章末總結(jié)一、運(yùn)動(dòng)的合成和分解1.小船渡河的兩類典型問(wèn)題設(shè)河寬為d、水流的速度為v水(方向：沿河岸指向下游)、船在靜水中的速度為v船(方向：船頭指向).圖1(1)最短時(shí)間船頭垂直于河岸行駛，tmin＝eq\f(d,v船)，與v水的大小無(wú)關(guān).船向下游偏移：s＝v水tmin(如圖1甲所示).(2)最短航程①若v船>v水，則smin＝d，此時(shí)船的航向垂直于河岸，船頭與上游河岸成θ角，滿足cosθ＝eq\f(v水,v船)(如圖乙所示).②若v船<v水，此時(shí)船頭指向應(yīng)與上游河岸成θ′角，滿足cosθ′＝eq\f(v船,v水)，則smin′＝eq\f(d,cosθ′)＝eq\f(v水,v船)d(如圖丙所示).例1如圖2所示，兩次渡河時(shí)船頭指向均垂直于岸，且船相對(duì)水的速度大小不變，已知第一次實(shí)際航程為A至B，位移為s1，實(shí)際航速為v1，所用時(shí)間為t1.由于水速增大，第二次實(shí)際航程為A至C，位移為x2，實(shí)際航速為v2，所用時(shí)間為t2.則()圖2A.t2>t1，v2＝eq\f(s2v1,s1)B.t2>t1，v2＝eq\f(s1v1,s2)C.t2＝t1，v2＝eq\f(s2v1,s1)D.t2＝t1，v2＝eq\f(s1v1,s2)答案C解析設(shè)河寬為d，船自身的速度為v，則t1＝t2；對(duì)合運(yùn)動(dòng)，過(guò)河時(shí)間t＝eq\f(s1,v1)＝eq\f(s2,v2)，故C正確.針對(duì)訓(xùn)練1(多選)某河寬為600m，河中某點(diǎn)的水流速度v與該點(diǎn)到較近河岸的距離d的關(guān)系如圖3所示.船在靜水中的速度為4m/s，要想使船渡河的時(shí)間最短，下列說(shuō)法正確的是()圖3A.船在航行過(guò)程中，船頭應(yīng)與河岸垂直B.船在河水中航行的軌跡是一條直線C.渡河的最短時(shí)間為240sD.船離開(kāi)河岸400m時(shí)的速度大小為2eq\r(5)m/s答案AD解析若船渡河的時(shí)間最短，船在航行過(guò)程中，必須保證船頭始終與河岸垂直，選項(xiàng)A正確；因水流的速度大小發(fā)生變化，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，船在河水中航行的軌跡是一條曲線，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；渡河的最短時(shí)間為tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(600,4)s＝150s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；船離開(kāi)河岸400m時(shí)的水流速度大小與船離開(kāi)河岸200m時(shí)的水流速度大小相等，即v水＝eq\f(3,300)×200m/s＝2m/s，則船離開(kāi)河岸400m時(shí)的速度大小為v′＝eq\r(v\o\al(2,船)＋v\o\al(2,水))＝eq\r(42＋22)m/s＝2eq\r(5)m/s，選項(xiàng)D正確.2.繩、桿關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題繩、桿等連接的兩個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其速度通常是不一樣的，但兩者的速度是有聯(lián)系的(一般兩個(gè)物體沿繩或桿方向的速度大小相等)，我們稱之為“關(guān)聯(lián)”速度.解決此類問(wèn)題的一般步驟如下：第一步：先確定合運(yùn)動(dòng)，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)；第二步：確定合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)實(shí)際作用效果，一是沿牽引方向的平動(dòng)效果，改變速度的大?。欢茄卮怪庇跔恳较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)效果，改變速度的方向；第三步：按平行四邊形定則進(jìn)行分解，作好運(yùn)動(dòng)矢量圖；第四步：根據(jù)沿繩(或桿)牽引方向的速度相等列方程.例2(多選)如圖4所示，人在岸上拉船，已知船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為f，當(dāng)輕繩與水面的夾角為θ時(shí)，船的速度為v，人的拉力大小為F，則此時(shí)()圖4A.人拉繩行走的速度為vcosθB.人拉繩行走的速度為eq\f(v,cosθ)C.船的加速度為eq\f(Fcosθ－f,m)D.船的加速度為eq\f(F－f,m)答案AC解析船的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了兩個(gè)效果：一是使滑輪與船間的繩縮短，二是使繩繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)，因此將船的速度按如圖所示進(jìn)行分解，人拉繩行走的速度v人＝v∥＝vcosθ，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；繩對(duì)船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為F，與水平方向成θ角，因此Fcosθ－f＝ma，解得a＝eq\f(Fcosθ－f,m)，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.針對(duì)訓(xùn)練2如圖5所示，水平面上有一汽車A，通過(guò)定滑輪用繩子拉同一水平面上的物體B，當(dāng)拉至圖示位置時(shí)，兩繩子與水平面的夾角分別為α、β，二者速度分別為vA和vB，則vA和vB的比值為多少？圖5答案cosβ∶cosα解析物體B實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))水平向右，根據(jù)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果可知，兩分運(yùn)動(dòng)分別為沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v1)和垂直繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v2).如圖甲所示，有v1＝vBcosβ①汽車A實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))水平向右，根據(jù)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果，兩分運(yùn)動(dòng)分別為沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v3)和垂直繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v4).如圖乙所示，則有v3＝vAcosα②又因二者沿繩子方向上的速度相等，即v1＝v3③由①②③式得vA∶vB＝cosβ∶cosα.二、豎直上拋運(yùn)動(dòng)的處理方法1.分段法將豎直上拋運(yùn)動(dòng)分為上升階段和下降階段.上升階段為初速度為v0、加速度為－g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)(以向上為正方向，不考慮空氣阻力).速度、位移公式分別為vt＝v0－gt、s＝v0t－eq\f(1,2)gt2.到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間t＝eq\f(v0,g)，到達(dá)最高點(diǎn)的位移s′＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)；下降階段是自由落體運(yùn)動(dòng)，其速度公式為vt＝gt，位移公式為s＝eq\f(1,2)gt2.2.整體分析法取豎直向上的方向作為正方向，則速度公式為vt＝v0－gt，位移公式為s＝v0t－eq\f(1,2)gt2.例3一物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，它經(jīng)過(guò)拋出點(diǎn)上方0.4m處時(shí)，速度是3m/s，它經(jīng)過(guò)拋出點(diǎn)下方0.4m處時(shí)，速度應(yīng)為多少？(g取10m/s2)答案5m/s，方向豎直向下解析解法一分段法上升過(guò)程：設(shè)到達(dá)拋出點(diǎn)上方0.4m處時(shí)還能上升的高度為s1，則s1＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)＝eq\f(32,2×10)m＝0.45m.下降過(guò)程：從最高點(diǎn)處下落到拋出點(diǎn)下方0.4m處時(shí)，下落高度s2＝0.45m＋2×0.4m＝1.25m，由veq\o\al(2,t)＝2gs2得vt＝eq\r(2×10×1.25)m/s＝5m/s，方向豎直向下.解法二整體法設(shè)以向上的方向?yàn)檎较?，距拋出點(diǎn)上方0.4m處的速度為v0，距拋出點(diǎn)下方0.4m處的速度為vt，物體在該過(guò)程中發(fā)生的位移s＝－0.4m－0.4m＝－0.8m，運(yùn)動(dòng)中加速度a＝－g.由veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as得veq\o\al(2,t)＝veq\o\al(2,0)＋2as即vt＝±5m/s，由于是下落，故vt＝－5m/s，大小為5m/s，方向豎直向下.針對(duì)訓(xùn)練3在離地高h(yuǎn)處，沿豎直方向向上和向下拋出兩個(gè)小球，他們的初速度大小均為v，不計(jì)空氣阻力，兩球落地的時(shí)間差為()A.eq\f(2v,g)B.eq\f(v,g)C.eq\f(2h,v)D.eq\f(h,v)答案A解析設(shè)落地速度為v′，規(guī)定向下為正方向，則無(wú)論豎直向下還是豎直向上拋出都滿足v′2－v2＝2gh則v′＝eq\r(v2＋2gh)，所以落地時(shí)兩球的速度大小相等.對(duì)于豎直上拋的小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝eq\f(v′－－v,g)＝eq\f(v′＋v,g)，對(duì)于豎直下拋的小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝eq\f(v′－v,g)，故兩球落地的時(shí)間差為：Δt＝t1－t2＝eq\f(2v,g).三、解決平拋運(yùn)動(dòng)的三個(gè)突破口1.把平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間作為突破口平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，各物理量都與時(shí)間有聯(lián)系，所以只要求出拋出時(shí)間，其他的物理量都可輕松解出.2.把平拋運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角作為突破口圖6如圖6可得tanθ＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(2h,x)(推導(dǎo)：tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(gt2,v0t)＝eq\f(2h,x))tanα＝eq\f(h,x)，所以有tanθ＝2tanα.從以上各式可以看出偏轉(zhuǎn)角和其他各物理量都有關(guān)聯(lián)，通過(guò)偏轉(zhuǎn)角可以確定其他的物理量.3.把平拋運(yùn)動(dòng)的一段軌跡作為突破口圖7平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線，已知拋物線上的任意一段，就可求出水平初速度和拋出點(diǎn)，其他物理量也就迎刃而解了.設(shè)圖7為某小球做平拋運(yùn)動(dòng)的一段軌跡，在軌跡上任取兩點(diǎn)A和B，E為AB的中間時(shí)刻.設(shè)tAE＝tEB＝T由豎直方向上的勻變速直線運(yùn)動(dòng)得eq\x\to(FC)－eq\x\to(AF)＝gT2，所以T＝eq\r(\f(Δy,g))＝eq\r(\f(\x\to(FC)－\x\to(AF),g))由水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)得v0＝eq\f(\x\to(EF),T)＝eq\x\to(EF)eq\r(\f(g,\x\to(FC)－\x\to(AF))).例4如圖8所示，在傾角為37°的斜面上從A點(diǎn)以6m/s的初速度水平拋出一個(gè)小球，小球落在B點(diǎn)，求：(g取10m/s2)圖8(1)A、B兩點(diǎn)間的距離和小球在空中飛行的時(shí)間；(2)小球剛碰到斜面時(shí)的速度方向與水平方向夾角的正切值.答案(1)6.75m0.9s(2)eq\f(3,2)解析(1)如圖所示，設(shè)小球落到B點(diǎn)時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為α，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.則tan37°＝eq\f(h,x)＝eq\f(gt2,2v0t)＝eq\f(5,6)t又因?yàn)閠an37°＝eq\f(3,4)，解得t＝0.9s由x＝v0t＝5.4m則A、B兩點(diǎn)間的距離l＝eq\f(x,cos37°)＝6.75m(2)在B點(diǎn)時(shí)，tanα＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(3,2).設(shè)物體做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為v0，下落高度為h，水平位移為x，某時(shí)刻豎直分速度為vy，合速度為v，方向與初速度v0的夾角為θ；某時(shí)刻合位移的方向與初速度夾角為α，則有h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，vy＝gt，tanθ＝eq\f(gt,v0)，tanα＝eq\f(gt,2v0)，tanα＝eq\f(1,2)tanθ.針對(duì)訓(xùn)練4如圖9所示，兩個(gè)相對(duì)的斜