PAGEPAGE12．1.2基本不等式最新課程標準學科核心素養(yǎng)駕馭基本不等式ab≤a+b2(a1.理解基本不等式的幾何意義及其推導過程．(直觀想象、邏輯推理)2．會用基本不等式解決最值問題．(邏輯推理、數(shù)學運算)教材要點要點基本不等式定理：對隨意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，當且僅當a＝b時，等號成立．推論：對隨意a，b≥0，必有____________，當且僅當a＝b時，等號成立．其中a+b2稱為正數(shù)a，b的________，ab稱為正數(shù)a，b狀元隨筆不等式a+b2≥ab與不等式a2＋ba2＋b2≥2aba+b適用范圍a，b∈Ra＞0，b＞0文字敘述兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于它們的幾何平均值“＝”成立的條件a＝ba＝b基礎(chǔ)自測1.思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)當a，b同號時，ba+(2)函數(shù)y＝x＋1x(3)6和8的幾何平均數(shù)為23.()(4)不等式a2＋b2≥2ab與ab≤2．已知a，b∈R，且ab＞0，則下列結(jié)論恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＞2abB．a(chǎn)＋b≥2abC．1a+1b＞23．若a＞1，則a＋1a?1A．2B．a(chǎn)C．2a4．已知x，y都是正數(shù)．(1)假如xy＝15，則x＋y的最小值是________．(2)假如x＋y＝15，則xy的最大值是________．題型1利用基本不等式比較大小例1若a≥b＞0，試比較a,a2+b方法歸納一般地，若給出的數(shù)(式)涉及兩個正數(shù)的和、積或兩個實數(shù)的平方和，則可考慮利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式a+b2≥ab(a＞0，b＞0)來比較它們的大小，但此時應(yīng)跟蹤訓練1(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，則a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一個是()A．a(chǎn)2＋b2B．2abC．2abD．a(chǎn)＋b(2)已知a＞b＞c，則a?bb?c與a?c題型2利用基本不等式證明不等式例2已知a，b，c＞0，求證：a2b+b2c+方法歸納(1)在利用a＋b≥2ab時，肯定要留意是否滿意條件a＞0，b＞0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a+b2≥ab(a＞0，b(3)另外，在解題時還要留意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．跟蹤訓練2已知實數(shù)x，y均為正數(shù)，求證：(x＋y)(4x+9題型3利用基本不等式求最值例3(1)對于代數(shù)式12x＋4x①當x>0時，求其最小值；②當x<0時，求其最大值．(2)設(shè)0<x<32，求4x(3－2x(3)已知x>2，求x＋4x?2方法歸納應(yīng)用基本不等式解題的關(guān)鍵在于“拼”、“湊”、“拆”、“合”等變形，構(gòu)造出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu)．跟蹤訓練3(1)若0<x<12，則y＝x(1－2xA．14B．C．1D．4(2)已知x＜12，則2x＋1(3)已知x>1，求y＝4x課堂非常鐘1．關(guān)于命題p：?a，b∈R，ab≤a+b2A．?p：?a，b∈R，ab≥a+bB．不能推斷p的真假C．p是假命題D．p是真命題2．下列命題中正確的是()A．當a，b∈R時，ab+baB．當a＞0，b＞0時，(a＋b)1a+C．當a＞4時，a＋9a≥2a·D．當a＞0，b＞0時，2ab3．不等式9x?2＋(x－2)≥6(其中xA．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－54．已知t>0，則y＝t25．設(shè)a>0，b>0，證明：b2a+a2

2．1.2基本不等式新知初探·課前預習要點2aba+b2[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：對于A，當a＝b時，a2＋b2＝2ab，所以A錯誤；對于B，C，雖然ab>0，只能說明a，b同號，當a，b都小于0時，B，C錯誤；對于D，因為ab>0，所以ba＞0，ab＞0，所以ba+ab≥2ba·答案：D3．解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋1a?1＝a－1＋1a?1＋1≥2當且僅當a－1＝1a?1即a答案：D4．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；當且僅當x＝y(tǒng)＝15時取最小值．(2)xy≤x+y22＝152即xy的最大值是2254當且僅當x＝y(tǒng)＝152時xy答案：(1)215(2)225題型探究·課堂解透例1解析：∵a≥b>0，∴a2+b22≤a2+a22＝a，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2又a>0，b>0，則a2+b22由a>0，b>0，得a+b2∵1a+1b2≥∵21a+1b－b＝ba?ba+b∴a≥a2+b跟蹤訓練1解析：(1)方法一∵0<a<1，0<b<1且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2ab，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故選D.方法二取a＝12，b＝13，則a2＋b2＝2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝明顯56(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴a?c2＝a?b+b?c2≥a?bb?c，當且僅當a－b＝b－c答案：(1)D(2)a?b例2證明：∵a，b，c，a2∴a2b＋b≥2a2當且僅當a2b＝b2c＋c≥2b2當且僅當b2c＝c2a＋a≥2c2當且僅當c2a＝相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2∴a2b+b2c+跟蹤訓練2證明：(x＋y)4x+9y＝4＋9＋又因為x>0，y>0，所以4yx>0，9x由基本不等式得，4yx+9xy≥24yx即2y＝3x時取等號，所以(x＋y)4x+例3解析：(1)①∵x>0，∴12x>0，4x∴12x＋4x≥212x·4x當且僅當12x＝4x，即x＝3時取最小值83∴當x>0時，原式的最小值為83.②∵x<0，∴－x>0.則－12x+4x＝12?x＋(－4x)≥212?x·?4x＝83，當且僅當12?x∴12x＋4x≤－83∴當x<0時，原式的最大值為－83.解析：(2)∵0<x<32，∴3－2x>0，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x+3?2x2當且僅當2x＝3－2x，即x＝34∴y的最大值為92(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋4x?2＝(x－2)＋4x?2＋2≥2當且僅當x－2＝4x?2即x＝4時，x＋4x?2跟蹤訓練3解析：(1)∵0<x<12，∴1－2x∴y＝x(1－2x)＝12·2x(1－2x)≤12·2x+1?2x2當且僅當2x＝1－2x，即x＝14(2)∵x<12，∴1－2x∵2x＋12x?1＝2x－1＋12x?1＋1＝－∴1－2x＋11?2x≥21?2x·1∴2x＋12x?1≤(3)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，則x＝t＋1，所以y＝4x2?8x+5x?1＝4t+12?8t+1+5t當且僅當4t＝1t，即t＝12，x＝所以y＝4x答案：(1)B(2)－1(3)見解析[課堂非常鐘]1．解析：∵命題p：?a，b∈R，ab≤a+b2∴?p：?a，b∈R，ab＞a+b2當a，b一正一負時，ab＜0，a+b22≥0，ab≤當a，b中至少一個為0時，ab＝0，a+b22≥0，ab≤當a，b均為負數(shù)時，a＋b＝－(－a－b)≤－2ab，整理得ab≥a+b22，當且僅當a＝當a，b均為正數(shù)時，a＋b≥2ab，整理得ab≤a+b22，當且僅當a＝∴命題p：?a，b∈R，ab≤a+b2答案：C2．解析：A項中，可能ba<0，所以不正確；B項中，因為a＋b≥2ab>0，1a+1b≥21ab>0，相乘得(a＋b)1a+