專題01數(shù)列（重點(diǎn)）一、單選題1．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的隨意兩項(xiàng)均不行能相同 B．?dāng)?shù)列，0，2與數(shù)列2，0，是同一個數(shù)列C．?dāng)?shù)列2，4，6，8可表示為 D．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān)【答案】D【分析】依據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】對于A中，常數(shù)列中隨意兩項(xiàng)都是相等的，所以A不正確；對于B中，數(shù)列，0，2與2，0，中數(shù)字的排列依次不同，不是同一個數(shù)列，所以B不正確；對于C中，表示一個集合，不是數(shù)列，所以C不正確；對于D中，依據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號是有關(guān)的，所以D正確.故選：D.2．已知a是4與6的等差中項(xiàng)，b是與的等比中項(xiàng)，則（

）A．13 B． C．3或 D．或13【答案】D【分析】依據(jù)等差中項(xiàng)得到，依據(jù)等比中項(xiàng)得到，計(jì)算得到答案.【解析】a是4與6的等差中項(xiàng)，故，b是與的等比中項(xiàng)，則，則，或.故選：D3．在等比數(shù)列中，已知，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】用基本量表示出來可以求；或者考慮下標(biāo)和公式.【解析】在等比數(shù)列中，，解得，則.故選：A.4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【解析】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，可得，可得，當(dāng)時，，則所以因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：C．5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由題目條件及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程，可得答案.【解析】設(shè){an}首項(xiàng)為，公差為d.因S3＝6，S4＝12，則.則.故選：C6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解方程即可得數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而可得首項(xiàng)與公比，求得.【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，又，解得或，當(dāng)時，或（舍），當(dāng)時，（舍），所以，，此時，所以，故選：D.7．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（

）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【分析】分別分析當(dāng)與時等號左邊的項(xiàng)，再分析增加項(xiàng)即可【解析】由題意知當(dāng)時，左邊為，當(dāng)時，左邊為，增加的部分為，共項(xiàng)．故選：D8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用遞增數(shù)列的定義即可.【解析】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C9．已知數(shù)列滿意，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，再求結(jié)果即可.【解析】依據(jù)題意可得：，則，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，，故.故選：B.10．若數(shù)列滿意，，則數(shù)列中的項(xiàng)的值不行能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列滿意的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的全部可能值，推斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【解析】數(shù)列滿意，，依次取代入計(jì)算得，，，，，因此接著下去會循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，全部可能取值為：.故選：D.11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】依據(jù)已知條件，令代入，求得，推斷A；結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系式，求出時，結(jié)合，推斷C,求出，即可推斷B;利用可得，構(gòu)造出，即可推斷D．【解析】由題意數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則，即，所以即選項(xiàng)A正確；因?yàn)棰?，∴?dāng)時，②，①-②可得，，即，當(dāng)時，，不滿意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤，由時，可得，則，故，故B正確；由得：所以令，則所以所以，即，故是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，D正確，故選：C.12．圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教化大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，假如把圖2中的直角三角形接著作下去，記的長度構(gòu)成的數(shù)列為，由此數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由幾何關(guān)系得，即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，從而求得的通項(xiàng).【解析】由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，由.故選：B．13．已知數(shù)列和首項(xiàng)均為1，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿意，則（

）A．2024 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用條件得到，進(jìn)而得到，代入，利用與的關(guān)系推得是等差數(shù)列，進(jìn)而求出，代入即可求得結(jié)果.【解析】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，，故，.故選：D.14．已知數(shù)列滿意，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對隨意的正整數(shù)，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)題意累加法求得，再依據(jù)裂項(xiàng)相消求和解決即可.【解析】當(dāng)，，所以，解得：，當(dāng)n=1適合因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以有，對隨意的正整數(shù)，都有，所以，故選：C二、多選題15．已知數(shù)列，則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】依據(jù)各選項(xiàng)的通項(xiàng)公式寫出前幾項(xiàng)，推斷是否與已知數(shù)列前幾項(xiàng)相同，即可確定正確選項(xiàng).【解析】A，，取前六項(xiàng)得0，1，0，1，0，1，不滿意條件；B，，取前六項(xiàng)得1，0，1，0，1，滿意條件；C，，取前六項(xiàng)得1，0，1，0，1，滿意條件；D，，取前三項(xiàng)得1，0，，不滿意條件；故選：BC.16．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（

）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．【答案】ABD【分析】依據(jù)求得，進(jìn)而求得以及推斷出是等比數(shù)列.【解析】依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以，所以，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，符合上式，所以.，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤.故選：ABD17．正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．下列說法正確的是（

）A． B．是遞增數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】BC【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，依據(jù)題意求出、的值，可推斷A選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可推斷B選項(xiàng)；求出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義可推斷C選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可推斷D選項(xiàng).【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，即，則.對于A選項(xiàng)，，A錯；對于B選項(xiàng)，對隨意的，，，故數(shù)列是遞增數(shù)列，B對；對于C選項(xiàng)，，則，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列，C對；對于D選項(xiàng)，，故數(shù)列是等差數(shù)列，D錯.故選：BC.18．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，公差為，，，則（

）A．B．當(dāng)時，取得最大值C．D．使得成立的最大自然數(shù)是15【答案】ABC【分析】依據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別推斷.【解析】因?yàn)?，，所以，則，當(dāng)時,取得最大值，，因?yàn)椋?，，所以使得成立的最大自然?shù)是，故選：ABC．19．已知等差數(shù)列滿意，前項(xiàng)和，則（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的公差為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前22項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】通過基本量計(jì)算得和d，可推斷ABC；用裂項(xiàng)相消法求和可推斷D.【解析】由題知，，解得，則，，故A錯，BC正確；記的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋运?，故D正確.故選：BCD20．設(shè)，．若，則稱序列是長度為n的0—1序列．若，，則（

）A．長度為n的0—1序列共有個 B．若數(shù)列是等差數(shù)列，則C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則 D．?dāng)?shù)列可能是等比數(shù)列【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，可依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出；B選項(xiàng)，依據(jù)等差數(shù)列定義得到為定值，分與兩種狀況探討求出答案；C選項(xiàng)，依據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列，推導(dǎo)出；D選項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，推出沖突.【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：選0或1，均有2種選擇，故共有個，A正確；因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以為定值，當(dāng)，則，則，當(dāng)，則，則，B錯誤；若數(shù)列是等差數(shù)列，則為定值，只有能滿意要求，故，C正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，則為定值，且，因?yàn)?，所以，，所以，若，則，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，數(shù)列不行能是等比數(shù)列，D錯誤.故選：AC三、填空題21．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則的值是___________.【答案】32【分析】依據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比，再依據(jù)，即可求得答案.【解析】由是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則可得，故，所以，故答案為：32.22．設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為.令，若也是等比數(shù)列，則__.【答案】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的定義，由即可求得.【解析】當(dāng)時，，則，，（是常數(shù)），即不是等比數(shù)列,所以.所以，，，則有，即，即，所以，解得或(舍).故答案為：.23．已知是等比數(shù)列，公比大于1，且，．記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，則數(shù)列的前30項(xiàng)的和的值為______．【答案】【分析】由題知，，，，，，，再依據(jù)題意求解的前30項(xiàng)，并求和即可.【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，，所以，，解得，或，（舍去），所以，，，，，，，，所以對應(yīng)區(qū)間為，則；，對應(yīng)的區(qū)間分別為，，都只有一項(xiàng)，則；，，，對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，都只有，兩項(xiàng)，則；，，，，，，，對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，，，，都只有，，三項(xiàng)，即；，，…對應(yīng)的區(qū)間分別為，，…，，都只有，，，四項(xiàng)，；所以．故答案為：24．在數(shù)列中，，，數(shù)列滿意，．若，，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為_________．【答案】【分析】將數(shù)列的前2024項(xiàng)和分解為奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和進(jìn)行求解.【解析】由已知得，，所以，即數(shù)列前2024項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為：.又由已知得，，所以，即奇數(shù)項(xiàng)為公比為－1的等比數(shù)列，即，即前2024項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為1；綜上所述，前2024項(xiàng)和為．故答案為：四、解答題25．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，整理可得數(shù)列的遞推公式，利用累乘法，可得答案；（2）利用分組求和法以及等差數(shù)列求和公式，可得答案.【解析】（1）由是公差為的等差數(shù)列，且，則，即，當(dāng)時，，兩式相減可得：，整理可得，故，將代入上式，，故的通項(xiàng)公式為.（2）由，則.26．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(1)推斷是不是數(shù)列中的項(xiàng)；(2)推斷數(shù)列中的項(xiàng)是否都在區(qū)間內(nèi)；(3)推斷在區(qū)間內(nèi)有沒有數(shù)列中的項(xiàng).【答案】(1)不是(2)數(shù)列中的項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)(3)有【分析】（1）先化簡，再令可求解問題；（2）通過求的范圍可推斷；（3）通過解不等式可求解.(1)因?yàn)?，所以由，解?因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng).(2)因?yàn)椋?，，所以，所以?shù)列中的項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi).(3)令，即，則解得.又，所以.故在區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)，是其次項(xiàng)，即.27．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，__________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.從下列兩個條件中任選一個作為已知，補(bǔ)充在上面問題的橫線中進(jìn)行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；②.【答案】(1)選擇①②，都有；(2)證明見解析.【分析】（1）選擇①，依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得；再依據(jù)與之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；選擇②，利用的關(guān)系消去，構(gòu)造等差數(shù)列，與①同理，即可求得結(jié)果；（2）依據(jù)（1）中所求求得，再利用裂項(xiàng)求和法求得，即可證明.【解析】（1）若選擇①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，明顯其首項(xiàng)為故，故；當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿意.故的通項(xiàng)公式為；若選擇②即，整理得：故，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，與選擇①相同，故的通項(xiàng)公式為.（2）依據(jù)（1）中所求可得：，則故又，故可得.28．已知數(shù)列的首項(xiàng)，.(1)求證：肯定存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列.(2)是否存在互不相等的正整數(shù)使成等差數(shù)列，且使成等比數(shù)列？假如存在，請給以證明：假如不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用等比數(shù)列定義即可證明；（2）首先假設(shè)成立，并結(jié)合（1）中結(jié)論求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得到和，最終利用基本不等式即可推斷.【解析】（1）因?yàn)?，所以，由，欲使?shù)列是等比數(shù)列，則只需，即.此時，故存在，使得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）中可知，，即，假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)使成等差數(shù)列，且使成等比數(shù)列，故

，，即，從而

，由基本不等式可知，，這與沖突，故不存在互不相等的正整數(shù)使成等差數(shù)列，且使成等比數(shù)列.29．已知數(shù)列滿意，，.(1)若，①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，求的前項(xiàng)和.(2)若，且對，有，證明：.【答案】(1)①；②(2)證明見解析【分析】（1）①將代入，利用“取倒數(shù)”構(gòu)造等差數(shù)列，即可求解.②先將數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出并綻開，再利用分組求和即可得到答案.（2）將代入，先求出的通項(xiàng)公式，再利用基本不等式即可證明結(jié)論.（1）①當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，可知，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即.②由①得，所以，所以所以.（2）證明：當(dāng)時，，則，因?yàn)?，所以又因?yàn)榕c不能同時成立，所以上式等號不成立，即對，.30．設(shè)，若無窮數(shù)列滿意以下性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，（且）．②的最大值為k．(1)若數(shù)列為公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍，使得為數(shù)列．(2)若數(shù)列滿意：，使得成等差數(shù)列，①數(shù)列是否可能為等比數(shù)列？并說明理由；②記數(shù)列滿意，數(shù)列滿意，且，推斷與的單調(diào)性，并求出時，n的值．【答案