9.3離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差五年高考高考新風(fēng)向(2024新課標(biāo)Ⅱ,18,17分,難)某投籃比賽分為兩個(gè)階段,每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成.比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次,若3次都未投中,則該隊(duì)被淘汰,比賽成績(jī)?yōu)?分;若至少投中1次,則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次,每次投籃投中得5分,未投中得0分,該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨(dú)立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.(2)假設(shè)0<p<q.(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?解析(1)由題意知甲參加第一階段比賽與乙參加第二階段比賽是相互獨(dú)立事件.因此甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率為[1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3][1-(1-0.5)3]=0.686.(2)(i)設(shè)由甲參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P1,乙參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P2,則P1=[1-(1-p)3]q3,P2=[1-(1-q)3]p3.則P1-P2=[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又0<p<q<1,所以q-p>0,p+q-pq=p(1-q)+q>0,所以P1>P2,則應(yīng)由甲參加第一階段,這樣才能使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大.(ii)設(shè)甲參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)閄,則X的可能取值為0,5,10,15.則P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]·C31q(1-q)P(X=10)=[1-(1-p)3]·C32q2(1-P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,所以由甲參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0+5[1-(1-p)3]·C31q(1-q)2+10[1-(1-p)3]·C32q2(1-q)+15[1-(1-p)3]·q3=15q(3p-3p2+設(shè)乙參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)閅,同理可得乙參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3).E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q),因?yàn)?<p<q<1,所以q-p>0,3-p-q>0,所以E(X)>E(Y).則由甲參加第一階段比賽時(shí),該隊(duì)比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.(2020課標(biāo)Ⅲ理,3,5分,易)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(BA.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.22.(多選)(2020新高考Ⅰ,12,5分,難)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-i=1npilog2pi.(A.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著nD.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)3.(2020浙江,16,6分,中)盒中有4個(gè)球,其中1個(gè)紅球,1個(gè)綠球,2個(gè)黃球.從盒中隨機(jī)取球,每次取1個(gè),不放回,直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=

13,E(ξ)=14.(2022北京,18,13分,中)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)解析(1)甲以往參加的10次比賽中,有4次比賽成績(jī)達(dá)到獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的標(biāo)準(zhǔn),則甲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率P=410=2(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,設(shè)甲、乙、丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)分別為事件A,B,C,則A,B,C,A,B,C相互獨(dú)立,且P(A)=25,P(B)=P(C)=12,P(A)=1-P(A)=1-25=35,P(B)=P(C則P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=35×12×12P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=25×12×12+35×12×12+35×1P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=25×12×12+25×12×12+35P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×12×12故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×320+1×25+2×720+3×1(3)丙.詳解:乙奪冠的概率為P(乙)=16×910×34+16×45×12+16×35×12+16×310丙奪冠的概率為P(丙)=14+14×45×5甲奪冠的概率為P(甲)=1-512-1348=P(丙)最大,所以丙奪冠的概率最大.5.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.解析(1)由題易知X的所有可能取值為0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.假設(shè)小明先回答B(yǎng)類問題,其累計(jì)得分為Y,則Y的所有可能取值為0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,所以E(Y)>E(X),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.6.(2023新課標(biāo)Ⅰ,21,12分,難)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則Ei=1nXi=i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)解析記Ai=“第i次投籃的人是甲”,Bi=“第i次投籃的人是乙”.(1)因?yàn)镻(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6,所以第2次投籃的人是乙的概率為0.6.(2)設(shè)P(Ai)=pi,則P(Bi)=1-pi,所以P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.設(shè)pi+1+λ=25(pi+λ),解得λ=-13,則pi+1-13因?yàn)閜1=12,p1-13=16,所以pi?13是首項(xiàng)為16,公比為25的等比數(shù)列,所以pi-13=16×2所以第i次投籃的人是甲的概率為16×25i(3)因?yàn)閜i=16×25i?1+13,i=1,2所以當(dāng)n∈N*時(shí),E(Y)=p1+p2+…+pn=16×1?25n1?25故E(Y)=5181?27.(2021新高考Ⅱ,21,12分,難)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,求證:當(dāng)E(X)≤1時(shí),p=1,當(dāng)E(X)>1時(shí),p<1;(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.解析(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)證法一:由題意得p0+p1+p2+p3=1,E(X)=p1+2p2+3p3,因?yàn)閜0+p1x+p2x2+p3x3=x,所以p0+p2x2+p3x3-(1-p1)x=0,即p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0,即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0,令f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0,則f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-p2+且f(0)=-p0<0,f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1.當(dāng)E(X)≤1時(shí),f(1)≤0,f(x)的正實(shí)根x0≥1,則原方程的最小正實(shí)根p=1;當(dāng)E(X)>1時(shí),f(1)>0,f(x)的正實(shí)根x0<1,則原方程的最小正實(shí)根p=x0<1.證法二:設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由題易知p3+p2+p1+p0=1,故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0,f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3,若E(X)≤1,則p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0,因?yàn)閒'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0,所以f'(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1,x2,且x1<0<1≤x2,當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上為增函數(shù),在(x1,x2)上為減函數(shù),若x2=1,因?yàn)閒(x)在(x2,+∞)上為增函數(shù),在(x1,x2)上為減函數(shù),且f(1)=0,所以在(0,+∞)上,f(x)≥f(x2)=f(1)=0,故1為關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,即p=1,故當(dāng)E(x)≤1時(shí),p=1.若x2>1,因?yàn)閒(1)=0且f(x)在(0,x2)上為減函數(shù),故1為關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根.綜上,若E(X)≤1,則p=1.若E(X)>1,則p1+2p2+3p3>1,則p2+2p3>p0,此時(shí)f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x3,x4且x3<0<x4<1,故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上為增函數(shù),在(x3,x4)上為減函數(shù),而f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一個(gè)零點(diǎn)x0,且x0<1,所以x0為關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正根,即p<1,故當(dāng)E(X)>1時(shí),p<1.(3)意義:若一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代后會(huì)臨近滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能.

三年模擬練速度1.(2024廣東百日沖刺聯(lián)合質(zhì)量監(jiān)測(cè),3)已知隨機(jī)變量X的分布列如下:X12Pab則“E(X)=43”是“D(X)=29”的(AA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.(2024廣東廣州天河綜合測(cè)試(二),8)設(shè)10≤x1<x2<x3<x4<x5≤50,隨機(jī)變量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量ξ2取值x1+x22,x2+x32,x3+x42,x4+x52,x5+x12的概率也均為0.2,A.D(ξ1)<D(ξ2)B.D(ξ1)=D(ξ2)C.D(ξ1)>D(ξ2)D.D(ξ1)與D(ξ2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4,x5的取值有關(guān)3.(多選)(2024江西省八所重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考,9)已知隨機(jī)變量X、Y,且Y=3X+1,X的分布列如下:X12345Pm11n3若E(Y)=10,則(AC)A.m=310B.n=C.E(X)=3D.D(Y)=74.(2024湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)、浙江杭州二中、江蘇師大附中三校聯(lián)考,13)已知4件產(chǎn)品中有2件次品,逐個(gè)不放回檢測(cè),直至能確定所有次品為止,記檢測(cè)次數(shù)為X.則E(X)=

83練思維1.(2024山東濟(jì)南一模,17)拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子,所得的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,記ba的取值為隨機(jī)變量X,其中ba表示不超過b(1)求在X>0的條件下,X=ba的概率(2)求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.解析(1)記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為(a,b),則樣本空間為Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a∈Z,b∈Z},則n(Ω)=36,記事件“A=X>0”,記事件“B=X=ba=ba則A={(a,b)|1≤a≤b≤6,a∈Z,b∈Z},且n(A)=21,又AB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)},則n(AB)=14,所以P(B|A)=n(AB)n(即在X>0的條件下,X=ba的概率為2(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.P(X=0)=36?2136=512,P(X=1)=1236=13,P(X=2)=P(X=3)=236=118,P(X=4)=136,P(X=5)=136,P(X=6所以X的分布列為X0123456P5111111所以E(X)=0×512+1×13+2×19+3×118+4×136+5×12.(2024福建三明質(zhì)量檢測(cè),17)某校開設(shè)勞動(dòng)教育課程,為了有效推動(dòng)課程實(shí)施,學(xué)校開展勞動(dòng)課程知識(shí)問答競(jìng)賽,現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫(kù),其中家政類占14,園藝類占14,民族工藝類占12.根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn),選手甲答對(duì)家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為25,25,(1)求隨機(jī)選1題,甲答對(duì)的概率;(2)現(xiàn)進(jìn)行甲、乙雙人對(duì)抗賽,規(guī)則如下:兩位選手進(jìn)行三輪答題比賽,每輪只出1道題目,比賽時(shí)兩位選手同時(shí)回答這道題,若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò),則答對(duì)者得1分,答錯(cuò)者得-1分,若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò),則兩人均得0分,累計(jì)得分為正者將獲得獎(jiǎng)品,且兩位選手答對(duì)與否互不影響,每次答題的結(jié)果也互不影響,求甲獲得獎(jiǎng)品的概率.解析記隨機(jī)選1題為家政、園藝、民族工藝試題分別為事件Ai(i=1,2,3).(1)記隨機(jī)選1題,甲答對(duì)為事件B,則P(B)=i=13P(Ai)P(B|Ai)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=14×25+14×25+所以隨機(jī)任選1題,甲答對(duì)的概率為35(2)乙答對(duì)記為事件C,則P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)P(C|A3)=14×12+14×12+12設(shè)每一輪比賽中甲得分為X,則P(X=1)=P(BC)=P(B)P(C)=35×1?12P(X=0)=P(BC∪BC)=P(BC)+P(BC)=35×12+1?3P(X=-1)=P(BC)=1?35×12三輪比賽后,設(shè)甲總得分為Y,則P(Y=3)=3103=P(Y=2)=C323102P(Y=1)=C31×310×122+C32所以甲最終獲得獎(jiǎng)品的概率為P=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1)=271000+27200+27910003.(2024遼寧二模,17)民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)(本科)通過高考招收飛行學(xué)生,報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢、體檢鑒定、飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)、背景調(diào)查、高考選拔這5項(xiàng)流程,其中前4項(xiàng)流程選拔均通過,則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng),然后參加高考,由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì),每位報(bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為14,12,23,1.假設(shè)學(xué)生能否通過這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立,現(xiàn)有某校高三學(xué)生A,B,(1)求A,B,C這三人中恰好有兩人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率;(2)根據(jù)A,B,C這三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī),預(yù)估高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為34,45,45,設(shè)隨機(jī)變量X為A,B,C這三人中能被招飛院校錄取的人數(shù),求解析(1)因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為14,12,23,1所以每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為P=14×12×23故A,B,C這三人中恰好有兩人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率P0=C321122(2)因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為P=112,且預(yù)估A,B,C能被招飛院校錄取的概率分別為34,45所以A能被招飛院校錄取的概率為P1=112×34=B能被招飛院校錄取的概率為P2=112×45=C能被招飛院校錄取的概率為P3=112×45=由題知,X的可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)=1?116×1?115×P(X=1)=116×1?115×1?115+1?116P(X=2)=116×115×1?115×2+1?116×P(X=3)=116×115×115所以X的分布列為X0123P4977431E(X)=0×4960+1×77450+2×433600+3×14.(2024遼寧沈陽教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(三),16)某類型的多項(xiàng)選擇題設(shè)置了4個(gè)選項(xiàng),一道題中的正確答案或是其中2個(gè)選項(xiàng)或是其中3個(gè)選項(xiàng).該類型題目評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下:每題滿分6分,若未作答或選出錯(cuò)誤選項(xiàng),則該題得0分;若正確答案是2個(gè)選項(xiàng),則每選對(duì)1個(gè)正確選項(xiàng)得3分;若正確答案是3個(gè)選項(xiàng),則每選對(duì)1個(gè)正確選項(xiàng)得2分.甲、乙、丙三位同學(xué)各自作答一道此類題目,設(shè)該題正確答案是2個(gè)選項(xiàng)的概率為p.(1)已知甲同學(xué)隨機(jī)(等可能)選擇了2個(gè)選項(xiàng)作答,若p=12,求他既選出正確選項(xiàng)也選出了錯(cuò)誤選項(xiàng)的概率(2)已知乙同學(xué)隨機(jī)(等可能)選出1個(gè)選項(xiàng)作答,丙同學(xué)隨機(jī)(等可能)選出2個(gè)選項(xiàng)作答,若p=13,試比較乙、丙兩同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望的大小解析設(shè)事件A為該題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng),則A為該題的正確答案是3個(gè)選項(xiàng),即P(A)=p,P(A)=1-p.(1)由p=12得,P(A)=12,P(A)=設(shè)事件B為甲同學(xué)既選出正確選項(xiàng)也選出錯(cuò)誤選項(xiàng),則P(B|A)=C21C21C42=23,P(則P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=23×12+12×1(2)由p=13得,P(A)=13,P(A)=設(shè)X表示乙同學(xué)答題得分,則X的可能取值為0,2,