限時集訓(xùn)(六十二)離散型隨機變量的均值與方差(限時：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)1．設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，且概率都是0.4，則此人三次上班途中遇紅燈的次數(shù)的期望為()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.62．(·衡水模擬)若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值為()A．3·2－2 B．3·2－10C．2－4 D．2－83．(·東營模擬)若P為非負(fù)實數(shù)，隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,2)－PPeq\f(1,2)則E(ξ)的最大值為()A．1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．24．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于 ()A.eq\f(3,5) B.eq\f(8,15)C.eq\f(14,15) D．15．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)，且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，則a為()A．1 B．2C．3 D．46．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，若隨機變量ξ＝|a－b|的取值，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝()A.eq\f(8,9) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,3)7．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，a，b，c∈(0,1)，且無其他得分情況，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為()A.eq\f(1,48) B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)8．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)9．隨機變量X的分布列為X124P0.40.30.3則E(5X＋4)＝________.10．同時拋兩枚均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣出現(xiàn)不同面的次數(shù)為X，則D(X)＝________.11．(·上海高考)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？??？請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.12．(·沈陽模擬)設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2).用X表示坐標(biāo)原點到l的距離，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.13．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？?，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為eq\f(1,3)，用ξ表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則隨機變量ξ的期望E(ξ)＝________.14．現(xiàn)有三枚外觀一致的硬幣，其中兩枚是均勻硬幣另一枚是不均勻的硬幣，這枚不均勻的硬幣拋出后正面出現(xiàn)的概率為eq\f(2,3)，現(xiàn)投擲這三枚硬幣各1次，設(shè)ξ為得到的正面?zhèn)€數(shù)，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.三、解答題(本大題共3個小題，每小題14分，共42分)15．年男足世界杯將在巴西舉行，為了爭奪最后一個小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊要進行比賽，規(guī)則如下：任兩支隊伍進行比賽，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，獲得第一名的將奪得這個參賽名額．已知乙隊勝丙隊的概率為eq\f(1,5)，甲隊獲得第一名的概率為eq\f(1,6)，乙隊獲得第一名的概率為eq\f(1,15).(1)求甲隊分別勝乙隊和丙隊的概率P1和P2；(2)設(shè)在該次比賽中，甲隊得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．(·海淀模擬)某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次．在A區(qū)每進一球得2分，不進球得0分；在B區(qū)每進一球得3分，不進球得0分，得分高的選手勝出．已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別為eq\f(9,10)或eq\f(1,3).(1)如果選手甲以在A、B區(qū)投籃得分的期望較高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，問選手甲應(yīng)該選擇在哪個區(qū)投籃？(2)求選手甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率．17．(·湖北高考)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．答案[限時集訓(xùn)(六十二)]1．B2.B3.B4.A5.B6.A7.B8.C9．1510.eq\f(5,2)11.212.eq\f(4,7)13.eq\f(5,3)14.eq\f(5,3)15．解：(1)根據(jù)題意知，若甲隊獲得第一名，則甲隊勝乙隊且甲隊勝丙隊，故甲隊獲第一名的概率為P1×P2＝eq\f(1,6)；①若乙隊獲得第一名，則乙隊勝甲隊且乙隊勝丙隊，故乙隊獲第一名的概率為(1－P1)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，②解②得P1＝eq\f(2,3)，代入①得P2＝eq\f(1,4).故甲隊勝乙隊的概率為eq\f(2,3)，甲隊勝丙隊的概率為eq\f(1,4).(2)由題意知ξ可能的取值為0,3,6，ξ＝0時，甲隊兩場比賽皆輸，其概率為P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)；ξ＝3時，甲隊兩場只勝一場，其概率為P(ξ＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(7,12)；ξ＝6時，甲隊兩場皆勝，其概率為P(ξ＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,6).故ξ的分布列為ξ036Peq\f(1,4)eq\f(7,12)eq\f(1,6)故E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋3×eq\f(7,12)＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(11,4).16．解：(1)法一：設(shè)選手甲在A區(qū)投兩次籃的進球數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,10)))，故E(X)＝2×eq\f(9,10)＝eq\f(9,5)，則選手甲在A區(qū)投籃得分的期望為2×eq\f(9,5)＝3.6.設(shè)選手甲在B區(qū)投三次籃的進球數(shù)為Y，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，故E(Y)＝3×eq\f(1,3)＝1，則選手甲在B區(qū)投籃得分的期望為3×1＝3.∵3.6>3，∴選手甲應(yīng)該選擇在A區(qū)投籃．(2)設(shè)選手甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分為事件C，甲在A區(qū)投籃得2分、在B區(qū)投籃得0分為事件C1，甲在A區(qū)投籃得4分、在B區(qū)投籃得0分為事件C2，甲在A區(qū)投籃得4分、在B區(qū)投籃得3分為事件C3，則C＝C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3為互斥事件．則：P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(18,100)×eq\f(8,27)＋eq\f(81,100)×eq\f(8,27)＋eq\f(81,100)×eq\f(4,9)＝eq\f(49,75)，故選手甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率為eq\f(49,75).17．解：(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概