河南省新鄉(xiāng)市封丘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月階段性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B．1 C． D．i2．下列說法不正確的是（）A．若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線B．若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線C．若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈lD．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面3．已知向量，，且，則（）A． B．5C． D．4．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（

）A． B．4 C．2 D．5．已知兩條不同的直線和平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線 D．以上答案都不對7．在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，向量，向量，且滿足，則角A＝（）A． B．C． D．8．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．二、多選題9．某校對120名考生的數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，得到如圖所示頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（

）A．B．該校學(xué)生數(shù)學(xué)競賽成績落在內(nèi)的考生人數(shù)為24C．該校學(xué)生數(shù)學(xué)競賽成績的中位數(shù)大于80D．估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)落在內(nèi)10．如圖，已知正方體，點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與共面 B．平面平面C． D．平面11．在中，角A，B，C的邊分別為a，b，c，已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．周長的最大值為 D．面積的最大值12三、填空題12．已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為.13．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．14．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，且該圓錐的母線是底面半徑的倍，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為．四、解答題15．（1）若復(fù)數(shù)．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值，（2）已知平面內(nèi)的三個(gè)向量，若，求實(shí)數(shù)的值16．為了了解高二段1000名學(xué)生的一周課外活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的一周課外活動(dòng)時(shí)間，時(shí)間全部介于10分鐘與110分鐘之間，將課外活動(dòng)時(shí)間按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個(gè)組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8．(1)求第一組數(shù)據(jù)的頻率并計(jì)算調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生的一周課外活動(dòng)時(shí)間；(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．17．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面ACE；(2)設(shè)正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．18．在中，角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若點(diǎn)在線段上，且滿足，求面積的最大值．19．在中，角、、所對的邊分別是、、．且．(1)求角的大??；(2)求的取值范圍；(3)若，，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足．求的值，并求此時(shí)的面積．1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意得，故選：C2．B【詳解】若四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)共線，則直線和直線外一點(diǎn)，確定一個(gè)平面；若四點(diǎn)共線，則四點(diǎn)一定共面；若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，故A正確．若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行，故B錯(cuò)誤．若a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈α，A∈β.因?yàn)棣痢搔拢絣，所以A∈l，故C正確．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故D正確．故選B.3．B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)向量加減的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的計(jì)算公式即可.【詳解】由，可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算可得，解得，所以，得，故選：B．4．C【分析】借助三角形面積公式及余弦定理計(jì)算即可得.【詳解】，由，故，又，故，，由余弦定理可得：，即.故選：C.5．D【分析】在長方體中，選取直線和平面，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，取平面為平面，直線為，不妨取直線為，顯然有，此時(shí)，即推不出，不妨取直線為直線，顯然有，此時(shí)，即推不出，故選：D.6．B【分析】AC可舉出反例；B選項(xiàng)，根據(jù)線面平行的判定定理得到B正確.【詳解】A選項(xiàng)，若這些無數(shù)條直線均平行，此時(shí)無法推出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由面面平行的判定定理得到B正確，故D錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，如圖，，平行于同一條直線，但，不平行，C錯(cuò)誤；故選：B7．C【分析】由結(jié)合正弦定理得到，然后利用余弦定理求解.【詳解】解：因?yàn)?，向量，且，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，故選：C.8．A【詳解】根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．

考點(diǎn)：棱錐與外接球，體積．【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐與外接球問題，首先我們要熟記一些特殊的幾何體與外接球（內(nèi)切球）的關(guān)系，如正方體（長方體）的外接球（內(nèi)切球）球心是對角線的交點(diǎn)，正棱錐的外接球（內(nèi)切球）球心在棱錐的高上，對一般棱錐來講，外接球球心到名頂點(diǎn)距離相等，當(dāng)問題難以考慮時(shí)，可減少點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如先考慮到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形的外心，球心一定在過此點(diǎn)與此平面垂直的直線上．如直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等等等．9．BD【解析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可判斷A的正誤；根據(jù)頻率分布直方圖，求得的概率，即可求得該組人數(shù)，即可判斷B的正誤；根據(jù)頻率分布直方圖中位數(shù)的求法，可判斷C的正誤；根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法，求得平均數(shù)，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故A錯(cuò)誤；對于B，由頻率分布直方圖得成績落在的概率為0.2，人數(shù)為，故B正確；對于C，由頻率分布直方圖得：的頻率為，的頻率為，所以成績的中位數(shù)位于內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對于D，估計(jì)成績的平均數(shù)為：所以成績的平均數(shù)落在內(nèi)，故D正確.故選：BD.10．AB【分析】證明出，可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理可判斷C選項(xiàng)；利用反證法可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對于A選項(xiàng)，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，故，所以，與共面，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，B對；對于C選項(xiàng)，不妨設(shè)的棱長為，則，，，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，所以，，故、不垂直，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，假設(shè)平面，又因?yàn)槠矫?，，、平面，所以，平面平面，事?shí)上，平面與平面不平行，假設(shè)不成立，D錯(cuò).故選：AB.11．AC【分析】對A：由正弦定理求解可判斷；對B：用余弦定理求解可判斷；對C：由余弦定理結(jié)合不等式可判斷；對D：余弦定理結(jié)合三角形的面積公式和不等式可判斷.【詳解】對A：由正弦定理可得：，故A正確；對B：由余弦定理可得：，又，所以，故B錯(cuò)誤；對C：由余弦定理，所以，又.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.此時(shí)周長的最大值為.故C正確；對D：由余弦定理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．【分析】由，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)榍覟榉橇阆蛄?，設(shè)，則，又，所以，則，所以，設(shè)向量的夾角為，則，即向量夾角的余弦值為.故答案為：.13．【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意設(shè)頂點(diǎn)在底面圓的射影點(diǎn)為，利用三角形面積公式和母線SA，SB所成角求出半徑和母線長度，再利用扇形面積公式即可求解．【詳解】如圖，設(shè)頂點(diǎn)在底面圓的射影點(diǎn)為，連接，，，因?yàn)閳A錐的母線是底面半徑的倍，設(shè)，則，因?yàn)槟妇€SA，SB所成角的余弦值為，，又的面積為，，，該圓錐的側(cè)面積為，故答案為：．15．（1）；（2）【分析】（1）利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件列出方程組，即可得出．（2）利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程求解．【詳解】（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．（2），，，，．16．(1)0.06，50名(2)64（分鐘）【分析】（1）利用頻率和為1可求解頻率，再利用頻率，頻數(shù)，總數(shù)之間的關(guān)系可求解學(xué)生人數(shù)；（2）平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的中點(diǎn)乘以對應(yīng)的長方形面積之和；【詳解】（1）設(shè)圖中從左到右前3個(gè)組的頻率分別為3x，8x，19x．依題意，得所以．所以第一組數(shù)據(jù)的頻率為，設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的課外活動(dòng)時(shí)間，則，得，所以調(diào)查中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的課外活動(dòng)時(shí)間．（2）由題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(分鐘)．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于，連接，即可得到，從而得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)及計(jì)算可得三棱錐的體積．【詳解】（1）連接交于，連接，則為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn),所以是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正方體中，易知平面，所以.18．(1)(2)【分析】（1）借助三角形內(nèi)角和為與兩角和的正弦公式計(jì)算即可得；（2）可借助余弦定理與基本不等式計(jì)算，或借助向量，結(jié)合數(shù)量積公式與基本不等式計(jì)算.【詳解】（1）由題意得，即，，，，又；（2）解法一：令，則，，，即，①，又，②，聯(lián)立①②，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即，，面積的最大值為.解法二：依題意，，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，，面