F3)乎6)-kO,由根的存在性定理，存在aw(a,6),使得丹相)=0,即/(勺)》。

144[簡答題],

22

設(shè)/(x)=-2a+￡(t-a)dr

⑴將/(X)的反大值M用a表示出來；(5分)

(2)將(1)中的M看作a的函數(shù)，求M取極小值時a的值。(5分)

【解析】(1)由題知/'(*)=/-//?(*)=2*,

令/'(])=/-a2=0,得5=a.町二-a.

則=2a/*(-a)=-2a。

①當a>0時J"(-a)=-2a<0.

則M=/(-a)=-2a?((t2-a2)dl=-2a?

J。

②當a<0時/"(Q)=2a<0.

則.4，=J\G)?-2a?J*(t2-a2)d/=-2a

參考解析：-1■心

(2)當a>0時，普=-2+2a*=2(a2-1),

令翟=0na=l.

則學=4a|“,=4>0,

所以a=I時,M取極小值。

當a<0時.華=-2-2a2=-2(/+1)<0.

an

M單調(diào)遞減，故此時M無極值。綜上所述，可知當M取極小值時，a=lo

145[簡答題]

設(shè)矩陣4=[1-3]。證明：A可對角化，并求可逆矩陣T,使得TWT

為對角矩陣。

參考解析：由于矩陣A的特征多項式為

“7二-1…戶…所以二階矩陣A具有兩個不相

等的特征值-2和1,從而A可對角化。

求出線性方程組（E-A）x=。的一個基礎(chǔ)解系.=）,即矩陣A的屬于特征值I的一個特征向fit;

求出線性方程組（-2￡-A）JT=0的一個基礎(chǔ)解系a：=J.即矩陣A的屬「特征值-2的一個特征

向量

r4l-i,r1Oi

令T=.則T'AT=

111I。-2J

146［簡答題］

M.x+￡?.y+C［Z+0］=0,

直線方程,

1兒4++Gz+a=0的系數(shù)滿足什么條件才能使：

（1）直線與x軸相交；（2）直線與x軸重合；（3）直線與x軸平行。

參考解析：

Mi、?匕=0.

（D紅線與*軸相交等價r存在A軸上唯一點（*。,0.0）滿足直線方程,等價干方程組,有

4,x+D,=0

4%

唯一解.等價于人.也不全為0.且產(chǎn).4"

I'<*2"2I

f4,X+"=0,

（2）在線與x軸布合等價于x軸上任意一點（*.0.0）都滿足在線方程.等價尸方程組有無

［4,.t+D,=0

窮多解.等價于4=4,=D,=D,=0

,4.x++C,z+I）.+AD.-0.

（3）在線與x軸平行等價于存在不全為。的使得直線1+外，+（「.〃.、〃_（）與工軸

事合（這里直線方程中的兩個平面分別與原直線方程中的兩個平面用合或平行）,由（2）知這等價產(chǎn)丁=

心=D,+AD,=D,+皿=0.再結(jié)合白〃,.△〃、不全為0得=4=0.且仇不全為0

147［簡答題］

/ain/\—zan

設(shè)f（x）=lim.，討論函數(shù)/（X）的連續(xù)性，并指出間斷點的類型。

\sinx/

參考解析：

￡MflB■

sin/\""一??1./sin/-8inx\WM，?，《??>

—=lim(l+―：——)=f由于是初等函數(shù),且僅當”=AF(。W

(sinx/，―\sinx/

Z)時無意義,所以函數(shù)/(工)的間斷點為，=k“(kEZ)

當k=。時.li“ir-'M?=lim<,???=妙.此時在x=kit處的左、右極限存在［［相等；

*?R??.

當A=-I,-3.-5.…；或4=2,4,6,…時,lim=+x,lim/嬴=0.此時在x=ky處的右極限

*a—?W.

不存在；

當上=1.3.5,…；或人=-2,-4,-6,…時.lime~=0.lim=?x.此時在t=kir處的左極限不存

1—■do.

在因此,X=0是/(x)的可去間斷點,X=Ar凌#0.*EZ)是/(x)的第二類間斷點

148［簡答題］

設(shè)函數(shù)f(x)￡C［a,b］,并且對任意的x￡［a,b］,必存在y￡［a,b］,

使得|f(y)|W

1

21f(x)|。證明：必定存在之金［a,b］,使得f(W)=0。

參考解析：

證明：任取與e［"同.由題意.三修G［叫上,使得l〃xl|wg|/(*。)|;同理,對于孫，三q6［a.&］.使

得|W町)|W：|/(而)|、以此類推?可以得到［叫6］上的一個數(shù)列*?況1滿足

I.容易計算.lim/(x.)=0

由于數(shù)列;X”l有界,所以存在U.I的一個收斂的子列！X.Jidlimx.=f,則根據(jù)函數(shù)連續(xù)性可得.

/(f)=)=lini/'tx.)=0

149［簡答題］

設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且對于滿足fg(*)&=0的任意連續(xù)函

數(shù)g(X),都有1/⑴屋,處=°,證明：存在之￡［a,b］，使得f(x)=f(O

恒成立。

參考解析：

Ax)在閉區(qū)間［a."上連續(xù)，根據(jù)積分中值定理知,存在f6［明匯使得&=(fc-a)/(f)=

進而有/匕(幻-/(f)：出=0

取4)(x)=/(*)-/(f),則心=0./y(f)go(X)dx=0.①，由已知可得,［/(x)g°(x)dx=0.②。

②-①得j［/(x)-f(f)：gn(x)dr=0,即(g：(x)去=0,解得g0(x)=0,進一步得〃x)結(jié)

論得證

150［簡答題］

設(shè)有直線L1和L2的方程分別為:

⑴證明L1與L2異面；(2分)

⑵求兩直線之間的距離；(2分)

(3)求與兩直線距離相等的平面方程；(3分)

(4)求與兩直線都垂直相交的直線方程。(3分)

參考解析：直線LI,L2上分別有定點Pl(-2,2,-9),P2參，一6,-4),

其方向向量分別為&=(0,1,8),s2=(l,2,12)o

0I8I

(I)由于xs］)?冗A；=I212=-81.即向fits…力.次不共面,所以兩面線異面。

3-85!

|<74

(2)(方法一)由于/X，,=018=-4/+電-&.故過"與。平行的平面"的法向量為(-4.8.

II212

-1)且過戶41.-6,-4),其方程為-4(x-I)?8(y+6)-(:+4)=0,整理得4x-8v+z-48=0

14x(-2)-8x2+1x(-9)—48?

則求兩直線間的斷離轉(zhuǎn)化為求點P,到平面7T的距離.d=--------------====-----------=9

?/4-?(-8)-?r

(方法二)公垂線的方向向IH=&xXj=(-4.8,-1).哂=(3.-8.5).則兩直線之間的距離等于向

-----?-I八」產(chǎn)；11-811

歐。產(chǎn)：在向減/方向上的投影的長度.即d=―有產(chǎn)=二丁」=9

(3)由題意知,所求平面過線段的中點《一-2.--y),其法向盤為=(-4.8,-I).故

所求平面方程為-?x+!)+8(y+2)-(：?v)=。，即4x-8y+z-?=0

(4)設(shè)公垂線為/,其方向向量/=J,xj2=(-4.8.-1)€/??/,相交所成平面g的法向tiUxa=

iJ*

-48-I=60+3。-3=(65.32.-4).又平面g過々(-2.2.-9).所以其方程為65(*+2)+

0I8

32(y-2)-4(x+9)=0.整理得.65x+32y-4：+30=0。

-X-!y?6j?4

犯與4的交點即為公垂線與A的交點Q,由一廠二一二二TT'解得Q(2,-4.8)。

,65x?32〉-4*?30=0.

工—

所以公垂線的方程為?一—^2=y.=4T8。

-QX-I

151［簡答題］

設(shè)￡1,￡2,￡3,￡4為數(shù)域P上4維線性空間V的一個基，V上的一

■1o2r

A=-1213

1255

個線性變換。在這個基下的矩陣2-21-2,求。的核。

(0)與。的秩。

參考解析:

o2r

213

、.，的秩對矩陣A進行初等行變換,A

.所以r(A)=2,即得。的秩為2

o-'(O)=X\a(X)0，乂<7在基號,￡?,￡、,心下的矩陣為A,所以。T(0)為齊次線性方程組AX=

。的解空間易知AX=0的基礎(chǔ)解系為4=(-2.-:[,。)[七=(-1.-2.0.1),.通解為九

10T

(-2.+勺(-1.-2.0.1)、所以核0飛0>=|X|X=k,(-2.-v--)+*2(-l.-2,O,l),

kl,k2為任意實數(shù)。

152［簡答題］

在尸中,求由基61,F2,￡,到基可|,可2，43的過渡矩陣.其中

F,=(1,0,0)\r1J|=(1,1,-1)T,

TT

F2=(0,1,0),,IJ2=(0,2,1),

￡,=(0。1)T［2=(1.1,4)1

是否存在非零向量C,使它在基J，￡2,￡3和基n”U2,。3下有相

同的坐標。若存在，求出該向量的坐標；若不存在，說明理由。

參考解析：

or0I'

由題意得.(殖)=(￡］,￡：.￡、)21.令A(yù)=2I即為由基勺.%.當?shù)交?

14.

小》的過渡矩陣

**r

設(shè)存在非零向城，在兩組荔下的坐標均為(A.Xz.x,)］由坐標變換公式知.(/，必,*力1滿足盯=

"0'

0.即(七.小.3)，是齊次級性方程組(E-A)*=。的一個非

.0.

00-1|

零解.乂|E-4|=-1-I-1=-2*0.所以齊次線性方程組(E-A)x=0只有零解,因此不存在非

1-1-31

零向廿，布基￡.￡：.￡、和基殖.，人卜.有相同的坐標

153［簡答題］

設(shè)V是n,維歐氏空間，aW0是V中的一個固定向量，證明：

(l)Vl={x|(x,a)=0,x「V}是V的子空間;(5分)

(2)V1的維數(shù)等于n-L(5分)

參考解析：(1)任取x,yeVl,貝!J(x,a)=0,(y,a)=0。

因為(x+y,a)=(x,a)+(y,a)=0,

所以有x+y￡Vl,即加法封閉；

設(shè)k￡P(guān),有(kx,a)=k(x,a)=0,

所以kx￡Vl,即數(shù)乘也封閉，

所以VI是V的子空間。

⑵設(shè)x=(xl,x2,…，xn)￡Vl,貝!!(x,a)=alxl+a2x2+…+anxn=0,因

為aWO,所以r(a)=L進而可知,齊次線性方程alxl+a2x2+…+anxn=O

含有n-1個線性無關(guān)的解向量。這n-1個線性無關(guān)解向量是VI的一個

基，所以VI的維數(shù)等于nT。

第二節(jié)代數(shù)與運算

1［單選題］已知"i+>3Kb=2i+R+4hc=獻+21/+左是空間中的三個向量，貝|j

“m=0且AO重，，b.c三向量共面”的()

A,充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

正確答案：A

3

m

22O,，

所

以

參考解析：三向量共面的充要條件為(aXb)?c=0,即"

m+8n-3mn=0o當

m=0且n=0時，等式成立，可推出三向量共面;當三向量共面時，無法

推出m=0且n=0。故選Ao

2［單選題］等比數(shù)列｛an｝的各項為正數(shù)，且

a^a^a^a-,=18.JJlJlogta,+log,a,+'"+log,aIO=()

A.12

B.10

C.8

D.2+log35

正確答案：B

參考解析：由等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)可知，a5ae=a4a7=9,而

Iog：iai+log3a2+---+log3a1o=log3a1a2---aio=log3(aialo)3=51og3aia10=5X2=10o

3［單選題］設(shè)A為任意n階矩陣，下列為反對稱矩陣的是()

A.A+AT

B.A-AT

C.AAT

D.ATA

正確答案：B

參考解析：*(A-AT)T=AT-A=-(A-AT),則A-為反對稱矩陣，故選B。

4［單選題］使復(fù)數(shù)為實數(shù)的充分而不必要條件是()

A.2=2

B.|z|=z

C.Z?為實數(shù)

D.z+z為實數(shù)

正確答案：B

參考解析：占6WR；IZI=Z=MWR,反之不行，例如z=-2；z2為實數(shù)不

能推出z￡R,例如z=i；對于任何z.z+z都是實數(shù)。故選B。

5［單選題］若曲線y=x?的一條切線Z與直線x+6y-3=0垂直，則2的方

程為()

A.6x-Y-9=0

B.x+6y-9=0

C.6x-y+3=0

D.x+6y+3=0

正確答案：A

參考解析：曲線y=x2的一條切線z與直線x+6y-3=0垂直，所以切線

的斜率為6,又y'=2x,即2x=6,解得x=3,此時y=9,代入點斜式方程

得到切線方程為6x-Y-9=0。

afci

6［單選題］已知二階矩陣41c』的行列式|A|=T,則(A*)-1=()

-fl-卜

A.-c-d.

d-b

B.-ca

-db,

C.c-a

ab

D.c(1

正確答案：A

參考解析：擊v故選A。

x=t'+2t,

7［單選題］曲線L=，'+I上對應(yīng)的點在t=2處的切線方程為()

A.y=2x+7

B.y=-2x-7

C.Y=2x-7

D.Y=-2x+7

正確答案：C

此=匕-3,3?=2

參考解析：當t=2時，(x,y)=(8,9),又因為出”2x'-2z+2J,

因此切線方程為y-9=2(x-8),即y=2x-7o

8［單選題］已知向量向量“(6,-1),則3/的最大值、最小

值分別是()

A.4反0

B.4.2/

C.16,0

D.4,0

正確答案：D

參考解析：，艮里瞿意可得:

I2d-bI=■尸二v4o,-4g,OS=、4-4(、3cos^-sind)+4=

Jin(尹)喈叫=-i時"2a-b|有最大值為4,當sin(n/3T)=1

時，|224)|有最小值為0。

9［單選題］下列矩陣中，()是正定矩陣。

■12-3-

275

A.L-350.

■12-3'

245

B.-357

■5-20'

-26-2

C.L0-24.

"520'

26-3

D.L0-3-1.

正確答案：C

參考解析：由正定矩陣的順序主子式大于0,計算可得C選項為正定

矩陣。

10［單選題］設(shè)向量組al,a2,a3,B1線性相關(guān)，向量組al,a2,

a3,62線性無關(guān)，則對于任意常數(shù)k,必有()。

A.a1,a2,a3,kB1+B2線性無關(guān)

B.a1,a2,a3,kB1+B2線性相關(guān)

C.a1,a2,a3,B1+kB2線性無關(guān)

D.a1,a2,a3,Bl+kB2線性相關(guān)

正確答案：A

參考解析：由于k為任意常數(shù)，令k取某些特殊值可以排除錯誤結(jié)論。

當k=0時，顯然B、C不成立；

當k=l時，D不成立；事實上，由題設(shè)al,a2,a3,B2線性無關(guān),

如果al,a2,a3,B1+B2線性相關(guān)，而al,a2,a3線性無關(guān),

則Bl能由al,a2,a3線性表示，而B2不能，于是B1+B2不能由

a1,a2,Q3線性表示，所以D不成立，僅A入選。

11［單選題］設(shè)A是n階矩陣，則|(2A)*|=()

A.2n|A*|

B.2"A*|

C.2n-|A*|

D.2n2|A*|

正確答案：C

參考解析：|(24)?|=|2A|i=(2"4|)“'2"fIII,故選C。

12［單選題］設(shè)a,b是兩個非零向量，則下面說法正確的是（）

A.若|a+b|=|a|-|b|,則a_Lb

B.若@_11）,貝!J|a+b|=|a|Tb|

C.若|a+b|=|aHb|,則存在實數(shù)A,使得a=Ab

D.若存在實數(shù)入，使得a=、b,則|a+b|=|aHb|

正確答案：C

參考解析：利用排除法可得選項C是正確的，:|a+b|=|aHb|,則a,

b共線,即存在實數(shù)入，使得a=Ab。選項A：|a+b|=|a|-|b|時,a,b

可為異向的共線向量；選項比若a_Lb,由正方形得|a+b|=|a|"—|b|不

成立；選項D：若存在實數(shù)A,使得a=Ab,a,b可為同向的共線向量此

時顯然Ia+b|=laHb|不成立。

a2a3a(2C|-5b136,

工b2b、二m,則2C2-5623b1=

13［單選題］若&CJCy(ly2c3-*56334()

A.30m

B.-15m

C.6m

D.-6m

正確答案：D

參考解析：由題意知

%2c(-56)36,;IO|If1-5bt

%2c2~5b,3ij=32r2~5b2

a52c)-5bi3b3\a,2c「5b、

由

1ct5

匕

-6xa,8Q=-66b2=-6m

如b、Cj，故選Do

14［單選題］設(shè)a￡Z,且0<a<13,若5產(chǎn)+0能被13整除，則a=()

A.0

B.1

C.11

D.12

正確答案：D

參考解析：因為51=52-1,所以（52-1嚴=%,52*O2叫…-啕32、1。

又因為13152,所以只需131（l+a）,又0Wa<13,所以a=12,故選D。

15［單選題］設(shè)A是任一n階矩陣，下列交換錯誤的是()

A.A*A=AA*

B.AmAp=ApAm

c.ATA=AAT

D.(A+E)(A-T)=(A-E)(A+R)

正確答案：C

參考解析：因為

4A*=A*A=IAIE.A"A*=4^,(4+E)(A-E)=(A-E)(A+J?)=A2-E,

所以選項A,B,D正確。而例如

T/I2\/I3\j54AT_J3Hl2\=/1014)

AA\34)(24)=(1125),\24)(34)=(1420),故選項C不正確。

16［單選題］若從1,2,3,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，

其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（）

A.60種

B.63種

C.65種

D.66種

正確答案：D

參考解析：1,2,3,…，9這9個整數(shù)中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。要

想同時取4個不同的數(shù)其和為偶數(shù)，則取法有：4個都是偶數(shù)，1種；2

個偶數(shù)、2個奇數(shù)，c：c”60種；4個都是奇數(shù)U=5種。所以不同的取法

共有66種，故選D。

17［單選題］已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正

確的是（）。

A.a〃b

B.a±b

C.a+b=0

D.a+b=a-b

正確答案：B

參考解析：由|a+b|=|a-b|平方，可得a?b=0,所以a_Lb,故選B。

18［單選題］對于常數(shù)m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=l的曲線是橢

圓”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

正確答案：B

S>0,

n>0,

參考解析：方程mx2+ny2=l的曲線表示橢圓，常數(shù)m,n的取值為bn#明

所以，由mn>0得不到方程mx2+ny2=l的曲線表示橢圓，因而不充分；反

過來，根據(jù)該曲線表示橢圓，能推出mn>0,因而必要，故選B。

19［單選題］已知直線y=x+2與拋物線丫=2*2心>0）交于A,B兩點，0為

拋物線的頂點，若加.