2．2.3直線的一般式方程必備學(xué)問基礎(chǔ)練進階訓(xùn)練第一層1．[2024·廣東潮州高二測試]直線2x＋3y＋1＝0在y軸上的截距為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)2．[2024·河北唐山高二測試]已知直線ax＋y－1＝0的傾斜角為30°，則a＝()A．－eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)3．直線2x＋3y＋6＝0不經(jīng)過()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．[2024·遼寧鞍山高二檢測]過點(2，0)且與直線2x－4y－1＝0垂直的直線方程是()A．x－2y－1＝0B．2x＋y－4＝0C．x－2y－2＝0D．x＋2y－2＝05．過點(－2，0)且與直線x＋y＝0平行的直線方程為()A．x＋y－2＝0B．x－y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝06．(多選)下列說法正確的是()A．直線的方程都可以表示為Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)B．若直線y＝kx＋b經(jīng)過一、三象限，則k>0C．若直線l的橫縱截距相等，則直線l的斜率為1或過原點D．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0(B≠0)，則直線l的斜率為－eq\f(A,B)7．[2024·山東菏澤高二檢測]過點(－1，2)與(3，5)的直線的一般式方程為________________．8．直線l垂直于直線y＝x＋m，且l在x軸上的截距為2，則直線l的一般式方程為________________________________________________________________________．關(guān)鍵實力綜合練進階訓(xùn)練其次層1．[2024·河北滄州高二檢測]直線xcos10°＋ysin80°－2＝0的傾斜角為()A．10°B．45°C．80°D．135°2．已知△ABC的頂點A(5，5)，AC邊上的高所在直線方程為3x＋2y－7＝0，則AC所在直線的方程為()A．x－2y＋5＝0B．2x－3y＋3＝0C．x＋2y－15＝0D．2x－3y＋5＝03．假如AC>0且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．[2024·山東濰坊高二檢測]已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋m＝0經(jīng)過定點P，直線l′經(jīng)過點P，且l′的方向向量a＝(2，1)，則直線l′的方程為()A．x－2y－3＝0B．x－2y＋3＝0C．2x－y＋3＝0D．2x－y－3＝05．(多選)直線l的方程為x＝my＋1，則()A．直線l恒過定點(1，0)B．直線l斜率必定存在C．m＝eq\r(3)時直線l的傾斜角為60°D．m＝2時直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為eq\f(1,4)6．[2024·江蘇泰州高二檢測](多選)已知直線l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，則()A．直線l過定點(0，1)B．當(dāng)a＝－1時，直線l與直線x＋y＝0垂直C．若直線l與直線x－y＝0平行，則a＝0D．當(dāng)a＝0時，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)7．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(1，0)與(－5，6)重合，求折痕所在的直線方程是________________．8．一條光線沿直線3x－4y＋5＝0入射到x軸后反射，則反射光線所在的直線方程為________________________________________________________________________．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形ABCD的頂點A(0，2)和C(4，6)，AB所在直線方程為3x－y＋2＝0.(1)求對角線BD所在直線的一般式方程；(2)求AD所在直線的一般式方程．10．[2024·廣東肇慶一中高二檢測]已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線l不經(jīng)過其次象限，求a的取值范圍．核心素養(yǎng)升級練進階訓(xùn)練第三層1．已知直線kx－y＋2k－1＝0恒過定點A，點A也在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均為正數(shù)，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()A．2B．4C．8D．62．[2024·江蘇淮安高二測試]萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是(－1，0)，(3，0)，(0，2)，則△ABC的垂心坐標(biāo)為________，△ABC的歐拉線方程為________________．3．已知直線l的方程為(3＋m)x－(1－2m)y＋(1＋5m)＝0.(1)求證：不論m為何值，直線必過定點M；(2)過點M引直線l1，使它與兩坐標(biāo)軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求l1的方程．2．2.3直線的一般式方程必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：D解析：令x＝0，則2×0＋3y＋1＝0，得y＝－eq\f(1,3).所以直線在y軸上的截距為－eq\f(1,3).故選D.2．答案：A解析：由已知得直線的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)＝－a，∴a＝－eq\f(\r(3),3).故選A.3．答案：A解析：由2x＋3y＋6＝0可得y＝－eq\f(2,3)x－2，所以直線的斜率k＝－eq\f(2,3)，y軸上的截距為－2，所以直線不經(jīng)過第一象限．故選A.4．答案：B解析：直線2x－4y－1＝0的斜率為eq\f(1,2)，故所求直線的斜率為－2，所以所求的直線方程為y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.故選B.5．答案：D解析：設(shè)與直線x＋y＝0平行的直線方程為x＋y＋C＝0，將(－2，0)代入，得－2＋0＋C＝0，解得C＝2，故直線方程為x＋y＋2＝0.故選D.6．答案：ABD解析：對A：直線的方程都可以表示為Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)，故A正確；對B：若直線y＝kx＋b經(jīng)過一、三象限，則k>0，故B正確；對C：若直線l的橫縱截距相等，則直線l的斜率為－1或過原點，故C錯誤；對D：若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0(B≠0)，即y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，則其斜率為－eq\f(A,B)，故D正確．故選ABD.7．答案：3x－4y＋11＝0解析：可得直線的斜率為eq\f(2－5,－1－3)＝eq\f(3,4)，所以直線方程為y－2＝eq\f(3,4)(x＋1)，整理得3x－4y＋11＝0.8．答案：x＋y－2＝0解析：由題意，∵直線l垂直于直線y＝x＋m，∴直線l的斜率為－1.∵l在x軸上的截距為2，∴l(xiāng)：y＝－x＋2，故直線l的一般式方程為x＋y－2＝0.關(guān)鍵實力綜合練1．答案：D解析：因為cos10°＝sin80°，故該直線的斜率k＝－1，設(shè)直線傾斜角為θ，則tanθ＝－1，又θ∈[0，π)，故θ＝eq\f(3π,4)＝135°.故選D.2．答案：D解析：設(shè)AC邊上的高所在直線的斜率為k1，則k1＝－eq\f(3,2).設(shè)AC邊所在直線的斜率為k2，因為AC邊上的高與AC垂直，所以k1k2＝－1，所以k2＝eq\f(2,3).又A(5，5)，所以AC所在直線方程為y＝eq\f(2,3)(x－5)＋5，整理為一般式得2x－3y＋5＝0.故選D.3．答案：D解析：Ax＋By＋C＝0，y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，(B≠0)，AC>0，BC<0，故－eq\f(A,B)>0，－eq\f(C,B)>0.故直線不經(jīng)過第四象限．故選D.4．答案：B解析：對l化簡得，l：m(2x＋y＋1)＋x＋y＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋1＝0,x＋y＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝1))，點P(－1，1)，又直線l′經(jīng)過點P，且l′的方向向量a＝(2，1)，可設(shè)l′上一點為A(m，n)，其中A與P不重合，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝2,n－1＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝2))，故利用兩點式，可得l′的直線方程為x－2y＋3＝0.故選B.5．答案：AD解析：對于A，由直線方程知：恒過定點(1，0)，故A正確；對于B，當(dāng)m＝0時x＝1，直線斜率不存在，故B錯誤；對于C，m＝eq\r(3)時有y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，設(shè)傾斜角為θ，即tanθ＝eq\f(\r(3),3)，則傾斜角為θ＝eq\f(π,6)，故C錯誤；對于D，m＝2時，直線l：x＝2y＋1，則x、y軸交點分別為(1，0)，(0，－eq\f(1,2))，所以直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故D正確．故選AD.6．答案：ABD解析：對于A，當(dāng)x＝0時，y＝1，與a的取值無關(guān)，故直線l過定點(0，1)，所以A正確；對于B，當(dāng)a＝－1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，其斜率為1，而直線x＋y＝0的斜率為－1，所以當(dāng)a＝－1時，直線l與直線x＋y＝0垂直，所以B正確；對于C，若直線l與直線x－y＝0平行，則a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，所以C錯誤；對于D，當(dāng)a＝0時，直線l的方程為x－y＋1＝0，橫截距和縱截距分別是－1，1，互為相反數(shù)，所以D正確．故選ABD.7．答案：x－y＋5＝0解析：∵點(1，0)與點(－5，6)連線的斜率為k＝eq\f(6－0,－5－1)＝－1，∴折痕所在直線斜率k′＝1，又點(1，0)與點(－5，6)的中點為(－2，3)，∴折痕所在直線方程為y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.8．答案：3x＋4y＋5＝0解析：由題可知，直線3x－4y＋5＝0與x軸有交點，令y＝0得x＝－eq\f(5,3)，所以直線3x－4y＋5＝0與x軸的交點為(－eq\f(5,3)，0)，又直線3x－4y＋5＝0的斜率為eq\f(3,4)，所以反射光線所在直線的斜率為－eq\f(3,4)，所以反射光線所在的直線方程為y＝－eq\f(3,4)(x＋eq\f(5,3))，即3x＋4y＋5＝0.9．解析：(1)由A(0，2)和C(4，6)得AC中點為M(2，4)，∵四邊形ABCD為菱形kAC＝eq\f(6－2,4－0)＝1，∴BD⊥AC，∴kBD＝－1，且M(2，4)為BD的中點，∴對角線BD所在直線方程為y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0,3x－y＋2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝5))，即B(1，5)，∴kBC＝eq\f(6－5,4－1)＝eq\f(1,3)，∵AD∥BC，∴kAD＝eq\f(1,3)，∴直線AD的方程為y－2＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋6＝0.10．解析：(1)證明：∵直線l為5ax－5y－a＋3＝0，即a(5x－1)＋(－5y＋3)＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－1＝0,－5y＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5),y＝\f(3,5)))，∴不論a為何值，直線l總過第一象限的點(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))，即直線l過第一象限．(2)因為直線5ax－5y－a＋3＝0的斜率明顯存在，又直線l不經(jīng)過其次象限，直線l過第一象限，所以斜率只能為正，且直線與y軸不能交于正半軸；因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,\f(－a＋3,5)≤0))，解得a≥3，∴a的取值范圍是a≥3.核心素養(yǎng)升級練1．答案：B解析：已知直線kx－y＋2k－1＝0整理得y＋1＝k(x＋2)，直線恒過定點A，即A(－2，－1).點A也在直線mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋eq\f(n,2)＝1，由于m，n均為正數(shù)，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝(m＋eq\f(n,2))(eq\f(1,m)＋eq\f(2,n))＝1＋eq\f(n,2m)＋eq\f(2m,n)＋1≥2＋2eq\r(\f(n,2m)·\f(2m,n))＝4，取等號時eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝2m,m＋\f(n,2)＝1))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),n＝1)).故選B.2．答案：(0，eq\f(3,2))5x＋4y－6＝0解析：由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，可知AB邊上的高所在的直線為x＝0，又kBC＝eq\f(2－0,0－3)＝－eq\f(2,3)，因此BC邊上的高所在的直線的斜率為eq\f(3,2)，所以BC邊上的高所在的直線為y－0＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋3＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,3x－2y＋3＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c