必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)第三節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)第三章函數(shù)及其應(yīng)用核心考點(diǎn)·分類突破

【命題說(shuō)明】考向考法主要考查冪函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯命題.預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)于冪函數(shù)以冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用為主.對(duì)于二次函數(shù)的考查一般與其他知識(shí)綜合,題型一般為選擇題、填空題.必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)知識(shí)梳理·歸納1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)_____叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象y=xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義;②當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)_____和______,且在(0,+∞)上單調(diào)遞增;③當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)______,且在(0,+∞)上單調(diào)遞減;④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),y=xα為_(kāi)_______;當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),y=xα為_(kāi)_______.微點(diǎn)撥冪函數(shù)的特征:(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置,冪指數(shù)α為常數(shù);(2)xα的系數(shù)為1;(3)只有一項(xiàng).(1,1)(0,0)(1,1)奇函數(shù)偶函數(shù)2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)=______________.頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______.零點(diǎn)式(或兩根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的______.ax2+bx+c(a≠0)(m,n)零點(diǎn)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)單調(diào)性減增增減

類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)123,4×√×√提示:(1)×(3)當(dāng)a>0時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)×

(3,5)4.(忽視區(qū)間限制)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

【解析】f(x)>2x+m等價(jià)于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.因?yàn)間(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上單調(diào)遞減,所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1).(-∞,-1)核心考點(diǎn)·分類突破

(-∞,1]解題技法(1)冪函數(shù)圖象的特點(diǎn):掌握冪函數(shù)圖象,首先確定定義域,然后抓住三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.(2)比較冪值大小的方法:在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

f(x)=-4x2+4x+7

7解題技法確定二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下:

f(x)=x2-x+1

考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情提示二次函數(shù)是高考必考的重要考點(diǎn)之一.主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,尤其是二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的綜合應(yīng)用,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).角度1

二次函數(shù)圖象的識(shí)別[例2]設(shè)abc>0,則二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是(

)【解析】選D.因?yàn)閍bc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,那么可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不符合題意;在B中,a<0,b>0,c>0,不符合題意;在C中,a>0,b>0,c<0,不符合題意;在D中,a>0,b<0,c<0,符合題意.解題技法識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”角度2

二次函數(shù)的單調(diào)性及最值[例3](1)(2023·濟(jì)南模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)滿足f(1)=f(3),則下列不等式成立的是(

)A.f(1)<f(4)<f(2)

B.f(4)<f(1)<f(2)C.f(4)<f(2)<f(1)

D.f(2)<f(4)<f(1)【解析】選B.因?yàn)閒(1)=f(3),所以二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2,又因?yàn)閍<0,所以f(4)<f(3)<f(2),又f(1)=f(3),所以f(4)<f(1)<f(2).

解題技法1.對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵是開(kāi)口方向與對(duì)稱軸的位置,若開(kāi)口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解.2.二次函數(shù)最值問(wèn)題的類型及求解策略(1)類型:①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的;②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定;③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng).(2)求解策略:抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱軸,結(jié)合配方法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.角度3

與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題[例4]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實(shí)數(shù).(1)對(duì)任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),則k的取值范圍是

;

【解析】(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈[-3,3]時(shí),h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)max=h(3)=86-k,由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范圍為[86,+∞).[86,+∞)已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實(shí)數(shù).(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,則k的取值范圍是

;

【解析】(2)由題意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范圍為[-10,+∞).[-10,+∞)已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實(shí)數(shù).(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),則k的取值范圍是

.

【解析】(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范圍為[118,+∞).[118,+∞)解題技法由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是構(gòu)造新函數(shù).(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

4.函數(shù)f(x)=x2-4x+2在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇-2,2],則b-a的取值范圍是

.

【解析】解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4,解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a