7.1.2

全概率公式1.條件概率公式2.概率的乘法公式復(fù)習(xí)引入3.條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系思考：從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？問題探究下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).

因?yàn)槌楹灳哂泄叫裕缘?次摸到紅球的概率也應(yīng)該是.但是這個(gè)結(jié)果并不顯然，因?yàn)榈?次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.332事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果（紅球或藍(lán)球）表示為兩個(gè)互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)問題探究利用概率的加法公式和乘法公式，得用

Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”，i=1,2.

按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率.R2探究新知思考：按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件B表示為n個(gè)(A1,A2,....An)互斥事件的并,根據(jù)概率的加法公式和乘法公式，如何求這個(gè)復(fù)雜事件B的概率？A1A2A3AnA4…B

加法公式

乘法公式探究新知全概率公式概念形成

一般地，設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n，則對(duì)任意的事件

，有我們稱上面的公式為全概率公式．全概率公式使用條件:①A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；

A1A2A3AnA4…B③P(Ai)>0,且.8對(duì)全概率公式的理解

某一事件B的發(fā)生可能有各種的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai

兩兩互斥，構(gòu)成一個(gè)完備事件)所引起，則B發(fā)生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因求結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).解:典例分析例1某學(xué)校有A,B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.

設(shè)事件

寫概率

代公式全概率公式求概率的步驟：1.設(shè)事件：把事件B(結(jié)果事件)看作某一過程的結(jié)果,把A1,A2,…,An

看作導(dǎo)致結(jié)果的若干個(gè)原因；2.寫概率：由已知，寫出每一原因發(fā)生的概率(即P(Ai

)),且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(B|Ai

))；3.代公式：用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(B)

).由因求果方法總結(jié)例2有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺(tái)車床加工的概率。A1A2A3A3BA1BA2B典例分析解:

設(shè)事件

寫概率

代公式思考：例5中P(Ai),P(Ai|B)得實(shí)際意義是什么？探究新知

P(Ai)是試驗(yàn)之前就已知的概率，它是第i臺(tái)車床加工的零件所占的比例，稱為先驗(yàn)概率.

當(dāng)已知抽到的零件是次品(B發(fā)生)，P(Ai|B)是這件次品來自第i臺(tái)車床加工的可能性大小，通常稱為后驗(yàn)概率.

如果對(duì)加工的次品，要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任，那么

就分別是第1,2,3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額.已知結(jié)果求原因已知原因求結(jié)果*貝葉斯公式：將例5中的問題(2)一般化，可以得到貝葉斯公式.探究新知注：貝葉斯公式是由英國數(shù)學(xué)家貝葉斯(T.Bayer,1702-1762)發(fā)現(xiàn)的，它用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.

設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n，則對(duì)任意的事件

，P(B)>0，有對(duì)分子用乘法公式對(duì)分母用全概率公式①我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，②根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，③而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，④如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第i個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公式*貝葉斯公式的使用：執(zhí)果尋因例3在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1;發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.(1)分別求接收的信號(hào)為0和1的概率;*(2)已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)是1的概率.典例分析發(fā)送0(A)

接收0(B)

解:解:1.現(xiàn)有12道四選一的單選題,

學(xué)生張君對(duì)其中9道題有思路,

3道題完全沒有思路.

有思路的題做對(duì)的概率為0.9,

沒有思路的題只好任意猜一個(gè)答案,

猜對(duì)的概率為0.25.(1)張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題,

求他做對(duì)該題的概率;(2)若他做對(duì)了該題,

求他選擇的是完全沒有思路的題的概率.鞏固練習(xí)2.同批同種規(guī)格的產(chǎn)品,第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合,從混合產(chǎn)品中任取1件.(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率;*(2)已知取到的合格品,求它取自第一批產(chǎn)品的概率.解:鞏固練習(xí)拓展練習(xí)3.小王每天17：00?18：00都會(huì)參加一項(xiàng)自己喜歡的體育運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目有籃球、羽毛球、游泳三種．已知小王當(dāng)天參加的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目只與前一天參加的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目有關(guān)，在前一天參加某類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的情況下，當(dāng)天參加各類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率如下表：已知小王第一天打羽毛球，則他第三天做哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的可能性最大？前一天當(dāng)天籃球羽毛球游泳籃球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1拓展練習(xí)解:

用A,B,C分別表示籃球，羽毛球，游泳三種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，用Pn(A),Pn(B),Pn(C)(n∈N*)分別表示第n天小王進(jìn)行A,B,C三種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率.因?yàn)樾⊥醯谝惶齑蛴鹈?，所以?天小王做三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率分別為P2(A)=0.3，P2(B)=0.1，P2(C)=0.6第3天小王做三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率分別為

P3(A)=P2(A)×0.5+P2(B)×0.3+P2(C)×0.3=0.36

P3(B)=P2(A)×0.2+P2(B)×0.1+P2(C)×0.6=0.43

P3(C)=P2(A)×0.3+P2(B)×0.6+P2(C)×0.1=0.21因此小王第三天打羽毛球的可能性最大.23由因求果執(zhí)果尋因

1.設(shè)事件2.寫概率3.代公式課堂小結(jié)全概率公式

P(B)＝P(