8.6.2直線與平面垂直(一)

【情境探究】1.觀察圖中書脊所在直線與桌面的位置關(guān)系.

問:書脊所在直線與桌面的位置關(guān)系是什么?提示:垂直.必備知識生成2.如圖,直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c,…都垂直,直線l與平面α一定垂直嗎?為什么?

提示:不一定.當(dāng)平面α內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c,…都互相平行時,直線l在保證與直線a,b,c,…都垂直的條件下,與平面α可能垂直也可能斜交或平行.3.請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如圖所示的試驗:過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).(1)問:折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面α垂直?

提示:從試驗可知:當(dāng)AD與BC不垂直時,翻折后的紙片豎起放置在桌面上,折痕AD與桌面不垂直;當(dāng)AD與BC垂直時,翻折后的紙片豎起放置在桌面上折痕AD與桌面垂直.(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直關(guān)系不變,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么結(jié)論?提示:若一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則該直線垂直這個平面.4.直線與平面所成的角θ的取值范圍是什么?提示:一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角等于90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角等于0°.因此,直線與平面所成的角α的范圍是0°≤α≤90°.【知識生成】1.直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的_____________都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的_____,平面α叫做直線l的_____,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做_____圖示

畫法畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直任意一條直線垂線垂面垂足2.直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的_____________垂直,那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,_____=P?l⊥α圖形語言

兩條相交直線a∩b2.直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的_____________垂直,那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,_____=P?l⊥α圖形語言

兩條相交直線a∩b3.直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線與平面α_____,但不和平面α_____,圖中_______

斜足斜線和平面的_____,圖中____射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引_____,過_____和_____的直線叫做斜線在這個平面上的射影,圖中斜線PA在平面α上的射影為直線___相交垂直直線PA交點(diǎn)點(diǎn)A垂線垂足斜足AO直線與平面所成的角定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,圖中______.規(guī)定:一條直線垂直于平面,它們所成的角是_____;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是____取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ,則0°≤θ≤90°∠PAO90°0°關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一直線與平面垂直的定義及應(yīng)用【典例1】(1)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況,能保證該直線與平面垂直的是 (

)①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.

A.①③ B.② C.②④ D.①②④(2)設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是 (

)A.若l⊥m,m?α,則l⊥αB.若l⊥α,l∥m,則m⊥αC.若l∥α,m?α,則l∥mD.若l∥m,m?α,則l∥α【思維導(dǎo)引】根據(jù)線面平行、垂直的定義來判定.【思維導(dǎo)引】根據(jù)線面平行、垂直的定義來判定.【解析】(1)選A.因為三角形的任意兩邊是相交的,所以①可以保證線面垂直.因為梯形的上下兩邊是平行的,此時不相交,所以②不一定能保證線面垂直.因為圓的任意兩條直徑必相交,所以③可以保證線面垂直.若直線垂直于正六邊形的兩條對邊,此時兩條對邊是平行的,所以④不一定能保證線面垂直.(2)選B.對于A,由l⊥m及m?α可知,l與α的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種,故A錯誤;B正確;對于C,l與m可能平行或異面,故C錯誤;對于D,有可能l?α,故D錯誤.【類題通法】直線與平面垂直的定義的“雙向”作用

(1)證明線面垂直:若一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直,該直線與已知平面垂直.即線線垂直?線面垂直.(2)證明線線垂直:若一條直線與一個平面垂直,則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直.即線面垂直?線線垂直.【定向訓(xùn)練】如果直線l與平面α不垂直,那么在平面α內(nèi) (

)A.不存在與l垂直的直線B.存在一條與l垂直的直線C.存在無數(shù)條與l垂直的直線D.任一條都與l垂直【解析】選C.平面α內(nèi)與l在α內(nèi)的射影垂直的直線,垂直于直線l,這樣的直線有無數(shù)條,故A,B不正確,C正確;若在平面α內(nèi),任一條都與l垂直,則直線l與平面α垂直,與題設(shè)矛盾,故D不正確.探究點(diǎn)二線面垂直判定定理的應(yīng)用【典例2】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點(diǎn),S是△ABC所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC.

(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.【思維導(dǎo)引】題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等,AB⊥BC,D是AC的中點(diǎn),要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直,故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系,要證(2),需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直,而(1)的結(jié)論可利用.【證明】(1)因為SA=SC,D為AC的中點(diǎn),所以SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB=BC,D是AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.【類題通法】證線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直①定義法(不常用).②判定定理最常用(有時作輔助線).(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)①a∥b,a⊥α?b⊥α.②α∥β,a⊥α?a⊥β.【定向訓(xùn)練】1.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求證AD⊥平面SBC.【證明】因為∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因為AD?平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證:PA∥平面EDB;(2)求證:PB⊥平面EFD.【證明】(1)連接AC交BD于點(diǎn)O.連接EO,因為底面ABCD是正方形,所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).在△PAC中,因為E為PC的中點(diǎn),所以EO是中位線,所以PA∥EO.而EO?平面EDB,且PA?平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)因為PD⊥底面ABCD,且DC?底面ABCD,所以PD⊥DC.因為PD=DC,所以△PDC是等腰直角三角形,因為DE是斜邊PC的中線,所以DE⊥PC.同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.因為底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,因為PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC,所以BC⊥DE.因為PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC,所以DE⊥PB.又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.探究點(diǎn)三直線與平面所成的角【典例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.

【思維導(dǎo)引】找出直線在平面內(nèi)的射影,即得所求角.【解析】(1)連接AC,因為直線A1A⊥平面ABCD,所以∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角,設(shè)A1A=1,則AC=,所以tan∠A1CA=.(2)連接A1C1交B1D1于O,連接BO,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,因為BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足為O.所以∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,所以∠A1BO=30°,即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.【類題通法】求直線與平面所成角的步驟

(1)作圖.作(或找)出斜線在平面上的射影,將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角或直角).(2)證明.證明找出的平面角是斜線與平面所成的角.(3)計算.通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.【定向訓(xùn)練】1.(2019·天津高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn),求證:GH∥平面PAD.(2)求證:PA⊥平面PCD.(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.【解題指南】(1)連接BD,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),以及三角形中位線的性質(zhì),得到GH∥PD,利用線面平行的判定定理證得結(jié)果.(2)取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意,得DN⊥PC,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到DN⊥PA,利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果.(3)利用線面角的定義得到∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得結(jié)果.【解析】(1)連接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH∥PD,又因為GH?平面PAD,PD?平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意,得DN⊥PC,又因為平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA?平面PAC,故DN⊥PA,又因為PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)連接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角.因為△PCD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點(diǎn),所以DN=,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為.2.已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍,求側(cè)棱與底面所成角的余弦值.【解析】如圖,設(shè)正三棱錐的底面邊長為a,則側(cè)棱長為2a.設(shè)O為底面中心,則∠SAO為SA與平面ABC所成的角.在Rt△SOA中,因為AO=所以cos∠SAO=即側(cè)棱與底面所成角的余弦值為.3.正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為棱AB的中點(diǎn),求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值.【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O,過E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1,易證AC⊥平面BB1D1D,所以EO1⊥平面BB1D1D,所以B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影,所以∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角.設(shè)正方體的棱長為a,因為E是AB的中點(diǎn),EO1∥AC,所以O(shè)1是BO的中點(diǎn),所以EO1=所以tan∠EB1O1=【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,∠PDA=30°,O,E,F分別是AC,AB,PC的中點(diǎn).(1)證明:平面EFO∥平面PAD.(2)證明:FO⊥平面ABCD.(3)求EF與平面ABCD所成角的大小.【解題指南】(1)要證面面平行,可先證線面平行,也可證一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一平面的兩條直線分別平行,題中利用中位線定理可得線線平行,從而證得面面平行.(2)由(1)得FO∥PA,再結(jié)合PA⊥平面ABCD,可得.(3)由線面所成角的定義知∠FEO為所求角,解三角形可得.【解析】(1)在△PAC中,因為F,O分別為PC,AC的中點(diǎn),所以FO∥PA,在△ABC中,因為E,O分別為AB,AC的中點(diǎn),所以EO∥BC,又BC∥AD,所以EO∥AD,又因為EO∩FO=O,所以平面EFO∥平面PAD.(2)因為PA⊥平面ABCD,又由(1)知PA∥FO,因此FO⊥平面ABCD.(3)因為FO⊥平面ABCD,所以∠FEO即為EF與平面ABCD所成的角,又FO=PA,EO=AD,所以∠FEO=∠PDA=30°,即EF與平面ABCD所成角的大小為30°.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.1.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 (

)

A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC【解析】選C.由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.如圖所示,定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi),定點(diǎn)P?α,PB⊥α,C是平面α內(nèi)異于A和B的動點(diǎn),且PC⊥AC,則△ABC為 (

)

A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.無法確定【解析】選B.易證AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC為直角三角形.3.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,則PC與平面ABCD所成角的大小為 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.如圖,連接AC.因為PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.因為AC=,所以tan∠PCA=所以∠PCA=60°.4.設(shè)PA與平面α所成角為θ,斜線段PA=l,則它在平面α內(nèi)的射影長為________.

【解析】如圖,PA=l,PO⊥α,∠PAO=θ,所以AO=lcosθ.答案:lcosθThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強(qiáng).勵志名言請您欣賞【解析】選C.如圖,連接AC.因為PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.因為AC=,所以tan∠PCA=所以∠PCA=60°.2.如圖所示,定點(diǎn)A和