第二章一元二次方程專題3一元二次方程的解法數(shù)學九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述

一元二次方程常與幾何圖形及實際應用問題等結合考查，在考試中出現(xiàn)得比較頻繁，所以如何在考試中提高解題效率就非常重要.在解一元二次方程時，關鍵在于靈活選擇解法，以提高計算能力.有時可能需要將幾種解法綜合起來使用，而選擇最合適解法的依據是善于觀察方程的具體結構特征.◎要點歸納一元二次方程各種解法的關鍵.（1）直接開平方法：將方程化為（mx＋n）2＝a（a≥0）的形式；（2）配方法：先把二次項系數(shù)化為1，再把方程的兩邊都加上一次項系數(shù)

的平方；（3）公式法：把一元二次方程化為

，正確寫出

a，b，c的值；（4）因式分解法：使方程的右邊為

?；（5）換元法：把某一部分看作一個整體，用一個新的未知數(shù)代替.

其中配方法與公式法是通法.一半

一般形式

0

數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練①x2＋2x－143＝0；

②3x2＋3x－1＝0類型一

用配方法、公式法解一元二次方程

（1）用配方法解下列方程：解：①移項，得x2＋2x＝143.配方，得x2＋2x＋1＝143＋1，即（x＋1）2＝144.開方，得x＋1＝±12.解得x1＝11，x2＝－13.

【點撥】配方法的一般步驟：①將一元二次方程化為一般形式；②二次項系數(shù)化為1；③常數(shù)項移到等號右邊；④等號兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，并配方；⑤開方，求解.配方法的關鍵在于第②④兩步，這兩步一定不能漏掉.配方法一般在直接解方程中很少用到，但在求最大值或最小值、比較代數(shù)式的大小、解特殊方程中常用到.（2）用公式法解下列方程：①2x2－3x－4＝0；②2x2＋5x＝6x2＋5；

③（x－1）（3x＋2）＝4x＋6.

②整理，得4x2－5x＋5＝0.這里a＝4，b＝－5，c＝5.∵b2－4ac＝（－5）2－4×4×5＝－55＜0，∴原一元二次方程無解.

【點撥】用公式法求解一元二次方程的一般步驟：①化簡，并整理成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式；②計算判別式Δ的值，判斷方程是否有解；③若Δ≥0，則可用公式法求解.需要注意的是，若Δ＞0，則原方程有兩個不同的實數(shù)根；若Δ＝0，則原方程有兩個相等的實數(shù)根；若Δ＜0，則原方程無實數(shù)根.此題中，第③問還可以用因式分解法求解.

1.用配方法解下列方程：（1）x2－6x－3＝0；

2.用公式法解下列方程：（1）4x2－8x＋3＝0；

（2）（2x＋1）（x－2）＝6；

（3）7x2＋9＝6x2－26x－160.解：x1＝x2＝－13.類型二

用因式分解法、換元法解方程

（1）用因式分解法解下列方程：①（4x＋1）2－x2＝0；②（x－4）2－2x＋8＝0.

②原方程可變形為（x－4）2－2（x－4）＝0.∴（x－4）（x－4－2）＝0.∴（x－4）（x－6）＝0.∴x－4＝0，或x－6＝0.∴x1＝4，x2＝6.【點撥】因式分解法求解一元二次方程的一般步驟：①化簡；②因式分解；③得出方程的解.因式分解法是解一元二次方程的首選方法，特點是計算量小.因式分解的常用法：提取公因式法、公式法（平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法、分組分解法等.（2）用換元法解下列方程：①x4－x2－6＝0；②（x2－x）2－5（x2－x）＋6＝0.

【點撥】用換元法把復雜的方程轉化為一般的一元二次方程.換元法求解的一般步驟：①確定需要替換的部分；②代入新的未知數(shù)；③解出新的未知數(shù)；④根據第①步中的關系式，得出原方程的解.

1.用因式分解法解下列方程：（1）4x2－4x－15＝0；

（2）3（x＋5）2＝x2－25.解：x1＝－5，x2＝－10.2.用換元法解下列方程：（1）x2－｜x｜－6＝0；解：x1＝3，x2＝－3.

類型三

用合適的方法解一元二次方程

用合適的方法解下列方程：

（2）方程可變形為x2－6x＋8＝0.因式分解，得（x－2）（x－4）＝0.解得x1＝2，x2＝4.

【點撥】解一元二次方程或特殊方程，主要用配方法、公式法、因式分解法、換元法等.一般優(yōu)先選用因式分解法；若無法因式分解，才考慮公式法；若原方程是特殊的方程（如x2－｜

x｜－6＝0等），可考慮換元法.

用合適的方法解下列方程：（1）6x2－x－2＝0；

（2）x2＋5x－2＝0；

類型四

與一元二次方程有關的綜合問題

已知關于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋2＝0.（1）證明：當m≠0時，該方程總有實數(shù)根；（2）當m為何整數(shù)時，該方程有兩個不相等的正整數(shù)根.

【點撥】（1）對于含參的一元二次方程，由因式分解法求出兩

根是常用的方法，另外，還可以直接用公式法得到方程的根.

（2）需掌握用根的判別式判斷根的情況.（3）針對綜合性問

題，要把握條件，分別去分析，做到不遺漏.如本題中第（2）問，可得到幾個條件：①m為整數(shù)，m≠0；②Δ＞0；③x1，x2

都是正整數(shù).

已知關于x的一元二次方程x2－2mx－3m2＋8m－4＝0.（1）當m＞2時，試判斷該方程根的情況；（2）若該方程的兩個實數(shù)根一個大于5，另一個小于2，求m的取值范圍.解：（