Page142024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一十月考試數(shù)學(xué)試卷（滿分150分，時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)行推斷.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)；，故B錯(cuò)；，故D錯(cuò).故選：C.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)定義域滿意，求解即可【詳解】由題，函數(shù)定義域滿意，解得.故選：C3.與函數(shù)表示同一函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可推斷它們是同一函數(shù)．【詳解】對于，的定義域是，的定義域是，定義域不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，不是同一函數(shù)；對于，定義域是，的定義域是，定義域不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，不是同一函數(shù)；對于，的定義域是，的定義域是，對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對于，的定義域是，的定義域是，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了推斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．4.若，則下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】對于A，舉例推斷，對于BCD，利用不等式的性質(zhì)推斷.【詳解】對于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)?，所以，所以，所以B正確，對于C，因?yàn)椋?，所以，即，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?，所以，所以D正確，故選：A.5.若滿意，則等于（）A.3 B.1 C.5 D.0【答案】B【解析】【分析】令，求出所對應(yīng)的，再代入計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，令，解得，所以；故選：B6.命題，命題，則是成立的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先將命題與命題化簡，再求出與命題，即可推斷出是的必要不充分條件.【詳解】由命題得或，由命題得，所以或所以是的必要不充分條件.故選：B.7.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法探討代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，許多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圖形，求出圓的半徑以及.再利用勾股定理求得,結(jié)合直角三角形的直角邊長小于斜邊長，可得答案.【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：D.8.關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分類探討一元二次不等式的解，依據(jù)解集中只有一個(gè)整數(shù)，即可求解.詳解】由得，若，則不等式無解．若，則不等式的解為，此時(shí)要使不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)個(gè)整數(shù)解為，則．若，則不等式的解為，此時(shí)要使不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)個(gè)整數(shù)解為，則．綜上，滿意條件的的取值范圍是故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列不等式中可以作為一個(gè)充分不必要條件的有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意解不等式，再由集合間的關(guān)系、充分不必要條件的概念逐項(xiàng)推斷即可得解.【詳解】解：，因?yàn)?，，，，所以的一個(gè)充分不必要條件有：或.故選：BC.10.若函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由換元法求出，可推斷C；分別令或可推斷A，B；求出可推斷D.【詳解】令，則，所以，則，故C錯(cuò)誤；，故A正確；，故B錯(cuò)誤；（且），故D正確．故選：AD．11.關(guān)于的方程的解集中只含有一個(gè)元素，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由方程有意義可得且，并將方程化為；依據(jù)方程解集中僅含有一個(gè)元素可分成三種狀況：方程有且僅有一個(gè)不為和的解、方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為，另一根不為、方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為，另一根不為；由此可解得全部可能的值.【詳解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個(gè)元素，則有以下三種狀況：①方程有且僅有一個(gè)不為和的解，，解得：，此時(shí)的解為，滿意題意；②方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為，另一根不為；由得：，，此時(shí)方程另一根為，滿意題意；③方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為，另一根不為；由得：，，此時(shí)方程另一根為，滿意題意；綜上所述：或或.故選：ABD.12.若，，，則的可能取值有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用題設(shè)條件，將式子化成，視察得出，之后利用乘以1不變，結(jié)合基本不等式求得其范圍，進(jìn)而得到正確答案.【詳解】原式（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號）.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.滿意，則符合條件的集合有______個(gè)．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件可知肯定含元素，，可能含元素，，從而可求出滿意條件的的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵，∴，是的元素，，可能是的元素，∴集合的個(gè)數(shù)有個(gè)．故答案為：．14.已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)的圖象是如圖的曲線，其中，，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)函數(shù)的圖象可推斷出的值，再依據(jù)表格中函數(shù)的取值得出.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，考查列表法與圖像法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【詳解】依題意，，是方程的兩個(gè)根，且，于是得，解得：，因此，不等式為：，解得，所以不等式的解集是.故答案為：16.若對，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由已知可知，代入即可求解.【詳解】令函數(shù)，開口向上，對稱軸為，在時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；令函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；由對，使得成立，即則需，即即，解得：所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；四、解答題：本題共6小題，第17題10分，18-22每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）求方程組的解集；（2）求三元一次方程組的解集.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將第2個(gè)方程化簡變形后，利用代入法求解，（2）給第2個(gè)方程兩邊同乘以3，再第3個(gè)方程相加，消去，得到關(guān)于的方程，再與第1個(gè)方程聯(lián)立求解即可【詳解】（1）由，得，得，代入中得，，得，所以，所以方程組的解集為（2）給兩邊同乘以3，得，再與相加，得，由，得，把代入中，解得，所以原方程組的解集為18.設(shè)集合，.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將代入集合，利用并集的定義可求出集合；（2）由得出，然后分和兩種狀況探討，列出有關(guān)的不等式組解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意：集合，.當(dāng)時(shí)，，；（2），.當(dāng)時(shí)，滿意題意，此時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所得：當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，同時(shí)也考查了利用集合間的包含關(guān)系求參數(shù)，在含參數(shù)的集合的問題中，要留意對集合分空集和非空集合兩種狀況探討，結(jié)合題意求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.（1）已知，求證：；（2）求證：（其中）.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）用作差法證明即可；（2）用分析法證明即可【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以；?）要證（其中），只要證，只要證，只要證，只要證，只要證，只要證明顯成立，所以（其中）20.隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經(jīng)成為一個(gè)不容忽視的問題，而與每個(gè)居民的日常生活親密相關(guān)的就是水資源問題.某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進(jìn)新設(shè)備，污水處理實(shí)力大大提高.已知該廠每月的污水處理量最少為150萬噸，最多為300萬噸，月處理成本（萬元）與月處理量（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一萬噸污水產(chǎn)生的收益為萬元.（1）該廠每月污水處理量為多少萬噸時(shí)，才能使每萬噸處理成本最低？（2）該廠每月能否獲利？假如能獲利，求出最大利潤.【答案】（1）該廠每月污水處理量為200萬噸時(shí)，才能使每萬噸的處理成本最低（2）該污水處理廠每月能獲利，且當(dāng)月處理量為250萬噸時(shí)，利潤最大，為萬元【解析】【分析】（1）利用基本不等式求最值；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.【小問1詳解】由題意可知，每萬噸污水的處理成本為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故該廠每月污水處理量為200萬噸時(shí)，才能使每萬噸的處理成本最低.【小問2詳解】設(shè)該廠每月獲利為萬元，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值，故該污水處理廠每月能獲利，且當(dāng)月處理量為250萬噸時(shí)，利潤最大，為萬元.21.己知關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為.（1）若，求的值；（2）若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，依據(jù)不等式的解集，結(jié)合二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得；（2）分別確定集合與，依據(jù)命題的充分必要性可的，進(jìn)而可得的取值范圍.【小問1詳解】由不等式得，即，由于其解集是，所以，是一元二次不等式的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得；【小問2詳解】由得，所以，若“”是“”的充分不必要條件，則，當(dāng)時(shí)，，滿意題意；當(dāng)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.已知函數(shù)，（1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）若存在使關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；（3）【解析】【分析】（1）先整理，再探討和，列出恒成立的條件，求出的范圍；（2）先因式分解，對兩根大小作探討，求出解集；（3）先令，由，則可得，再將有四個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同正根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】（1）由題有恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，得，得，綜合可得.（2）由題即,由則，且①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或;②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或;綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；（3）當(dāng)時(shí)，令,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則關(guān)于的方程可化為,關(guān)