PAGEPAGE7易混易錯練易錯點1不能正確列出隨機變量的可能取值致誤1.()甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題,競賽規(guī)定:對于每一個題,沒有搶到題的隊伍得0分,搶到題并回答正確的得1分,搶到題但回答錯誤的扣1分(即得-1分),若每個搶答題都有隊伍搶答,X是甲隊在該輪競賽獲勝時的得分(分數高者勝),則X的可能取值是.

2.()在學校組織的足球競賽中,某班要與其他4個班級各賽一場,在這四場競賽的隨意一場中,此班級勝、負、平的概率都相等.已知這四場競賽結束后,該班勝場多于負場.(1)求該班勝場多于負場的全部可能狀況的種數;(2)若勝場次數為X,求X的分布列.易錯點2對條件概率問題理解不清,不能正確應用公式致誤3.(2024山東滕州一中高二下月考,)連續(xù)兩次拋擲一枚質地勻稱的骰子,在已知兩次的點數均為偶數的條件下,兩次的點數之和不大于8的概率為()A.13 B.49 C.54.(2024黑龍江哈爾濱南崗高二上期末,)甲、乙二人爭奪一場圍棋競賽的冠軍,競賽為三局兩勝制,甲在每局競賽中獲勝的概率均為34,且各局競賽結果相互獨立,則在甲獲得冠軍的狀況下,競賽進行了三局的概率為()A.13 B.25 C.2易錯點3不能正確區(qū)分超幾何分布和二項分布5.(2024天津和平高三上期末,)每年的12月4日為我國的“法制宣揚日”.天津市某中學團委在2024年12月4日開展了以“學法、遵法、遵守法律”為主題的學習活動.已知該學校高一、高二、高三的學生人數分別是480、360、360.為檢查該學校組織學生學習的效果,現(xiàn)采納分層隨機抽樣的方法從該校全體學生中選取10名學生進行問卷測試.詳細要求:每名被選中的學生要從10個有關法律、法規(guī)的問題中隨機抽出4個問題進行回答,所抽取的4個問題全部答對的學生將賜予表彰.(1)求各個年級應選取的學生人數;(2)若從被選取的10名學生中任選3名學生,求這3名學生分別來自三個年級的概率;(3)若被選取的10人中的某學生能答對10道題中的7道題,記X表示該名學生答對問題的道數,求隨機變量X的分布列及數學期望.易錯點4對正態(tài)曲線的性質理解不精確致錯6.()已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3,4),則E(2X+1)與D(2X+1)的值分別為()A.13,4 B.13,8 C.7,8 D.7,167.()某市一次高三年級數學統(tǒng)測,經抽樣分析,成果X近似聽從正態(tài)分布N(84,σ2),且P(78<X≤84)=0.3.該市某校有400人參與此次統(tǒng)測,估計該校數學成果不低于90分的人數為.

思想方法練一、函數與方程思想在離散型隨機變量中的應用1.(2024河北石家莊二十八中高二下月考,)若隨機變量Y聽從二項分布B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,則此二項分布是()A.Y~B(4,0.9) B.Y~B(9,0.4)C.Y~B(18,0.2) D.Y~B(36,0.1)2.(2024全國百所名校高三模擬測試,)垃圾分類是指按肯定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運,從而轉變成公共資源的一系列活動的總稱.分類的目的是提高垃圾的資源價值和經濟價值,力爭物盡其用.2024年6月25日,生活垃圾分類制度入法,到2024年底,先行先試的46個重點城市要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng);其他地級城市實現(xiàn)公共機構生活垃圾分類全覆蓋.某機構欲組建一個有關“垃圾分類”相關事宜的項目組,對各個地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進行相關報道.該機構從600名員工中進行篩選,篩選方法:每位員工測試A,B,C三項工作,3項測試中至少有2項測試“不合格”的員工將被認定為“暫定”,有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試A,B兩項,假如這兩項中有1項以上(含1項)測試“不合格”,也將被認定為“暫定”,每位員工測試A,B,C三項工作相互獨立,每一項測試“不合格”的概率均為p(0<p<1).(1)記某位員工被認定為“暫定”的概率為f(p),求f(p);(2)每位員工不須要重新測試的費用為90元,須要重新測試的總費用為150元,除測試費用外,其他費用總計為1萬元,若該機構的預算為8萬元,且該600名員工全部參與測試,問上述方案是否會超過預算?請說明理由.二、分類探討思想在離散型隨機變量中的應用3.()某銀行柜臺設有一個服務窗口,假設顧客辦理業(yè)務所需的時間相互獨立,且都是整分鐘數,對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如下:辦理業(yè)務所需的時間(分鐘)12345頻率0.10.40.30.10.1用頻率估計概率,且從第一個顧客起先辦理業(yè)務時計時.(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務的概率;(2)用X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數,求X的分布列及數學期望.三、數形結合思想在正態(tài)分布中的應用4.(2024廣東廣州高校附屬中學高三下線上測試,)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-2,4)的密度曲線)的點的個數的估計值為()(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906 B.340 C.2718 D.34135.(2024山東菏澤一中高二下月考,)某校1000名學生的某次數學考試成果X聽從正態(tài)分布,其密度曲線如圖所示,則成果X位于區(qū)間[52,68]的人數大約是()(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.997 B.954 C.683 D.341

答案全解全析本章復習提升易混易錯練1.答案-1,0,1,2,3解析X=-1表示:甲隊搶到1題且答錯,乙隊搶到兩題均答錯.X=0表示:甲隊沒有搶到題,乙隊搶到3題且至少答錯其中的2題;甲隊搶到2題且答對1題答錯1題,乙隊搶到1題且答錯.X=1表示:甲隊搶到1題且答對,乙隊搶到2題且至少答錯其中的1題;甲隊搶到3題且答對其中的2題,乙隊沒有搶到題.X=2表示:甲隊搶到2題均答對.X=3表示:甲隊搶到3題均答對.2.解析(1)若勝一場,則其余為平,共有C41=4種狀況;若勝兩場,則其余兩場為一負一平或兩平,共有C42C21+C42=18種狀況(2)X的可能取值為1,2,3,4,P(X=1)=431,P(X=2)=18P(X=3)=831,P(X=4)=1所以X的分布列為X1234P418813.D記事務A為“兩次的點數均為偶數”,B為“兩次的點數之和不大于8”,則n(A)=3×3=9,n(AB)=6,所以P(B|A)=n(AB)n(4.A記事務A:甲獲得冠軍,事務B:競賽進行了三局,事務AB:甲獲得冠軍,且競賽進行了三局,即第三局甲勝,前二局甲勝了一局,則P(AB)=C21×34×14×對于事務A,甲獲得冠軍包含兩種狀況:前兩局甲勝和事務AB,∴P(A)=342+932∴P(B|A)=P(AB)P(5.解析(1)由題意,知高一、高二、高三年級的人數之比為4∶3∶3,由于采納分層隨機抽樣的方法從中選取10名學生,因此,高一年級應選取4名學生,高二年級應選取3名學生,高三年級應選取3名學生.(2)由(1)知,被選取的10名學生中,高一、高二、高三年級分別有4名、3名、3名學生,所以從這10名學生中任選3名,這3名學生分別來自三個年級的概率為C41C(3)由題意知,隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,且X聽從超幾何分布,P(X=k)=C7所以隨機變量X的分布列為X1234P1311所以E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16.D由已知得E(X)=3,D(X)=4,故E(2X+1)=2E(X)+1=7,D(2X+1)=4D(X)=16.7.答案80解析因為X近似聽從正態(tài)分布N(84,σ2),且P(78<X≤84)=0.3,所以P(X≥90)=1-所以估計該校數學成果不低于90分的人數為400×0.2=80.思想方法練1.B∵隨機變量Y聽從二項分布B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,∴np②除以①得1-p=0.6,即p=0.4,代入①解得n=9,∴此二項分布是Y~B(9,0.4),故選B.2.解析(1)由題意知,每位員工首輪測試被認定為“暫定”的概率為C32p2(1-p)+C3每位員工再次測試被認定為“暫定”的概率為C31p(1-p)2[1-(1-p)綜上可知,每位員工被認定為“暫定”的概率f(p)=C32p2(1-p)+C33p3+C31p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p(2)設每位員工測試的費用為X,則X的可能取值為90,150,由題意知,P(X=150)=C31p(1-p)2,P(X=90)=1-C3所以E(X)=90×[1-C31p(1-p)2]+150×C31p(1-p)令g(x)=90+180x(1-x)2,x∈(0,1),則g'(x)=180[(1-x)2-2x(1-x)]=180(3x-1)(x-1),所以當x∈0,13所以函數g(x)在0,13所以g(x)≤g13=90+180×13×1-13所以此方案的最高費用為1+600×3503×10-4綜上可知,以此方案實施不會超過預算.3.解析設Y表示顧客辦理業(yè)務所需的時間,用頻率估計概率,得Y的分布列為Y12345P0.10.40.30.10.1(1)記“第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務”為事務A,則事務A對應三種情形:①第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘,且其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘;②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘,且其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘;③第一個和其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘.所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)·P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.(2)X的可能取值為0,1,2.X=0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=1對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘且其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過1分鐘,或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為2分鐘,所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.所以X的分布列為X012P0.50.490.01所以E(X)=0×