Page17湖北省孝感市2024-2025學年高一數(shù)學下學期收心(開學)考試一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.勾股定理是“人類最宏大的十個科學發(fā)覺之一”.我國對勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，他用來證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”，年在北京召開的國際數(shù)學大會選它作為會徽在趙爽弦圖中直角三角形較小的銳角記為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，依據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可求得的值.【詳解】設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，由題意可知，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，由題意可得，解得，故.故選：C.2.下面五個式子中：①；②；③；④；⑤，正確的有（）A.②③④ B.②③④⑤ C.②④⑤ D.①⑤【答案】C【解析】【分析】依據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關系逐一推斷即可.【詳解】解：①中，是集合中的一個元素，，所以①錯誤；②中，空集是任一集合的子集，所以②正確；③中，是的子集，，所以③錯誤；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正確；⑤中，是元素，所以⑤正確.故選：C.3.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆計算出，再依據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，可得答案.【詳解】，，，所以故選：C4.已知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)反函數(shù)的定義得出，即可計算得出.【詳解】因為，所以其反函數(shù)為，即，所以，故選：D.5.若函數(shù)的一個零點（正數(shù)）旁邊的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似解（精確度0.04）為（）A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.4375【答案】D【解析】【分析】依據(jù)零點存在定理推斷求解．【詳解】由表格結合零點存在定理知零點在上，區(qū)間長度為0.03125，滿意精度要求，視察各選項，只有D中值1.4375是該區(qū)間的一個端點，可以作為近似解，故選：D．6.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調遞增，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，得到，解得，結合函數(shù)奇偶性得到在上單調遞減，從而列出不等式，求出不等式的解集.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得：，因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，因為，所以，故，解①得：或，解②得：，故故選：C7.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再求出內、外函數(shù)的單調區(qū)間，最終依據(jù)復合函數(shù)的單調性推斷即可.【詳解】解：對于函數(shù)，令，即，解得，所以函數(shù)的定義域為，又在上單調遞增，在上單調遞減，又在定義域上單調遞減，所以的單調遞減區(qū)間為.故選：B8.定義在上的奇函數(shù)，當時，，則關于的函數(shù)的全部零點之和為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)各區(qū)間的函數(shù)性質畫出的圖象，將問題轉化為與直線的交點問題，結合已知條件推斷交點橫坐標間的對稱關系，進而求零點的和.【詳解】由題設，畫出上的大致圖象，又為奇函數(shù)，可得的圖象如下：的零點，即為方程的根，即圖像與直線的交點.由圖象知：與有5個交點：若從左到右交點橫坐標分別為，1、關于對稱，；2、且滿意方程即，解得：；3、關于軸對稱，則；故選：B二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列命題正確的是（）A.第一象限的角都是銳角 B.小于的角是銳角C.是第三象限的角 D.鈍角是其次象限角【答案】CD【解析】【分析】A.舉例說明；B.舉例說明；C.利用終邊相同的角推斷；D.利用鈍角的范圍推斷.【詳解】對于A，如是第一象限的角，不是銳角，故A錯誤；對于B，如小于，不是銳角，故B錯誤；對于C，由，所以與終邊相同，是第三象限的角，故C正確；對于D，鈍角為的角，是其次象限角，故D正確.故選：CD.10.下列說法中正確為（）A.不論取何實數(shù)，命題“，”為真命題B.若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為C.設集合，，則“”是“”的充分不必要條件D.函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的對稱性，可求得a值，即可推斷A的正誤；分別探討和兩種狀況，結合二次型函數(shù)的性質，可推斷B的正誤；依據(jù)集合的包含關系及充分、必要條件的概念，可推斷C的正誤；依據(jù)同一函數(shù)的定義，可推斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A，令，則，故方程總有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設，由韋達定理得，即，不等式的解集為，則當時，有，故A正確；對于B，當時，可得成立，滿意題意，當時，可得，解得，綜上所述，的取值范圍為，故B錯誤；對于C，當時，，所以，充分性成立，若，則或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，故不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（）A.函數(shù)在上為減函數(shù)B.函數(shù)為偶函數(shù)C.由可得是的整數(shù)倍D.函數(shù)在區(qū)間上有個零點【答案】AB【解析】【分析】首先求函數(shù)的解析式，再采納代入的方法推斷選項.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，，可得，，又，所以，所以對于，當時，，由正弦函數(shù)性質知是減函數(shù)，故A正確；對于B，是偶函數(shù)，故B正確；對于C，當，時，，但不是的整數(shù)倍，故C錯誤；對于，令，則，，即，，由，解得，因為，所以，，，，因此在區(qū)間上有個零點，故D錯誤.故選：AB.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是B.若函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是C若函數(shù)有四個零點，，則D.若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象變換作出函數(shù)圖象即可推斷選項A，數(shù)形結合將問題轉化為的圖象與直線有三個交點即可推斷選項B，依據(jù)題意，作出圖象，確定有四個交點時，，利用雙勾函數(shù)性質求出的取值范圍，即可求解選項C，依據(jù)一元二次方程的根結合的圖象，數(shù)形結合可推斷選項D.【詳解】利用函數(shù)圖象變換，作圖如下：由圖可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，故A錯誤；函數(shù)恰有三個零點，即的圖象與直線有三個交點，所以或，故B正確；函數(shù)有四個零點，則，不妨設，令，解得或，令，解得或，所以由圖可知，，則有，即，所以，所以，，即，則，所以，設，則對鉤函數(shù)在單調遞減，所以，所以，即又因為，所以，故C正確；令，解得或，由解得，所以有三個不同的解，由B選項分析過程可知，或，解得，或，所以實數(shù)的取值范圍是，故D正確；故選:BCD.【點睛】關鍵點點睛：數(shù)形結合是解決本題的關鍵，選項B中將問題轉化為的圖象與直線有三個交點，選項C中，依據(jù)的圖象與直線有四個交點，確定四個零點分布的位置，并依據(jù)解析式確定和，利用換元思想將變?yōu)閱巫兞亢瘮?shù)，利用雙勾函數(shù)性質求范圍,屬于綜合性較強的問題.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上是嚴格減函數(shù)，則取值的集合是______．【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，得到是奇數(shù)，且，由此能求出的值．【詳解】∵，冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，∴是奇數(shù)，且，∴．故答案為：14.一扇形的圓心角，半徑，則該扇形的周長為_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)弧長公式計算可得.【詳解】解：由扇形的弧長公式得，所以扇形的周長為.故答案為：15.已知，，且，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】利用，，且，求出的范圍，將消元得，利用二次函數(shù)的最值及倒數(shù)法則即可求得的最大值.【詳解】解：因為，，且，所以，，當時，取最小值，所以取最大值，故的最大值是.故答案為：.16.設，若對于隨意，總存在，使得成立，則的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】先求得，進而得到，依據(jù)隨意，總存在，使得成立，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，當時，，當時，，因為，可得，則，所以，所以，又因為，且，對于隨意，總存在，使得成立，可得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（1）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)對數(shù)運算法則，換底公式及指數(shù)冪的運算即得；（2）依據(jù)指數(shù)冪的運算律結合完全平方公式和立方和公式求解即可.【詳解】（1）；（2）由，故，，故，.18.已知角滿意.（1）求的值；（2）若角是第三象限角，，求的值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關系式列方程組求解即可；（2）利用誘導公式求解即可.【小問1詳解】由題意和同角三角函數(shù)基本關系式，有，消去得，解得或，當角是第一象限角時，，因為角是第三象限角，.【小問2詳解】由題意可得，因為角是第三象限角，所以，所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的最大值和對應的取值；（2）求在的單調遞增區(qū)間.【答案】（1）當，時，函數(shù)有最大值（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦型三角函數(shù)的最值列方程求解即可；（2）先確定函數(shù)在上的遞增區(qū)間，結合已知區(qū)間求交集即可.【小問1詳解】解：因為，，函數(shù)取最大值滿意：，，可得，，當，時，函數(shù)有最大值；【小問2詳解】解：函數(shù)在上的增區(qū)間滿意：，，可得，，又，函數(shù)的單增區(qū)間為.20.截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破人疫情嚴峻，請同學們利用數(shù)學模型解決生活中的實際問題.（1）我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的改變用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消退速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）（2）為了抗擊新冠，須要建立隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側面造價元平方米.假如不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側面長為多少時，總價最低？【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用已知條件，求解指數(shù)不等式得答案．（2）依據(jù)題意表達出總造價，再依據(jù)基本不等式，結合對勾函數(shù)的性質分類探討分析即可.【小問1詳解】由題意得，，設該藥在病人體內的血藥含量變?yōu)闀r須要是時間為，由，得，故，．該新藥對病人有療效的時長大約為．【小問2詳解】由題意，正面長為米，故總造價，即.由基本不等式有，當且僅當，即時取等號.故當，即，時總價最低；當，即時，由對勾函數(shù)性質可得，時總價最低；綜上，當時，時總價最低；當時，時總價最低.21.已知函數(shù)（，）（1）當時，求函數(shù)的定義域；（2）當時，求關于的不等式的解集；（3）當時，若不等式對隨意實數(shù)恒成立，求實數(shù)取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1下面分類探討：當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0即可求得f（x）的定義域

（2）依據(jù)函數(shù)的單調性解答即可；

（3）令，可知在[1，3]上是單調增函數(shù)，只需求出最小值即可．【詳解】本題考查恒成立問題．（1）當時，，故：，解得：，故函數(shù)的定義域為；（2）由題意知，（），定義域為，用定義法易知為上的增函數(shù)，由，知：，∴.（3）設，，設，，故，，故：，又∵對隨意實數(shù)恒成立，故：.【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)有關的定義域、單調性、值域的問題，屬于中檔題．22.假如函數(shù)在其定義域D內，存在實數(shù)使得成立，則稱函數(shù)為“可拆分函數(shù)”.（1）推斷函數(shù)，，，，是否為“可拆分函數(shù)”?(需說明理由)（2）設函數(shù)為“可拆分函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），，是可拆分函數(shù)；，不是可拆分函數(shù)，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)“可拆分函數(shù)”的定義，確定是否存在實數(shù)使得成馬上可（2）結合函數(shù)為“可拆分函數(shù)”，建立方程