Page22湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線的方向向量是，則直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關(guān)系求解，【詳解】由題意得直線的斜率為，則直線的傾斜角是，故選：C2.直線，，若，則的值為（）A B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于的等式，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：D.3.在下列四個(gè)命題中，正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大B.過(guò)點(diǎn)的直線方程都可以表示為：C.經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線方程都可以表示為：D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，截距式方程的適用范圍，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對(duì)A：當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，傾斜角越大，斜率越大；當(dāng)時(shí)，不存在斜率；當(dāng)時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不行以用表示，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：經(jīng)過(guò)隨意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線，當(dāng)斜率等于零時(shí)，，，方程為，能用方程表示；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，方程為，能用方程表示，故C正確，對(duì)D：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)切線長(zhǎng)，半徑以及圓心到點(diǎn)的距離的關(guān)系，求得圓心到直線的距離，再求切線長(zhǎng)距離的最小值即可.【詳解】圓，其圓心為，半徑，則到直線的距離；設(shè)切線長(zhǎng)為，則，若最小，則取得最小值，明顯最小值為，故的最小值為，即切線長(zhǎng)的最小值為.故選：A.5.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用三角形的重心坐標(biāo)公式可得，將其代入可得結(jié)果.【詳解】分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)，G點(diǎn)是三角形的重心則，得，又是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，，即，又G點(diǎn)是三角形的重心，所以點(diǎn)G的軌跡方程為故選：B6.已知橢圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿意橢圓方程，整理化簡(jiǎn)求得，再結(jié)合離心率計(jì)算公式求解即可.【詳解】易知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，依據(jù)題意可得：，故可得或，又，故；則離心率.故選：D.7.過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與橢圓交于、兩點(diǎn)，其中為線段的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)、、，利用點(diǎn)差法，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合已知條件可得，將其代入上式化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.詳解】設(shè)、、，由題意得，，兩式相減，得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且直線的傾斜角為，所以．因?yàn)?，直線的傾斜角為，，易知點(diǎn)在其次象限，則，，所以，所以，得，所以，即，所以．故選：D.8.已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，全部滿意條件直線的條數(shù)為（）A.11 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】先求出的范圍，找到為整數(shù)的條數(shù)即可.【詳解】由已知圓，得所以圓心為，半徑，且設(shè)定點(diǎn)為，易知在圓內(nèi)，當(dāng)與垂直時(shí)，，最小為當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大為故，即又因?yàn)?，，的長(zhǎng)為整數(shù)所以當(dāng)時(shí)，直線的條數(shù)各為兩條，當(dāng)時(shí)，直線的條數(shù)為一條，共條.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于曲線，下面說(shuō)法正確的是（）A.若，曲線C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.若曲線是橢圓，則的取值范圍是C.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍是D.若曲線是橢圓且離心率為，則的值為或【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線、橢圓的學(xué)問(wèn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】曲線，A選項(xiàng)，，，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若曲線橢圓，則，解得且，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，曲線是橢圓且離心率為，，由B選項(xiàng)的分析可知且，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，解得；當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，解得，所以的值為或，D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.已知兩圓方程為與，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩圓外切，則B.若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C.若兩圓的公共弦長(zhǎng)為，則D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線相互垂直，則【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑.設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑..A選項(xiàng)，若兩圓外切，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，則，此時(shí)，滿意兩圓相交，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，到直線的距離為，所以，即，則解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線相互垂直，設(shè)交點(diǎn)為，依據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11.已知兩點(diǎn)的距離為定值，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，下面說(shuō)法正確的是（）A.若，則最大值為2B.若，則最大值為C.若，則最大值為D.若，則最大值為1【答案】BC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)條件分別求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再由三角形ABC的面積，轉(zhuǎn)化為由軌跡方程求的最大值即可得解.【詳解】設(shè)，動(dòng)點(diǎn)，對(duì)A，，即，化簡(jiǎn)可得C的軌跡方程，所以三角形ABC的面積，即C點(diǎn)為時(shí)，三角形ABC面積最大，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由題意可得，化簡(jiǎn)可得C的軌跡方程，所以，即C點(diǎn)為時(shí)，三角形ABC面積最大，故B正確；對(duì)C，由知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓（除去長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)），橢圓方程為，三角形ABC的面積，即當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到短軸端點(diǎn)時(shí)，三角形面積最大，故C正確；對(duì)于D，由題意，化簡(jiǎn)可得C的軌跡方程，三角形ABC的面積，由雙曲線中的范圍知，三角形ABC的面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知分別為橢圓左、右焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為B.若橢圓上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是C.若圓的方程為，橢圓上存在點(diǎn)P，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則橢圓E的離心率的取值范圍是D.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，橢圓上存在點(diǎn)P使得，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出，，則，表達(dá)出，分與兩種狀況，得到不同狀況下的線段長(zhǎng)度的最小值，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，先得到上下頂點(diǎn)能夠使得為等腰三角形，再數(shù)形結(jié)合得到為圓心，為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，列出不等式組，求出答案；C選項(xiàng)，分與兩種狀況，第一種狀況成立，其次種狀況下得到P點(diǎn)與上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，數(shù)形結(jié)合列出不等式，最終求出離心率的取值范圍；D選項(xiàng)，設(shè)，，則，表達(dá)出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合得到，求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則，，，若，此時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，線段長(zhǎng)度的最小值為；若，此時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，線段長(zhǎng)度的最小值為，綜上：A錯(cuò)誤；如圖，橢圓左右頂點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)為，明顯上下頂點(diǎn)能夠使得為等腰三角形，要想橢圓上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，以為圓心，為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，則要滿意，且，即，解得：，且，故橢圓的離心率的取值范圍是，B正確；若，此時(shí)與橢圓有公共點(diǎn)，故存在點(diǎn)P，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，此時(shí)，即；若，即時(shí)，如圖所示：連接OP，OB，明顯，，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，要想最大，只需最大，故當(dāng)最小時(shí)，滿意要求，故P點(diǎn)與上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，故當(dāng)時(shí)滿意要求，所以，即，所以，解得：，所以，綜上：若圓的方程為，橢圓上存在點(diǎn)P，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則橢圓E的離心率的取值范圍是，C正確；設(shè)，，則，橢圓上存在點(diǎn)P使得，即在上有解，即在上有解，令，留意到，，故只需滿意，由①得：，由②得：或，綜上：則橢圓的離心率的取值范圍是，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】離心率時(shí)橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考察的學(xué)問(wèn)點(diǎn)，這類問(wèn)題一般有兩類，一是依據(jù)肯定的條件求橢圓的離心率，另一類是依據(jù)題目條件求解離心率的取值范圍，無(wú)論是哪類問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于的等式或不等式，并且依據(jù)化為的等式或不等式，求出離心率或離心率的范圍，再求解橢圓離心率取值范圍時(shí)常用的方法有：一、借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系；二、利用函數(shù)的值域求解范圍；三、依據(jù)橢圓自身性質(zhì)或基本不等式求解范圍等.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)漸近線、焦點(diǎn)以及求得.【詳解】依題意雙曲線的漸近線，由焦點(diǎn)得，由，解得.故答案為：14.寫(xiě)出訪得關(guān)于的方程組無(wú)解的一個(gè)的值為_(kāi)_____.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】，3，（寫(xiě)出一個(gè)即可）【解析】【分析】依據(jù)方程組無(wú)解，探討其中一方程無(wú)解、兩方程表示的直線平行、一方程表示直線過(guò)，另一方程表示直線不過(guò)該點(diǎn)的狀況得解.【詳解】明顯，當(dāng)時(shí)，不表示直線，無(wú)解，故方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由方程組可看作求兩直線（）與的交點(diǎn)，則方程組無(wú)解，即直線無(wú)交點(diǎn)，若兩直線平行，則，解得.若兩直線不平行時(shí)，過(guò)點(diǎn)，即，解得或，此時(shí)，不過(guò)點(diǎn)，方程組無(wú)解.綜上，的取值為.故答案為：，3，（寫(xiě)出一個(gè)即可）15.已知橢圓的右焦點(diǎn)F，P是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)是，則的最大值是______.【答案】13【解析】【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，依據(jù)橢圓的定義將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由可知，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)且當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立．的最大值為，故答案為：.16.已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓，則的值為_(kāi)_____.【答案】4【解析】【分析】設(shè)出所在圓的圓心以及圓方程，依據(jù)圓心坐標(biāo)滿意的垂直平分線，結(jié)合直線為圓與圓的相交線直線，比較系數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所在圓的圓心為，則圓方程為；又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故垂直平分線的斜率，則的垂直平分線所在方程為：，即，故；因?yàn)橹本€為圓與圓的相交弦，故兩圓方程作差可得：，即，又直線方程為，則，解得.故答案：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.直線過(guò)點(diǎn)，且傾斜角比直線的傾斜角大.（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且距離為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則由題意可得，再利用兩角和的正切公式可求出，即可得直線的斜率，從而可求出直線的方程；（2）由題意可設(shè)直線的方程為，再利用兩平行線間的距離公式列方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則題意得，所以，所以直線的方程為，即，【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與直線的距離為，所以，解得或，所以直線的方程為和.18.已知三點(diǎn)都在圓上.（1）試求圓C的方程；（2）若斜率為的直線與圓交于不同兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，依據(jù)“以為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)”求得到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】由題意知三點(diǎn)，，構(gòu)成的是以PQ為斜邊的直角三角形，所以覆蓋它且面積最小的圓是的外接圓，故圓心是線段PQ的中點(diǎn)，半徑，所以圓C的方程是.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線l的方程是：，即，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好過(guò)點(diǎn)，，所以圓心C到直線l的距離是，即解得：.所以直線l的方程是：或.19.已知圓.（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）已知點(diǎn)．則在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）或；（2）存在，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2,理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解，（2）由題意列式得軌跡方程，由圓和圓的位置關(guān)系求解，【小問(wèn)1詳解】由題意圓C：，圓心，半徑，1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，符合題意；2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：即，則圓心C到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為即綜上，直線l的方程為或；【小問(wèn)2詳解】假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)，則C：，又，即，P的軌跡是圓心為，半徑為3的圓.因?yàn)?，所以圓C：與圓相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為220.如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)（1）若是線段的中點(diǎn)，試證明平面；（2）已知直線與平面所成角為.①若和的面積分別記為，試求的值；②求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定即可證明.（2）①利用向量法和三角形面積公式即可求得的值，②利用等體積法即可求得體積.【小問(wèn)1詳解】∵，分別為線段，，∴，又∵，∴，面PAD，面PAD，∴面PAD.【小問(wèn)2詳解】分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，，，設(shè)平面AEF的法向量，則，所以，取，設(shè)，則則，整理得，解得或（舍去)，①②∵，且21.已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，為其左焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求△面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）最大值為，此時(shí)直線l的方程.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，列出滿意的等量關(guān)系，求得，則橢圓方程得解；（2）對(duì)直線的斜率進(jìn)行探討，在斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，即可表達(dá)出三角形面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求函數(shù)的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)題意可得：，，又，解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線l斜率為零時(shí)，明顯不滿意題意；②直線l的斜率不為零，設(shè)其方程為：，聯(lián)立橢圓方程：可得：，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，則，，，點(diǎn)O到直線AB的距離，，令，則，故對(duì)函數(shù)，，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)；故△面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程.下證：在單調(diào)遞增.