揭陽市2021-2022學(xué)年度高二（下）教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市縣/區(qū)、學(xué)校、班級、姓名、考場號，座位號和考生號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答．答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4.考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C.(－1,4) D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的并集運算求解.【詳解】因為集合，集合，所以，故選：D.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C.－－ D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡，然后由共軛復(fù)數(shù)定義可得.【詳解】因為，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B3.紫砂壺是中國特有手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），那么該壺的容積約為（）A.100cm3 B.200cm3 C.600cm3 D.800cm3【答案】B【解析】【分析】利用圓臺體積公式進(jìn)行求解，再結(jié)合選項得到答案.【詳解】根據(jù)圓臺體積公式可得：，故那么該壺的容積約為200cm3故選：B4.下列函數(shù)中，周期為1的奇函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷【詳解】對于A，函數(shù)為奇函數(shù)，，A錯誤；對于B，為偶函數(shù)，，B錯誤；對于C，為奇函數(shù)，，C正確；對于D，為奇函數(shù)，，D錯誤.故選：C5.設(shè)雙曲線的焦點在x軸上，兩條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程可得，然后由離心率公式可得.【詳解】由題知，所以.故選：D6.已知，則＝（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】巧用1將所求化為齊次式，然后根據(jù)基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.【詳解】因為所以故選：A7.函數(shù)f（x）的圖象與其在點P處的切線如圖所示，則等于（）A.－2 B.0 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象求出切線斜率和方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點在切線上可解.【詳解】由題意，切線經(jīng)過點，可得切線的斜率為，即，又由切線方程為，令，可得，即，所以.故選：D8.已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可判斷出在上單調(diào)遞增，從而可得，化簡變形可比較出a，b，c的大小關(guān)系【詳解】令，可得，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，得，，又已知，，，所以，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某市為了考察一所高中全體學(xué)生參與第六屆全國中小學(xué)生“學(xué)憲法，講憲法”憲法小衛(wèi)士活動的完成情況，對本校2000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計，按照[50，60）、[60，70）、…、[90，100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）

A.圖中的x值為0.2B.由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計75%分位數(shù)是85C.由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75D.80分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱號，則該校有800人獲得該稱號【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平率分布直方圖中個矩形面積之和為1，即可求出x，判斷A;根據(jù)百分位數(shù)的計算，求得75%分位數(shù)，判斷B;根據(jù)平均數(shù)的計算方法求得平均數(shù)，判斷C;求出該校2000人中80分以上的人數(shù)，可判斷D.【詳解】對于A,由題意得，解得，故A錯誤；對于B，，，故估計75%分位數(shù)是，故B正確；對于C，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯誤；對于D,80分以上的同學(xué)共有人，則該校有800人獲得金牌小衛(wèi)士稱號，故D正確，故選：BD10.如圖，在方格中，向量，，的始點和終點均為小正方形的頂點，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，易知，，A錯誤；因為，所以，B正確；因為，所以C正確；因為，所以，，所以，D正確.故選：BCD11.已知Р是圓上的動點，直線與交于點Q，則（）A.B.直線與圓O相切C.直線與圓O截得弦長為D.長最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由兩直線垂直的條件判斷A，由圓心到直線的距離判斷B，由到直線的距離結(jié)合勾股定理求弦長判斷C，求出到圓心的距離的最大值加圓半徑判斷D．【詳解】圓半徑為2，，所以，A正確；圓心到的距離為，與圓相離，B錯誤；圓心到直線的距離為，所以弦長為，C正確；由，得，即，所以，所以長最大值為，D正確故選：ACD．12.在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法中正確的有（）A.若是棱上一點，且，則，，，四點共面B.平面截該長方體所得的截面為五邊形C.異面直線，所成的角為D.若是棱上一點，點到平面的距離最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A：為的中點，由等比例性質(zhì)可得，長方體性質(zhì)有，即可判斷；B：延長交于，連接交于，連接，根據(jù)平面的基本性質(zhì)作出面截長方體所得的截面判斷；C：過作交延長線于，過作交延長線于，可得異面直線，所成的角為，即可判斷；D：與重合時到平面的距離最大，延長交于，并連接，應(yīng)用等體積法求點面距即可.【詳解】A：若為的中點，又為棱的中點且，易知：，則，為棱的中點，由長方體的性質(zhì)有，故，所以，，，四點共面，正確；B：分別延長交于，連接交于，連接，由A分析知：面即為面，故平面截該長方體所得的截面為五邊形，正確；C：過作交延長線于，則，過作交延長線于，則且，如下圖示，所以異面直線，所成的角為，而，，顯然，故異面直線，所成的角不為，錯誤；D：由題設(shè)及A分析，當(dāng)與重合時到平面的距離最大，所以只需求到面的距離，將延長交于，并連接，而，所以，則，又，則，故，即到平面的距離最大值為，正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：由線線平行判斷四點共面；由平面基本性質(zhì)作截面判斷形狀；將異面直線作平移，找到對應(yīng)平面角；判斷點面距離最大時動點的位置，應(yīng)用等體積法求距離.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的零點是___．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)零點定義解方程可得.【詳解】由得，解得，即的零點為8.故答案為：814.已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，，P為C的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為___．【答案】9【解析】【分析】首先設(shè)拋物線的解析式，寫出拋物線的焦點、對稱軸以及準(zhǔn)線，然后根據(jù)通徑，求出，的面積是與乘積的一半.【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，直線經(jīng)過拋物線焦點，A，B是與的交點，又軸，，，又點在準(zhǔn)線上，過點P作l的垂線，垂直為D，，.故答案為：9.15.函數(shù)的最大值為___．【答案】【解析】【分析】由題可得，然后分段求函數(shù)的最值即得.【詳解】函數(shù)，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；綜上，函數(shù)的最大值為.故答案為：.16.如圖，點P是半徑為2的圓O上一點，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點A與P重合）沿圓周逆時針滾動.若從點A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動了一輪，則當(dāng)點A第一次回到點P的位置時，正方形滾動了________輪，此時點A走過的路徑的長度為___________.【答案】①.3②.【解析】【分析】將問題化為4和6的最小公倍數(shù)問題求A第一次回到點P的位置正方形滾動的輪數(shù)，再求滾動1輪點A走過的路徑長度，即可求此時A走過的路徑的長度.【詳解】正方形滾動一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點為，頂點兩次回到點P時，正方形頂點將圓周正好分成六等分，由4和6的最小公倍數(shù)：，所以到點A首次與P重合時，正方形滾動了3輪.這一輪中，點A路徑是圓心角為，半徑分別為2，，2的三段弧，故路徑長，∴點A與P重合時總路徑長為.故答案為：3，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將A第一次回到點P位置所滾的輪數(shù)轉(zhuǎn)化為求4和6的最小公倍數(shù)，注意滾動一輪A的圓周運動特點求路徑長.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項和，若______.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①②，用基本量法即可求出通項公式，選③，根據(jù)和的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項相消法，即可求解.【小問1詳解】解：若選①，，則，解得，所以；若選②，，則，解得，所以；若選③，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，當(dāng)時也成立，所以【小問2詳解】因為，所以18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形求出最小正周期可求得，代入點可求得；（2）根據(jù)求得，根據(jù)面積求出，即可由余弦定理求得.【詳解】解：（1）據(jù)圖象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由題意得的面積為，解得，由余弦定理得，解得：.19.學(xué)校組織數(shù)學(xué)解題能力大賽，比賽規(guī)則如下：要解答一道導(dǎo)數(shù)題和兩道圓錐曲線題，先解答導(dǎo)數(shù)題，正確得2分，錯誤得0分；再解答兩道圓錐曲線題，全部正確得3分，只正確一道題得1分，全部錯誤得0分，小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是：每道導(dǎo)數(shù)題解答正確的概率是；每道圓錐曲線題解答正確的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每道題的解答相互獨立．（1）求小明同學(xué)恰好有兩道題解答正確的概率；（2）求小明同學(xué)獲得的總分X的分布列及均值．【答案】（1）（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）分析可能取值，求出對應(yīng)概率后得分布列，再由均值的公式求解；【小問1詳解】解：由題意導(dǎo)數(shù)題解答正確的概率是，圓錐曲線題解答正確的概率為，故小明同學(xué)恰好有兩道題解答正確的概率；【小問2詳解】解：由題意得的可能取值為0，1，2，3，5，所以，，，，則的分布列為01235所以；20.如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，且，．

（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，證明出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點，連接，分析得出，然后以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，則為的中點，因為四邊形為菱形，則，因為，為的中點，則，，平面，平面，則，，，平面.【小問2詳解】解：取的中點，連接，因為四邊形為菱形，，則，且，故為等邊三角形，因為為的中點，則，因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，由圖可知，二面角為銳角，則二面角的余弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點（－，0），（，0），點M滿足，記M的軌跡為C．以軌跡C與y軸正半軸交點T為圓心作圓，圓T與軌跡C在第一象限交于點A，在第二象限交于點B．（1）求C的方程；（2）求的最小值，并求出此時圓T的方程；（3）設(shè)點P是軌跡C上異于A，B的一點，且直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值．【答案】（1）（2），（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義和幾何性質(zhì)可得a、c，然后可得；（2）設(shè)點A坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出所求，然后消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題可得最小值，再求得點A坐標(biāo)，然后可得；（3）設(shè)點P坐標(biāo)，寫出直線PA、PB方程，然后求得M、N坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出所求，然后化簡可得.【小問1詳解】由題可知，，，即，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】由題知，設(shè)，則則又，即所以當(dāng)時，取得最小值此時，，所以圓T的半徑所以圓T的方程為：【小問3詳解】設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為可得，所以又，，即，，代入上式可得：，即為定值.22.已知函數(shù).