第6課時(shí)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理、排列、組合、計(jì)數(shù)應(yīng)用題一、填空題1．(·江南十校測(cè)試)高三某班6名同學(xué)站成一排照相，同學(xué)甲、乙不能相鄰，并且甲在乙的右邊，則不同排法種數(shù)共有________．解析：先將其他4名同學(xué)排好有Aeq\o\al(4,4)種方法，然后將甲、乙兩名同學(xué)插空，又甲、乙兩人順序一定且不相鄰，有Ceq\o\al(2,5)種方法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,5)＝240種排法．答案：2402．(·汕頭一模)從5位男生4位女生中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查，不同的分派方法有________種．解析：從5位男生4位女生中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生的情況為：2男2女、3男1女，則有(Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4))種；“分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查”，再在選出的代表中進(jìn)行排列，則有(Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4))Aeq\o\al(4,4)＝2400(種)．答案：24003．(·合肥一檢)將A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中順序?yàn)椤癆、B、C”或“C、B、A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有________種．解析：五個(gè)元素沒(méi)有限制全排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個(gè)元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40.答案：404. (·濰坊一檢)張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園．為安全起見(jiàn)，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有________．解析：第一步：將兩位爸爸排在兩端有2種排法；第二步：將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上有2Aeq\o\al(3,3)種排法，故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．答案：245．(·深圳一調(diào))用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2，…，9的9個(gè)小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“1、5、9”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種．解析：對(duì)1,5,9三位置涂色有三種方法，對(duì)2和6小正方形，若顏色相同則有兩種方法，此時(shí)3也有兩種方法；若2和6顏色不相同有兩種方法，此時(shí)3只有一種涂色方法，所以涂2,3,6小正方形共有六種方法，同理涂4,7,8小正方形也有6種方法，故總的涂色方法有3×6×6＝108(種)．答案：1086．(·廣州二測(cè))現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有________種．解析：由圖形可知，滿足要求的著色方法有兩類：其一是，用三種顏色進(jìn)行著色，此時(shí)共有Aeq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝24(種)；其二是，用四種顏色進(jìn)行著色，此時(shí)共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)；由分類計(jì)數(shù)原理可知共有48種．答案：487．(·廈門質(zhì)量檢測(cè))某班級(jí)有一個(gè)7人小組，現(xiàn)任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)有________．解析：先從7人中選出3人有Ceq\o\al(3,7)＝35種情況．再對(duì)選出的3人相互調(diào)整座位，共有2種情況，故不同的調(diào)整方案種數(shù)為2Ceq\o\al(3,7)＝70.答案：70二、解答題8．某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么有多少種不同的選派方案？解：由題設(shè)要求至少一名女生，分為兩類：1名女生、3名男生和2名女生、2名男生，因此有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,4)＝2×4＋6＝14(種)．9．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有多少種？解：解法一：先從5名志愿者中選2人安排在兩端位置，有Aeq\o\al(2,5)種方法，再把2位老人看成一個(gè)元素，與其余3名志愿者共4個(gè)元素安排好，有Aeq\o\al(4,4)種方法，最后將看成一個(gè)元素的二位老人位置排好，有Aeq\o\al(2,2)種方法．所以不同的排法共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝960(種)．解法二：因?yàn)?位老人相鄰，所以可以先把2位老人看成一個(gè)元素，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為6個(gè)元素的排列問(wèn)題．因?yàn)槔先瞬徽緝啥耍钥梢园才诺狡溆?個(gè)位置之一，有4種的安排方法，余下的5人安排好，有Aeq\o\al(5,5)種方法，最后還具體排好二位老人間的位置，有Aeq\o\al(2,2)種方法．因此不同的排法共有4Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝960(種)．10．(蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查)甲打靶射擊，有4發(fā)子彈，其中有一發(fā)是空彈．(1)求空彈出現(xiàn)在第一槍的概率；(2)求空彈出現(xiàn)在前三槍的概率；(3)如果把空彈換成實(shí)彈，甲前三槍在靶上留下三個(gè)兩兩距離分別為3,4,5的彈孔P，Q，R，第四槍瞄準(zhǔn)了三角形PQR射擊，第四個(gè)彈孔落在三角形PQR內(nèi)，求第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過(guò)1的概率(忽略彈孔大小)．解：設(shè)四發(fā)子彈編號(hào)為0(空彈)，1,2,3.(1)設(shè)第一槍出現(xiàn)“空彈”的事件為A，共有4個(gè)基本事件，則P(A)＝eq\f(1,4).(2)設(shè)空彈出現(xiàn)在前三槍的事件為B，前三槍共有4個(gè)基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，滿足條件的有3個(gè)，則P(B)＝eq\f(3,4).(3)由題意得，Rt△PQR的面積為6，分別以P，Q，R為圓心、1為半徑的三個(gè)扇形的面積和為eq\f(π,2)，設(shè)第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過(guò)1的事件為C，則P(C)＝eq\f(6－\f(1,2)π,6)＝1－eq\f(π,12).1．(紹興期末)10名同學(xué)合影，站成了前排3人后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為_(kāi)_______．解析：從后排7人中選2人的選法種數(shù)為Ceq\o\al(2,7)，將這2人安排到前排并使得其他人的相對(duì)順序不變，可理解為前排的5人中，其中3人位置相對(duì)不變，選2人的排列數(shù)即Aeq\o\al(2,5)，所以，符合題意的種數(shù)為Ceq\o\al(2,7)Aeq\o\al(2,5)＝420.答案：4202．(·青島二檢)把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在如圖所示的圖案中的1,2,3,4,5,6,7所處的位置上，其中3盆蘭花不能放在一條直線上，則不同的擺放方法為_(kāi)_______種．解析：用間接法.7盆花在7個(gè)位置的全排列為Aeq\o\al(7,7)；3盆蘭花在同一條直線上的排列方法有以下幾類