北師大版《數(shù)學(xué)》(八年級上冊)知識點總結(jié)組勾股數(shù)分別是：2n,n2-l,n2+l米，梯子滑動后停在DE位置上，如圖(2)所示，測

第一章勾股定理如：(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)……得得BD-0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？

1、勾股定理4、常見題型應(yīng)用：

<1)直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c(1)已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上

的平方，即。2+82=。2的高線/周長/面積……

(2)勾股定理的驗證：測量、數(shù)格子、拼圖法、面(2)已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長思維入門指導(dǎo)：梯子頂端A下落的距離為AE,即

積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法……之間的關(guān)系，求各邊的長度//斜邊上的高線/周長/面求AE的長。已知AB和BC,根據(jù)勾股定理可求AC,

(通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等面積法積……只要求出EC即可。

或等積法)(3)判定三角形形狀：1+b2>c2銳角a2解：在RtZ\ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.5M,

(3)勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形+bJc2直角a?+日<(?鈍角~；.AC=2

2、勾股定理的逆定理判定直角三角形a..找最長邊；b.比較長邊的VBD=0.5,.\CD=2

如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系/+/=。2,平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；c.

那么這個三角形是直角三角形。確定形狀在RfAEC。中，EC2=ED2-CD2=2.52-22=2.25

3、勾股數(shù)：滿足/+b2=。2的三個正整數(shù)a,b,(4)構(gòu)建直角三角形解題，EC=1.5

c,稱為勾股數(shù)。例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4,斜邊為/.AE=AC-EC=2-I5=Q5

答：梯子頂端下滑了0.5米。

常見的勾股數(shù)有：(6,8,10)(3,4,5)(5,12),13)10o求直角三角形的兩直角邊。

點撥：要考慮梯子的長度不變。

(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)...解：設(shè)兩直角邊為3x,4x,由題意知：

例5.如圖所示的一塊地，AD=12m,CD=9m,Z

規(guī)律：(1),短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊

ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積。

是兩個連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。(3x)2+(4x)2=100,9/+16/=100,25/=100,/

即當a為奇數(shù)且a<b時，如果b+c=a2那么a,b,c就；.x=2,則3x=6,4x=8,故兩直角邊為6,8。

是一組勾股數(shù).如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)中考突破

(1)中考典題

(9,40,41)..思維入門指導(dǎo)：求面積時一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結(jié)BD,

例.如圖(1)所示，一個梯子AB長2.5米，頂端似乎不得要領(lǐng)，連結(jié)AC,求出S4iac-5AAe0即可。

(2)大于2的任意偶數(shù)，2n(n>l)都可構(gòu)成一

A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5解：連結(jié)AC,在Rl/XADC中，

算術(shù)平方根定義如果一個非負數(shù)x的平方等于負有理數(shù)

那么這個非負數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為右,

正無理數(shù)

算術(shù)平方根為非負數(shù)石2（）

.正數(shù)的平方根有2個，它們互為相反數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小

22222

AC=CD+AD=12+9=225平方根《

（）的平方根是9數(shù)

二.AC=15負數(shù)沒有平方根

負無理數(shù)

2.無理數(shù)的表示-定義：如果一個數(shù)的平方等于小即V=a,那么這個數(shù)就

在△ABC中，AB?=1521

叫做。的平方根，記為土而2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

2222

AC+BC=15+36=1521正數(shù)的立方根是正數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時

AB2=AC2+BC2,Z.ACB=90°立方根?負數(shù)的立方根是負數(shù)

0的立方根是0之，歸納起來有四類：

SMBC-=/AC,BC—-AD-CD定義：如果?個數(shù)A,的立方等于4,即1=4,那么這3衿一開方開不盡的數(shù),如五近等;

就叫做a的立方根，記為近.

=：*15*36-；x12x9=270-54=216（1）（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含

答：這塊地的面積是216平方米。概念有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)有兀的數(shù)，如山3+8等;

點撥：此題綜合地應(yīng)用了勾股定理和直角三角正數(shù)（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如

有理數(shù)

形判定條件。分類或00.1010010001…等;

無理數(shù)

負數(shù)（4）某些三角函數(shù)值，如sin6（T等

3.實數(shù)及其相關(guān)概念

第二章實數(shù)

絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)-、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

基本知識回顧實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)

1、相反數(shù)

1.無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。實數(shù)的運算法則、運算規(guī)律與有理數(shù)的運算法則

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩

運算規(guī)律相同。

個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上

看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱,

一、實數(shù)的概念及分類

如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=—b＞反之

1、實數(shù)的分類

亦成立。

正有理數(shù)

2、絕對值

有理數(shù)冬有限小數(shù)和

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫

無限循環(huán)小數(shù)

做該數(shù)的絕對值。（間沙）。零的絕對值是它本身，也根。特別地，。的算術(shù)平方根是0。正數(shù)大于一切負數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右

可看成它的相反數(shù)，若|a|=a,則a0；若|a|=-a,則把0。表示方法：記作“右”，讀作根號a。邊的總比左邊的大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。

3、倒數(shù)性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。算術(shù)平方根是零。（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊

倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

4、數(shù)軸x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸表示方法：正數(shù)a的平方根記做“士后”，讀作“正、a-b>0<^>a>b,

（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。負根號a”。a—b=0=。=b,

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；a—b<Q<^>a<h

數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

a..a..a.,

5、估算開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方?！?gt;1o67>b\—=104=b\—<1o。

hbb

利用非負數(shù)解題的常見類型注意后的雙重非負性：被開方數(shù)與結(jié)果均為非

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則

例］已?知Jx—5+|y-3|=0,求-2y的值。負數(shù)。即a20,

同>|Z?|oa<bQ

解：3、立方根

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a那

22

a>b<^>a<bo

.■.V7^5=0,|y-3|=0么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

（6）倒數(shù)法：設(shè)a、b是同正，如果則aV

x-5=0,y-3=0表示方法：記作后

b;同負,如果l/a>l/b,則a>b

..x=5,y=3性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有

五、算術(shù)平方根有關(guān)計算（二次根式）

x2-2y=25-6=19一個負的立方根；零的立方根是零。

1、含有二次根號“?”；被開方數(shù)a必須是非

點撥：利用算術(shù)平方根，絕對值非負性解題.注意：口=”,這說明三次根號內(nèi)的負號可

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根以移到根號外面。負數(shù)。

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等四、實數(shù)大小的比較2、性質(zhì)：

于a,即x'a,那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方1、實數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，（1）（八尸=a（a>0）

(2)VCl2=同=r20)(1)(V2+1)(72-1)=；移后的點連成線段，即為原線段平移后的線段；

I-4("0)

(2)(6+五=；作法2：將線段一端點平移，然后過平移后的點

(3)4ah=y[a?4b{a>0,/?>0)(3)(2+V3)(2-V3)=；作原線段的平行線，在該平行線適當方向截取長度為

(4ci?4b=4ab(a>0,Z?0))(4)於+21道-2)=.指定線段長度，則所得線段為所求.

(4)需冬“3”通過以上計算，觀察規(guī)律，寫出用n(n為正整數(shù))

表示上面規(guī)律的等式___________。二、旋轉(zhuǎn)

卷書"20，b>0))解：1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一定點沿某個

3、運算結(jié)果若含有“JZ”形式，必須滿足：(>/2)2-1=1；(⑸-(可=1；4-(V3)：=1；陽=4=1方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；規(guī)律：(標+網(wǎng)(標—4)=1定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因2、要素(或條件)：旋轉(zhuǎn)中心(定點)、旋轉(zhuǎn)方向(順

式第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)時針/逆時針)、旋轉(zhuǎn)角度(0~360°)

六、實數(shù)的運算一、平移3、性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點到

(1)六種運算：力口、減、乘、除、乘方、開方1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形整體沿某方向移動旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成

(2)實數(shù)的運算順序一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。的角等于旋轉(zhuǎn)角。

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果2、要素(或條件)：方向，即前后對應(yīng)點的射線方向；4、旋轉(zhuǎn)作圖：

有括號，就先算括號里面的。距離，即對應(yīng)點之間的距離(1)作圖步驟：觀察基本圖案(確定關(guān)鍵點)-

(3)運算律3、性質(zhì)：平移前后兩個圖形的形狀和大小不變(即確定旋轉(zhuǎn)的三要素——找到對應(yīng)點——連接對應(yīng)點

加法交換律a+b=b+a全等圖形)，對應(yīng)點連線平行(或在同一條直線上)——作答

力口法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)且相等，對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且相等，(2)旋轉(zhuǎn)作圖的方法：1、把各關(guān)鍵點依次與旋轉(zhuǎn)中

對應(yīng)角相等。心連接

乘法交換律ab=ba

4、平移作圖：2、按要求向順時針/逆時針

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

線段的平移作法：旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac

作法1：將線段兩端點分別平移，然后將兩個平3、截取對應(yīng)線段

例.計算:

4、連接對應(yīng)點2、平行四邊形的性質(zhì)相等）

5、作答（1）平行四邊形的對邊平行且相等。兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條

三、簡單的圖案設(shè)計：（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

第四章四邊形性質(zhì)探索（3）平行四邊形的對角線互相平分。5、平行四邊形的面積：S飾醐;祈底邊長、高=211

一、四邊形的相關(guān)概念（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對三、菱形

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的角線的交點。1、菱形的定義

四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

2、四邊形具有不穩(wěn)定性交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對2、菱形的性質(zhì)

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面（1）菱形的四條邊相等，對邊平行

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于積。（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等

360°o（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于3、平行四邊形的判定角線平分一組對角

360°。（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等邊形稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距

于（n-2）X180°；（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角四邊形3、菱形的判定

和等于360°。（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,從n邊形的一個頂點出四邊形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱

角形。多邊形的對角線共有，&條。邊形形

（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平4、菱形的面積

二、平行四邊形

行四邊形S演=底邊長乂高=兩條對角線乘積的一半

1、平行四邊形的定義

4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處四、矩形

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

1、矩形的定義每一條對角線平分一組對角AE=J._BE2=J?_(|)=|百

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。(4)正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對

S*步=—V3x5=—yf3cm2

2、矩形的性質(zhì)稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所￡形22

(1)矩形的對邊平行且相等在的直線和對邊中點連線所在的直線。另一種解法：如圖所示，連結(jié)AC、BD,相交于

(2)矩形的四個角相等，都是直角3、正方形的判定點O。

(3)矩形的對角線相等且互相平分判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途

(4)矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對徑有兩種：

稱中心是對角線的交點(對稱中心到矩形四個頂點的先證它是矩形，再證它是菱形。

?/ABAD：ZABC=2：1

距離相等)；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的先證它是菱形，再證它是矩形。

:.^ABC=60°,XAB=BC

直線。4、正方形的面積

.?.△ABC是等邊三角形，；.AC=5

3、矩形的判定設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b

又?.?Q4=OC,OA^-

(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形S訪ku*=嗅2

(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形yAO±BD,OB=y/AB2-OA2

例L菱形的周長為20cm,相鄰兩內(nèi)角的比為1：2,

(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

求菱形的面積？

4、矩形的面積：長又寬=25

解：如圖所示，菱形ABCD,由于周長為20cm,:.BD=56

五、正方形(3~10分)

/.AB=5cm

1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊點撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注

形叫做正方形。意根據(jù)題中所給的條件靈活選擇。有時要與一些特殊

2、正方形的性質(zhì)又???"Zfi=2：1,角，比如30°、60°角的特殊性質(zhì)聯(lián)系起來。

(1)正方形四條邊都相等，對邊平行.\ZA=120°,ZB=60°

六、梯形

(2)正方形的四個角都是直角過點A作BC的垂線，垂足為E,則/BAE=30°

(-)1、梯形的相關(guān)概念

(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分,

BE=-AB=-

22一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做

梯形。(3)等腰梯形的對角線相等。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫(4)等腰梯形是軸對稱圖形,它只有一條對稱軸,(5)順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的

做上底，較長的底叫做下底。即兩底的垂直平分線。四邊形是‘；

梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。3、等腰梯形的判定(6)順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中

梯形的兩底的距離叫做梯形的高。(1)定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形點所得的四邊形是［「；

2、梯形的判定(2)定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等(7)順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形

(1)定義法：一組對邊平行而另一組對邊不平行腰梯形四邊中點所得的四邊形是一工；

的四邊形是梯形。(3)對角線相等的梯形是等腰梯形。(選擇題和八、中心對稱圖形

(2)一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。填空題可直接用)1、定義

(-)直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫(四)梯形的面積在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°,如果

做直角梯形。(1)如圖，旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對

一般地，梯形的分類如下：SfWM/ie=5（C。+AB）?DE稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

r一般梯形(2)梯形中有關(guān)圖2、性質(zhì)

梯成r直角梯形

形的面積:(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

翻^形

①^MBD=S^BAC：(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)

等腰梯形②^&AOD=M3OC；過對稱中心，并且被對稱中心平分。

(三)等腰梯形③Sgoc=$&BCD(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對應(yīng)線段平行(或

1、等腰梯形的定義七、有關(guān)中點四邊形問題的知識點:在同一直線上)且相等。

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。(1)順次連接任