PAGEPAGE10第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變更率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.依據(jù)詳細(xì)的實(shí)例得到導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究在實(shí)際生產(chǎn)生活中，我們須要探討一些物體的瞬時(shí)變更率，例如(1)摩托車的運(yùn)動(dòng)方程為s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示時(shí)間，知道它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就可以更好地指導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行競(jìng)賽；(2)冶煉鋼鐵時(shí)須要測(cè)定鐵水的瞬時(shí)溫度來(lái)確定其質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；(3)凈化飲用水時(shí)須要依據(jù)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變更率來(lái)限制凈化成本.問(wèn)題上述實(shí)例中都涉及到某個(gè)量的瞬時(shí)變更率，在數(shù)學(xué)意義上，這些事實(shí)上是某個(gè)量的函數(shù)的瞬時(shí)變更率，它在數(shù)學(xué)上稱為什么？提示函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.平均變更率比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變更率.2.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的平均變更率，當(dāng)自變量的增量趨于0時(shí)的極限假如當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變更率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變更率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).拓展深化[微推斷]1.函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變更的快慢程度.(×)提示導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變更的快慢程度，非在某區(qū)間上的.2.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無(wú)關(guān).(√)3.設(shè)x＝x0＋Δx，則Δx＝x－x0，則Δx趨近于0時(shí)，x趨近于x0，因此，f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0).(√)[微訓(xùn)練]1.設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變更率為()A.2.1 B.1.1C.2 D.0解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1.1）－f（1）,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.答案A2.設(shè)f(x)＝2x＋1，則f′(1)＝________.解析f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f([2（1＋Δx）＋1]－（2×1＋1）,Δx)＝2.答案2[微思索]1.導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變更率可以反映函數(shù)變更的什么特征？提示導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變更率可以反映函數(shù)在某一點(diǎn)處變更的快慢程度.2.函數(shù)的平均變更率與瞬時(shí)變更率有什么區(qū)分和聯(lián)系？提示(1)平均變更率與瞬時(shí)變更率的區(qū)分：平均變更率刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變更的快慢，瞬時(shí)變更率刻畫(huà)函數(shù)值在x＝x0處變更的快慢.(2)平均變更率與瞬時(shí)變更率的聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時(shí)，平均變更率eq\f(Δy,Δx)趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變更率，它是一個(gè)固定值.題型一求函數(shù)的平均變更率【例1】已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)計(jì)算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變更率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；④0.01.(2)依據(jù)(1)中的計(jì)算，當(dāng)Δx越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變更率有怎樣的變更趨勢(shì)？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.①當(dāng)Δx＝2時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②當(dāng)Δx＝1時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④當(dāng)Δx＝0.01時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)當(dāng)Δx越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變更率漸漸變大，并接近于－3.3.規(guī)律方法求平均變更率的主要步驟：(1)先計(jì)算函數(shù)值的變更量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再計(jì)算自變量的變更量Δx＝x2－x1.(3)得平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).【訓(xùn)練1】求函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率，并求當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均變更率的值.解函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq\o\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)，函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間[2，2.1]上的平均變更率為6×2＋3×0.1＝12.3.題型二導(dǎo)數(shù)定義的干脆應(yīng)用【例2】利用導(dǎo)數(shù)的定義，求f(x)＝eq\r(x2＋1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù).解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(（1＋Δx）2＋1)－eq\r(2)＝eq\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－eq\r(2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)，∴f′(1)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)＝eq\f(（Δx）2＋2Δx,Δx[\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2)])＝eq\f(Δx＋2,\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2).規(guī)律方法求一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的變更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx).【訓(xùn)練2】求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)棣＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2，所以f′(1)＝2，即函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2.題型三導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用【例3】已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：(1)eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；(2)eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).解(1)∵eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,x0－（x0－Δx）)＝f′(x0)，即eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＝k.∴eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)＝eq\f(k,2).(2)∵eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,（x0＋Δx）－（x0－Δx）)，即eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0－Δx，x0＋Δx]上平均變更率.∴當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)必趨于f′(x0)＝k，∴eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝k，∴eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2k.規(guī)律方法由導(dǎo)數(shù)的定義可知，若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則f′(x)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，它僅與x0有關(guān)，與Δx無(wú)關(guān)，因此運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)要明確公式的形式，當(dāng)分子為f(1－Δx)－f(1)時(shí)，分母也應(yīng)當(dāng)是(1－Δx)－1，要留意公式的變形.【訓(xùn)練3】(1)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)等于()A.－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C.－eq\f(1,2)f′(1) D.f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))(2)已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且滿意eq\f(f（3）－f（3＋Δx）,Δx)＝2，則函數(shù)y＝f(x)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為()A.－1 B.－2C.1 D.2解析(1)eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\f(f[1＋（－Δx）]－f（1）,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1).(2)由題意，知f′(3)＝eq\f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝－2，故選B.答案(1)C(2)B一、素養(yǎng)落地1.在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義的過(guò)程中，培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必需選擇相應(yīng)的形式，利用函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.函數(shù)y＝1在[2，2＋Δx]上的平均變更率是()A.0 B.1C.2 D.Δx解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.答案A2.已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A.4 B.4xC.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）2－2,Δx)＝4＋2Δx.答案C3.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于________.解析∵f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（Δx＋1）＋3－（a＋3）,Δx)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.答案34.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(1)＝________.解析f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.若eq\f(f（x0）－f（x0＋3Δx）,2Δx)＝1，求f′(x0).解因?yàn)閑q\f(f（x0）－f（x0＋3Δx）,2Δx)＝－eq\f(3,2)×eq\f(f（x0＋3Δx）－f（x0）,3Δx)＝－eq\f(3,2)f′(x0)＝1.所以f′(x0)＝－eq\f(2,3).基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變更率是()A.1 B.－1C.2 D.－2解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.答案B2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處旁邊有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A.f′(x)＝a B.f′(x)＝bC.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b解析∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝a＋bΔx.∴f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝a.答案C3.已知函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值為()A.－4 B.2C.－2 D.±2解析∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（m＋Δx）－f（m）,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)，∴f′(m)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)＝－eq\f(2,m2)，∴－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.答案±24.若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿意eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，則f′(0)等于()A.－2 B.2C.－1 D.1解析∵f(x)圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，故選C.答案C5.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿意eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝－1，則f′(1)為()A.1 B.－1C.2 D.－2解析令x→0，則Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，所以eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝eq\f(f（1）－f（1－Δx）,Δx)＝f′(1)＝－1.答案B二、填空題6.已知函數(shù)y＝x3－2，當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝________.解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）3－2－（23－2）,Δx)＝eq\f(（Δx）3＋6（Δx）2＋12Δx,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.答案(Δx)2＋6Δx＋127.已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時(shí)變更率為－8，則f(x0)＝________.解析由題知－8＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x0＋Δx）2＋1－（2xeq\o\al(2,0)＋1）,Δx)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.答案98.若f′(x0)＝2，則eq\f(f（x0）－f（x0＋Δx）,2Δx)＝________.解析eq\f(f（x0）－f（x0＋Δx）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－1.答案－1三、解答題9.一條水管中流過(guò)的水量y(單位：m3)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義.解因?yàn)閑q\f(Δy,Δt)＝eq\f(f（2＋Δt）－f（2）,Δt)＝eq\f(3（2＋Δt）－3×2,Δt)＝3，所以f′(2)＝eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)的實(shí)際意義：水流在t＝2時(shí)的瞬時(shí)流速為3m3/s.10.求函數(shù)y＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù).解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（Δx）2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\f(Δy,Δx)＝(2Δx＋16)＝16.實(shí)力提升11.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，已知f′(0)>0，且對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f（1）,f′（0）)的最小值為_(kāi)_______.解析由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(0)＝eq\f(f（Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(a（Δx）2＋b（Δx）＋c－c,Δx)＝[a·(Δx)＋b]＝b>0.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f（1）,f′（0）)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f