第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件[全盤鞏固]1．“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋cA．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根B．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋cC．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋cD．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根解析：選C由原命題與否命題的關(guān)系可知，“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根”的否命題是“若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋2．(·杭州模擬)設(shè)a∈R，則“a＝－1”是“直線l1：2x＋ay－3＝0與直線l2：x＋2y－a＝0垂直”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C當(dāng)a＝0時，易知兩直線不垂直；當(dāng)a≠0時，兩直線垂直等價于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1?a＝－1，故a＝－1是兩直線垂直的充要條件．3．(·黃岡模擬)與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是()A．若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠acB．若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠acC．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列D．若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列解析：選D因為原命題與其逆否命題是等價的，所以與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”．4．(·金華模擬)設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”的充要條件是p：0＜a＜1.因為“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充要條件是2－a＞0，即a＜2.又因為a＞0且a≠1，所以“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充要條件是q：0＜a＜2且a≠1.顯然p?q，但q?/p，所以p是q的充分不必要條件，即“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件．5．(·南昌模擬)下列選項中正確的是()A．若x＞0且x≠1，則lnx＋eq\f(1,lnx)≥2B．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件C．命題“所有素數(shù)都是奇數(shù)”的否定為“所有素數(shù)都是偶數(shù)”D．若命題p為真命題，則其否命題為假命題解析：選B當(dāng)0＜x＜1時，lnx＜0，此時lnx＋eq\f(1,lnx)≤－2，A錯；當(dāng)|an＋1|＞an時，{an}不一定是遞增數(shù)列，但若{an}是遞增數(shù)列，則必有an＜an＋1≤|an＋1|，B對；全稱命題的否定為特稱命題，C錯；若命題p為真命題，其否命題可能為真命題，也可能為假命題，D錯．6．命題“對任意x∈[1,2]，x2－a≤0都成立”為真命題的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥4B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)≥5D．a(chǎn)≤5解析：選C命題“?x∈[1,2]，x2－a≤0”為真命題的充要條件是a≥4.故其充分不必要條件是集合[4，＋∞)的真子集．7．在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，真命題的個數(shù)記為f(p)，已知命題p：“若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.解析：原命題p顯然是真命題，故其逆否命題也是真命題，而其逆命題是：若a1b2－a2b1＝0，則兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0與l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，這是假命題，因為當(dāng)a1b2－a2b1＝0時，還有可能l1與l2重合，逆命題是假命題，從而否命題也為假命題，故f(p)＝2.答案：28．下列四個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；②“若x2＋x－6≥0，則x＞2”的否命題；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞eq\f(1,2)”的充分不必要條件；④“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命題的序號是________(把真命題的序號都填上)．解析：①原命題的逆命題為：“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，①是真命題；“若x2＋x－6≥0，則x＞2”的否命題是“若x2＋x－6＜0，則x≤2”，②也是真命題；在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞eq\f(1,2)”的必要不充分條件，③是假命題；“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)”，④是假命題．答案：①②9．已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，由|x－1|＜1，得0＜x＜2，∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．又∵α是β的必要不充分條件，∴BA，∴a≤0.答案：(－∞，0]10．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)寫出否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．解：(1)否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．該命題是真命題，證明如下：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命題為真命題．(2)逆否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0.真命題，可證明原命題為真來證明它．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命題為真命題，所以逆否命題為真命題．11．(·溫州模擬)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x))＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).12．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明：必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，則x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.充分性：若a＋b＋c＝0，則b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0可化為ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴當(dāng)x＝1時，ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根．綜上，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.[沖擊名校]1．對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選By＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但是y＝f(x)不一定為奇函數(shù)，如取函數(shù)f(x)＝x2，則函數(shù)y＝|x2|的圖象關(guān)于y軸對稱，但函數(shù)f(x)＝x2是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，即“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”?/“y＝f(x)是奇函數(shù)”；若y＝f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，即“y＝f(x)是奇函數(shù)”?“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”，故應(yīng)選B.2．已知下列各組命題，其中p是q的充分必要條件的是()A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點B．p：eq\f(f－x,fx)＝1；q：y＝f(x)是偶函數(shù)C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A?U，B?U，?UB??UA解析：選D對于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點，可得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，從而可得m＜－2或m＞6.所以p是q的必要不充分條件；對于B，由eq\f(f－x,fx)＝1?f(－x)＝f(x)?y＝f(x)是偶函數(shù)，但由y＝f(x)是偶函數(shù)不能推出eq\f(f－x,fx)＝1，例如函數(shù)f(x)＝0，所以p是q的充分不必要條件；對于C，當(dāng)cosα＝cosβ＝0時，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要條件；對于D，由A∩B＝A，知A?B，所以?UB??UA；反之，由?UB??UA，知A?B，即A∩B＝A.所以p?q.綜上所述，p是q的充分必要條件的是D.[高頻滾動]1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|2x＞8}，那么集合(?UA)∩B＝()A．{x|3＜x＜4}B．{x|x＞4}C．{x|3＜x≤4}D．{x|3≤x≤4}解析：選CA＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，所以?UA＝{x|－1≤x≤4}，又B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，所以(?UA)∩B＝{x|3＜x≤4}．2．對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運算⊙：當(dāng)m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，m⊙n＝eq\f(m＋n,2)，當(dāng)m，n為一奇一偶時，m⊙n＝eq\r(