求曲線的軌跡方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法.（二）能力訓(xùn)練

點(diǎn)

通過(guò)對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的

能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物

理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

二、教材分析

1.重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法.

（解決辦法：對(duì)每種方法用例題加以說(shuō)明，使學(xué)生掌握這種方法.）2.難點(diǎn):

作相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方法.

（解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路，再用例題進(jìn)行講解.）

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、講解方法、演板、小測(cè)驗(yàn).

四、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問(wèn)題是：

⑴根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

⑵通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì).

我們已經(jīng)對(duì)常見(jiàn)曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過(guò)這兩個(gè)方面的研究，今天在

上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來(lái)對(duì)根據(jù)己知條件求曲線的軌跡方程的常見(jiàn)技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分

析.

(-)兒種常見(jiàn)求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設(shè)所給(或通過(guò)分析圖形的兒何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿足的兒何條件列

出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡(jiǎn)得曲線的方程，這種方法叫直接法.

例1⑴求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A(a,o)作圓0：x2+y2=R2(a>R>o)的割線，求割線被圓0截得弦的

中點(diǎn)的軌跡.

對(duì)(1)分析：

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其兒何特征，但是給出了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

規(guī)律:[0P|=2R或|0P|=0.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則有|0P=2R或|0P|=0.

即x2+y2=4R2或x2+y2=0.

故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0.

對(duì)⑵分析：

題設(shè)中沒(méi)有具體給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過(guò)分析圖形的兒何性質(zhì)而得出，

即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù).由學(xué)生演板完成，解答為：

設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x,y),連結(jié)OM,

則OM±AM.

VkOM?kAM=-l,

曲瓠(.-》”=(滬

其軌跡是以0A為直徑的圓在圓。內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn)).

2.定義法

利用所學(xué)過(guò)的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫(xiě)出所求的

動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離

之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件.

例2設(shè)Q是=￡+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，另有點(diǎn)V，Q）,線段AQ的垂

直平分線1交半徑0Q于點(diǎn)P（見(jiàn)圖2—45）,當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P

的軌跡方程.

圖2-45

分析：

?.,點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，

/.|PQ|=|PA|.

又P在半徑0Q上.

A|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.

故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義

寫(xiě)出P點(diǎn)的軌跡方程.

解：連接PAV1±PQ,A|PA|=!PQ|.

又P在半徑0Q上.

/.|PO|+|PQ|=2.

.,.|PO|HPA|=2,且2>#=|OA|.

由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以0、A為焦點(diǎn)的橢圓.

由2a=2,2c=yf3^ia=Lc=—.

4M

從而b'="

4

故所求KU方租為位-y)a+4=IBP為點(diǎn)啪軟施方翟.

4

3.相關(guān)點(diǎn)法

若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x(),yo)的變動(dòng)而變動(dòng)，且xO、yO可用x、

y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程.這種方

法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法).

例3已知拋物線y2=x+l,定點(diǎn)A(3,1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在

線段AB上，且有BP:PA=1：2,當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析：

P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)

P與點(diǎn)B的聯(lián)系.

解：設(shè)點(diǎn)P(x,y),且設(shè)點(diǎn)B(xO,yo)

。有y：=?>+L

VBP：PA=1：2,且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn).

由定比分點(diǎn)公式得一

y.

將此式Ww：=.+1中，井帆將，

31

X=9/-3+；即丸所求加觸方程.它是一條妣線.

4.待定系數(shù)法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.

例4已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲

線ft有兩桃共點(diǎn)，又*=2?RftS罐銅線g*釬班，求此《

曲線方程.

分析：

因?yàn)殡p曲線以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方

.X=CO?a4-COfP

>y=An。+MHP

W.?19m營(yíng)=L

ax2-4b2x+a2b2=0

???拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對(duì)稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等,

因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根.

/.△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.

（以下由學(xué)生完成）

7=2K

由/W/最0b1-a2>a-a^b1=0.

尹-亨-薩=1

由弦長(zhǎng)公式得:

2/=Jl+22J(Xi+,)‘-加嚴(yán)1

即a2b2=4b2-a2.

a?=2b

由，

，承曲線的方程為與

(三)鞏固練習(xí)

用十多分鐘時(shí)間作一個(gè)小測(cè)驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果.練習(xí)題用一小黑板給出.

1.4ABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0,6)和C(0,-6),另兩邊斜率的

枳是求頂點(diǎn)加軟途.

2.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,

求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形？

3.求拋物線y2=2px(p>0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程.

答案:

:

U-57=i(y<-6朝

o1

+W=l桃生是長(zhǎng)料停干4.如半物等于2國(guó)樹(shù)胤■龐義

3E6

14

31)6

3.加關(guān)點(diǎn)法)設(shè)Pg前總蛾線上僮J點(diǎn)，若，Q)耗點(diǎn),

力是PFft中點(diǎn)，圖才=2|wa

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:

坐標(biāo)系下，如果等邊三角彩兩個(gè)項(xiàng)點(diǎn)是A0，BQ,

孚），點(diǎn)亦出標(biāo)是（2赤，也兀+哈或（?倔2kK-哈.

444

將此式代入?=2p?弟，（2y『=2p（女吟

4

*中4次所描翎防科

A

（四）小結(jié)

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、

復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見(jiàn)方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹.

五、布置作業(yè)

1.兩定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26,求點(diǎn)M的

軌跡方程.

2.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)Fl（l,0）的距離比它到F2（3,0）的距離少2,求P點(diǎn)的軌跡.

3.已知圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A（2,0）,過(guò)定點(diǎn)A作弦AB,并延長(zhǎng)到點(diǎn)P,使

3|AB|=2|AB|,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.作業(yè)答案：

1.以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角

坐標(biāo)系，得點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2=4

2.???|PF2|-|PF|=2,且|F1F2|，P點(diǎn)只能在x軸上且xVl,軌跡是一條射

線

3.設(shè)B（K..yj、P（x.力

3

而由31ABl=2|AP|得，|AP|=-|AB|

.

IAB

.'.|BPHAPHAB|=-|AB|??同=2

&Dr

z*2x2

由定比分點(diǎn)公式存，;1*2

"2x0

1