Page13浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.下列命題中正確的（）A.0與表示同一個集合；B.由1，2，3組成的集合可表示為或；C.方程的全部解的集合可表示為；D.集合可以用列舉法表示．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合的相關(guān)概念以及表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對A：不能表示一個集合，故錯誤；對B：因為集合的元素具有無序性，故正確；對C：因為集合的元素具有互異性，中有相同的元素，故錯誤；對D：集合有無限個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.故選：B.2.設(shè)集合，則（）A.{1} B.{1，2}C.{0，1，2，3} D.{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】首先用列舉法表示集合，再依據(jù)并集的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以故選：C3.“”是“>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】干脆利用充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】“”?“>0”，“>0”?“”或”，所以“”是“>0”的充分不必要條件．故選：A.【點睛】本題主要考查邏輯條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，，那么（）A.奇函數(shù)且在上是增函數(shù) B.偶函數(shù)且在上是減函數(shù)C.奇函數(shù)且在上是減函數(shù) D.偶函數(shù)且在上是增函數(shù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇偶函數(shù)的定義推斷奇偶性，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷在上的單調(diào)性即可.【詳解】，，，故為偶函數(shù),當(dāng)時，，是增函數(shù)，故選：D．5.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負(fù)可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，即，解得.所以，函數(shù)的定義域為.故選：C.6.若，，，且滿意，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特值法即可推斷A，B，D錯誤，利用不等式的性質(zhì)即可推斷C正確.【詳解】對選項A，若，滿意，此時無意義，故A錯誤.對選項B，若，滿意，此時無意義，故B錯誤.對選項C，因為，，所以，故C正確.對選項D，若，滿意，此時，故D錯誤.故選：C7.函數(shù)的圖象大致為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性可解除CD，再由時，由的正負(fù)解除B，即可得解.【詳解】，，，函數(shù)為奇函數(shù)，故解除CD選項；當(dāng)時，，所以，例如時，，故可解除B.故選：A8.設(shè)為實數(shù)，定義在上的偶函數(shù)滿意：①在上為增函數(shù)；②，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)，得出在上為單調(diào)遞減，則轉(zhuǎn)化為，求解即可得出答案.【詳解】解：為定義在上的偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減，，，，即，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為：．故選：A.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.下列命題正確的是（）A.與不是同一個函數(shù)B.的值域為C.函數(shù)的值域為D.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義可推斷A;結(jié)合二次函數(shù)學(xué)問求得的值域，推斷B;求出函數(shù)的值域推斷C;依據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法求得的定義域，推斷D.【詳解】對于A,，的定義域為R，與對應(yīng)法則不相同，故與不是同一個函數(shù)，A正確對于B,，由，可得，又，當(dāng)時，取到最大值4，故的值域為，故B錯誤；對于C,函數(shù),定義域為,且單調(diào)遞增，此時，故函數(shù)的值域為，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為，即，則，即函數(shù)定義域為，D正確，故選:10.下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】本題目考察基本不等式的應(yīng)用，須要留意三個點，一是為正，二是乘積為定值時可以求和的最小值，三是當(dāng)且僅當(dāng)時取等，三個條件缺一不行【詳解】選項A中，時，，，，所以最小值不是2，錯誤選項B中，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等；所以，最小值為2，正確選項C中，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時無解，所以取不到最小值2，錯誤選項D中，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以最小值為2，正確故選：BD11.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（）A.函數(shù)為非奇非偶函數(shù) B.函數(shù)的定義域為C.的單調(diào)遞增區(qū)間為 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)點坐標(biāo)，求出冪函數(shù)解析式，然后對選項分別進行推斷即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，為實數(shù)，其圖像經(jīng)過點，所以，則，所以，定義域為，為非奇非偶函數(shù)，故A正確，B錯誤.且在上為增函數(shù)，故C正確.因為函數(shù)是凸函數(shù)，所以對定義域內(nèi)隨意，都有成立，故D錯誤.故選:AC.12.高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實數(shù)x，符號表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的最大值為1；B.函數(shù)的最小值為0C.函數(shù)的圖象與直線有多數(shù)個交點D.函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】由題意求出函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】由題意，對于A：函數(shù)，故A錯誤；對于B：函數(shù)的最小值為0，故B正確；對于C：函數(shù)的圖象與直線有多數(shù)個交點，故C正確；對于D：函數(shù)不是上的增函數(shù)，故D錯誤；故選：BC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.命題“，”的否定是________________．【答案】，【解析】【分析】利用全稱命題的否定形式，即可推斷.【詳解】利用全稱命題的否定形式可得：命題“，”的否定是“，”.故答案為：，14.設(shè)，，則M，N之間的大小關(guān)系為M_____________N．（填寫“>”或“=”或“<”）【答案】>【解析】【分析】作差即可得出答案.【詳解】因為，，所以.故.故答案為：>.15.集合，，若且為單元素集，則的取值為__________．【答案】【解析】【分析】依題意可得或，求出的值，再代入檢驗即可.【詳解】解：因為且，所以或，當(dāng)時，解得或，當(dāng)時，此時，不符合題意，當(dāng)時，此時，不符合題意，當(dāng)時，此時，符合題意，故答案為：16.函數(shù)（，且）的圖象恒過點，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過的定點，結(jié)合題意，干脆求解即可.【詳解】依據(jù)題意可得，，解得，故.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（1）化簡：；（2）計算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算；（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式運算法則進行計算.【詳解】（1）原式．（2）原式．18.已知實數(shù)x滿意集合，實數(shù)x滿意集合或．（1）若，求；（2）若p是q充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用交集概念及運算即可得到結(jié)果；（2）因為p是q的充分不必要條件，所以A是B的真子集，比較端點后列出不等式，得到結(jié)果．小問1詳解】因為，所以，又或．所以【小問2詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或，故實數(shù)a的取值范圍是.19.已知函數(shù)（1）試推斷函數(shù)在（-1，+）上的單調(diào)性，并賜予證明；（2）試推斷函數(shù)在的最大值和最小值【答案】（1）增函數(shù)，證明見解析；（2）最大值，最小值【解析】【分析】（1）判定函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明出來；（2）由函數(shù)的單調(diào)性求出在上的最值．【詳解】（1）∵，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，證明：任取，，且，則，∵，∴，，∴，即，∴在上是增函數(shù).（2）∵在上是增函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增，它的最大值是，最小值是．【點睛】本題主要考查了判定函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明、利用單調(diào)性求函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題．20.祥瑞物“冰墩墩”在北京2024年冬奧會強勢出圈，并衍生出許多不同品類的祥瑞物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】（1）（2）70萬盒【解析】【分析】（1）依據(jù)題意分和兩種狀況求解即可；（2）依據(jù)分段函數(shù)中一次與二次函數(shù)的最值求解即可.小問1詳解】當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時，，當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，，故銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為【小問2詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，取到最大值，為1200．因為，所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬盒時，該企業(yè)所獲利潤最大．21.若正數(shù)滿意.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）最小值.【解析】【分析】（1）由基本不等式和定，積最大求解.（2）依據(jù)已知條件，通過變形構(gòu)造出能用基本不等式的表達式，然后利用基本不等式求解.【小問1詳解】因為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)，時，.即的最大值為.【小問2