Page1四川省瀘州市瀘縣2024-2025學年高三數學下學期開學考試（文）試題留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結束后，請將答題卡交回.一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程組可得集合.【詳解】解方程組可得，因此，.故選：C.2.若復數（，），則把這種形式叫做復數z的三角形式，其中r為復數z的模，為復數z的輻角，則復數的三角形式正確的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據復數的三角形式的定義干脆推斷.【詳解】復數的模為1，輻角為，所以復數的三角形式為.故選：A3.已知向量，，若，則的值為（）A.2 B.-2 C.6 D.-6【答案】C【解析】【分析】依據向量的坐標運算，求得，結合向量垂直的條件和數量積的運算公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，因為，則，解得.故選：C.4.“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】由或此時；但當不確定得到，故“”是“”的充分而不必要條件選A5.設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S5＝S4+S3，且a1＝1，則S10＝（）A.45 B.55 C.81 D.100【答案】D【解析】【分析】利用等差數列的求和公式求出公差，再利用求和公式即可得出．【詳解】設等差數列{an}公差d，∵S5＝S4+S3，且a1＝1，∴5+d＝4+d+3+d，解得d＝2．則S10＝10+×2＝100，故選：D．6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的（）A.501 B.642 C.645 D.896【答案】B【解析】【分析】依據框圖，逐一寫出各個循環(huán)的運算結果，直到s>500，跳出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】s=0,m=1;s=0+1×21=2，m=1+1=2,s≤500；s=2+2×22=10，m=2+1=3,s≤500；s=10+3×23=34,m=3+1=4,s≤500；s=34+4×24=98,m=4+1=5,s≤500；s=98+5×25=258,m=5+1=6,s≤500；s=258+6×26=642，m=6+1=7,s>500；結束循環(huán)，輸出s=642.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的輸入輸出值的確定，涉及循環(huán)結構，依據程序逐行模擬運算即得.7.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐個推斷可得答案.【詳解】對于A，或與相交但不垂直或，故A不正確；對于B，因為，過作平面交平面于，所以，由，可得，所以，所以，故B正確；對于C，或、相交且垂直或、相交但不垂直或、異面且垂直或、異面但不垂直，故C不正確；對于D，或或與相交但不垂直或.故選：B8.若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可設圓心坐標為，其中，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑可求得正數的值，由此可得出圓的方程.【詳解】由題意可設圓心坐標為，其中，因為圓與直線相切，則，因為，解得，因此，圓的方程為.故選：A.9.在三棱柱中，為該棱柱的九條棱中某條棱的中點，若平面，則為（）．A.棱的中點 B.棱的中點 C.棱的中點 D.棱的中點【答案】B【解析】【分析】依據三棱柱及平面，可推斷棱的中點為D時滿意題意.【詳解】如圖，當為棱的中點時，取的中點，,平面平面，又平面則平面.故選：B10.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于y軸對稱C.的圖象不關于對稱D.的圖象關于對稱【答案】D【解析】【分析】A用周期性來推斷，B用奇偶性來推斷，CD選項利用對稱性來推斷.【詳解】，A選項，和最小正周期都是，所以的最小正周期是，A選項錯誤.B選項，和都是奇函數，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，B選項錯誤.C選項，，，所以的圖象關于對稱，C選項錯誤.D選項，，，所以的圖象關于對稱，D選項正確.故選：D.【點睛】推斷函數圖象關于點對稱，則需推斷.11.已知函數在區(qū)間上單調遞增，且在區(qū)間上有且僅有一個解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用整體代換思想以及正弦函數的單調遞增區(qū)間求出函數的單調遞增區(qū)間，結合集合的包含關系求出的范圍，然后再利用正弦函數取最大值的性質可再得一個的范圍，兩個范圍取交集即可求解.【詳解】令，解得，，而函數在區(qū)間上單調遞增，所以，解得，當時，，因為在區(qū)間上有且僅有一個解，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題的核心是利用整體思想，首先依據正弦函數的單調性，以及已知單調性得的一個取值范圍；然后依據取最值的個數，求得的另一個范圍.這里要留意，說明，而依據題意，只有一個解，所以只能取一個值，而依據函數本身的圖象可以發(fā)覺只能等于1.假如能夠取到，那么依據自變量的范圍，此時確定也可以取1，所以舍去.12.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把c用對數表示，依據式子結構，轉化為比較的大小，分別與1和比較即可.【詳解】，，由得，.因為，所以，，即.下面比較a、b的大小關系：（其中），，所以所以所以.故選：C.【點睛】指、對數比較大小：（1）結構相同的，構造函數，利用函數的單調性比較大??；（2）結構不同的，找尋“中間橋梁”，通常與0、1比較.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.若實數x，y滿意約束條件，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】畫出約束條件表示的可行域，將目標函數化為直線斜截式，截距最大時，.【詳解】解：約束條件表示的可行域為如圖所示陰影部分：將目標函數化為直線斜截式，由圖可知當直線經過時在軸上截距最大，所以.故答案為：4.14.宋元時期是我國古代數學特別輝煌的時期，涌現了一大批卓有成就的數學家，其中秦九韶?李冶?楊輝和朱世杰成就最為突出，被譽為“宋元數學四大家”.現從秦九韶的《數書九章》?李冶的《測圓海鏡》《益古演段》?楊輝的《詳解九章算法》?朱世杰的《算學啟蒙》《四元玉鑒》這六部著作中任選2本研讀，則必選《數書九章》的概率是___________.【答案】【解析】【分析】由題設，寫出必選《數書九章》的選法、以及全部可能的選法，應用古典概型的概率求法求概率.【詳解】由題意知：必選《數書九章》的選法有種，而全部可能的選法有種，∴必選《數書九章》的概率為.故答案為：.15.寫出一個符合“對，當時，”的函數_______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依據題意可知，滿意條件的函數是定義域為的減函數，即可寫出．【詳解】設，，則，由單調性的定義可知，函數是定義域為的減函數，所以函數滿意題意．故答案為：．16.定義兩條曲線的“正交點”：曲線與曲線交于點，且在處的切線相互垂直．下列各組曲線存在“正交點”的是________（填序號）．①與；②與，；③與，【答案】③【解析】【分析】分別對各選項利用導數探討函數的切線，即可得解；【詳解】解：①聯立得方程組解得或或，設，，則，，當時，，此時兩切線不垂直，當時，，此時兩切線不垂直，當時，，此時兩切線不垂直，綜上與不存在“正交點”；②與，，所以，因為直線的斜率為，所以解得，故切點坐標為，又因為，所以點不在直線上，故不存在“正交點”③與，，假設兩曲線存在“正交點”，如圖設為正交點，直線為圓的切線，直線為拋物線的切線，由題意，得直線需過原點，對求導，得，所以，解得（負值舍去），所以，將點坐標代入，得，因為方程在上有解，所以兩曲線存在“正交點”；故答案為：③【點睛】本題以新定義“正交點”為載體，考查導數的運算及導數的幾何意義，考查數形結合思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答.（一）必做題：共60分.17.已知的內角所對的邊分別為，若向量，，且（1）求角（2）若，求角【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由，得到,依據,求出B的值；（2）在中，利用正弦定理求出，依據,求出A的值.【詳解】（1）∵向量，，且，∴,∵，∴,∵,∴.（2）在中，，，由正弦定理得：，∴∵,∴,∴或.【點睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思索：(1)從題目給出的條件，邊角關系來選擇；(2)從式子結構來選擇．18.隨著互聯網行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實體經濟的融合不斷加深，互聯網對社會經濟發(fā)展的推動效果日益顯著，某大型超市安排在不同的線上銷售平臺開設網店，為確定開設網店的數量，該超市在對網絡上相關店鋪做了充分的調查后，得到下列信息，如圖所示（其中表示開設網店數量，表示這個分店的年銷售額總和），現已知，求解下列問題；（1）經推斷，可利用線性回來模型擬合與的關系，求解關于的回來方程；（2）依據閱歷，超市每年在網上銷售獲得的總利潤（單位：萬元）滿意，請依據（1）中的線性回來方程，估算該超市在網上開設多少分店時，才能使得總利潤最大．參考公式；線性回來方程，其中【答案】（1）；（2）開設8或9個分店時，才能使得總利潤最大．【解析】【分析】（1）先求得，再依據供應的數據求得，，寫出回來直線方程；（2）由（1）結合，得到，再利用二次函數的性質求解.【詳解】（1）由題意得，所以．（2）由（1）知，，所以當或時能獲得總利潤最大．19.如圖，在三棱錐中，，，．（1）證明：；（2）若直線AC與平面BCD所成的角為，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）取BD中點O，連接OA，OC，利用等腰三角形性質證明，利用三角形全等證明，證得平面，即證；（2）先證明平面平面，確定直線AC與平面所成的角為，再利用余弦定理求證得，即知平面，利用體積公式計算即可.【詳解】解：（1）證明：取BD中點O，連接OA，OC，則，又，，，所以，所以，所以．，平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，所以CA在平面上的射影是CO，所以為直線AC與平面所成的角，即．又因為，，在中，由余弦定理可知，所以，所以，且平面平面，所以平面．所以．【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：干脆作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的確定值，即是線面成角的正弦值.20.已知拋物線的焦點到直線的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，若，直線與拋物線相交于兩點，與直線相交于點，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）寫出拋物線的焦點坐標，依據點到直線的距離公式列方程，解方程可得的值，即得拋物線的方程；（2）設，直線，.將直線的方程與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系可得.求出點到直線的距離，依據弦長公式求出，故的面積，可求面積的取值范圍．【詳解】（1）拋物線的焦點坐標為，焦點到直線的距離為，.拋物線的方程為．（2）由題意可設，直線，將直線的方程代入拋物線的方程，消去，得．直線與拋物線相交于兩點，．設，則.是線段的中點，，代入，解得．又，，，或．直線的方程為.點到直線的距離，又，，．令，則．或，，即．面積的取值范圍為．【點睛】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查考生的邏輯推理實力和運算求解實力，屬于較難的題目．21.已知函數.（1）求曲線在點處切線方程；（2）當時，求證：存在，使得對隨意的，恒有.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據導數的幾何意義進行求解即可；（2）對不等式進行變形，構造函數，利用導數推斷所構造函數的單調性，依據構造函數的單調性，結合已知進行證明即可.【詳解】（1）由，得，∴，故所求切線方程，即；（2）證明：由，得，考慮到，可得，設，則，當時，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減.由在區(qū)間內是減函數及，得當時，，①又，則存在即，使得.又在區(qū)間內是增函數，∴當時，.②由①②可知，存在，使恒成立，即存在，使得對隨意的，恒有.【點睛】本題考查了利用導數求曲線的切線方程，考查了利用導數證明不等式恒成立問題，考查了數學運算實力.（二）選做題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系與參數方程22.在平面直