2017-2018學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高三（上）期末數(shù)學(xué)

試卷（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1.（5分）集合A={x|x2-5x+6..O},8={x|2x-l>0},貝HAB=（）

A.（-oo,2][3,+oo）B.（1,3）C.（1,3]D.（L

222

2][3,+℃）

2.（5分）i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=”在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

x+y?6

3.（5分）若實數(shù)x,y滿足條件<x-3y,,-2,則2x+3y的最大值為（）

x.A

A.21B.17C.14D.5

4.（5分）已知兩個單位向量a,b的夾角為120。，keR,則|a-必|的最小值為（）

A.-B.—C.1D.-

422

5.（5分）秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值

的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算

法求某多項式值的一個實例，若輸入〃，x的值分別為4,2,則輸出v的值為（

A.32B.64C.65D.130

6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）

俯視圖

7.（5分）已知函數(shù)f（工）=』/+/+x+3,若函數(shù)）,=/（x+a）+8為奇函數(shù)，則a+b

33

的值為（）

A.-5B.-2C.0D.2

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（ox+e）（0>O）圖象的一個對稱中心為（0）,且/（

2

則3的最小值為（）

42

24

A.-B.1C.-D.2

33

9.（5分）已知關(guān)于工的方程5皿萬-1）+§由q+%）="2在區(qū)間［0,2萬）上有兩個實根X,x2,

且|西-馬|…乃，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.（-石，1）B.（-V5,1]C.fl,75）D.[0,1）

10.（5分）已知拋物線E:y2=2px（p＞0）的焦點為尸，。為坐標(biāo)原點，點〃

9）,N-1）,連結(jié)OM,ON分別交拋物線￡于點A,8,且A,B,FH

點共線，則"的值為（）

A.1B.2C.3D.4

11.（5分）e為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)/（x）=-8+I，X＜，＞則函數(shù)），=/（x）-ax

lnx-\,x.A

唯一零點的充要條件是（）

Ai1-9B.a<-\4

/88e?

c1f19或

C.a>-\^—<a<—D.<2>-14>2

e288

12.（5分）在三棱錐P-A8C中，PA=PB=AC=BC=2AB=2拒,PC=\,則三棱

錐P-A8C的外接球的表面積為（）

4452%

A.—B.4乃C.127rD.

3亍

二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

13.（5分）如圖是一組數(shù)據(jù)（x,y）的散點圖，經(jīng)最小二乘法計算，得y與x之間的線性回歸

方程為'=3無+],則g=

14.（5分）（%--+1）（x-l）4展開式中/的系數(shù)為.

X

22

15.（5分）過雙曲線0-4=l（a＞0力＞0）右頂點且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支

ab-

交于兩點，則此雙曲線離心率的取值范圍為一.

16.（5分）如圖在平面四邊形ABC。中，乙4=45。，ZB=60°,ZD=150°,AB=2BC=4,

則四邊形A8CO的面積為

B

三、解答題（共5小題，滿分60分）

17.（12分）已知等差數(shù)列｛aj的前〃項和為S,,,at=A（2>0）,*=2厄+1

（〃eN*）.

（/）求人的值；

（〃）求數(shù)歹U｛—!—｝的前〃項和7；.

““明

18.（12分）依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方

圖如圖（甲）所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖（乙

2535

30-C'4550

）所示.甲乙

試估計該河流在8月份水位的中位數(shù)；

（/）以此頻率作為概率，試估計該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率；

（H）該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒受1、2級災(zāi)害影響，利潤為500萬元；若受1級

災(zāi)害影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元.現(xiàn)此企業(yè)有如下

三種應(yīng)對方案：

方案防控等級費用（單位：萬元）

方案一無措施0

方案二防控1級災(zāi)害40

方案三防控2級災(zāi)害100

試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由.

19.(12分)已知四棱錐P-ABCD,底面A8C。為菱形，PD=PB,//為PC上的點，過A//

的平面分別交PB,叨于點M,N,且BD"平面AMHN.

(/)證明：MN1PC；

(〃)當(dāng)H為PC的中點，PA=PC=6AB,PA與平面ABC。所成的角為60。，求二面角

P-4M-N的余弦值.

20.(12分)已知橢圓E:I*1=+4=l3>6>0)的離心率為1上，圓。/2廿2h，與x

a~b~2

軸交于點〃、為橢圓E上的動點，|PM|+|PN|=2a,APMN面積最大值為由.

(/)求圓。與橢圓E的方程；

(〃)圓。的切線/交橢圓E于點A、B,求|AB|的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-\-^e'+\,其中e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，常

數(shù)a>0.

(/)求函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,*?)上的零點個數(shù)；

(〃)函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)k(x)=(e=a)f(x),是否存在無數(shù)個aw(l,4),使得/〃。為數(shù)

F(x)的極大值點？說明理由.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知曲線G：x+y=l與曲線C,:尸=2+2COSQ

[y=2sin°

0為參數(shù)，夕e[0,2萬)).以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(/)寫出曲線G，G的極坐標(biāo)方程；

(〃)在極坐標(biāo)系中，已知點A是射線/：e=a(P..0)與G的公共點，點3是/與G的

公共點，當(dāng)a在區(qū)間［0,。上變化時，求陰的最大值.

2\OA\

［選修4-5：不等式選講|

23.已知函數(shù)/(x)=|x-l|+|x+a2|,其中aeR.

(1)當(dāng)〃=應(yīng)時，求不等式/(x)..6的解集；

(2)若存在使得/(不)<4“，求實數(shù)。的取值范圍.

2017-2018學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高三（上）期

末數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1.（5分）集合A=-5x+6..O},B={x\2x-\>0}f則AB=（）

A.（YO,2][3,+oo）B.（1,3）C.（1,3]D.（L

222

2][3,+8）

【考點】IE：交集及其運算

【專題】37：集合思想；40：定義法；59：不等式的解法及應(yīng)用

【分析】解不等式得集合A、B,根據(jù)交集的定義寫出AB.

【解答】解:集合A={解?-合+6小}={x|x2或x..3},

8={x|2x-l>0}={x|x>g},

則A8={x|』<x,2或x..3}=（；,2][3,+<?）.

故選：D.

【點評】本題考查了解不等式和交集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=t1在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【專題】38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的基本運算進(jìn)行化簡求解即可.

【解答】解：z=—~-=G，），=—（2/—i2）=—2/—1=—1—2/1

ii-

對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-1,-2）位于第三象限，

故選：C.

【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件先進(jìn)行化筒是解決本題的關(guān)鍵.

x+y”6

3.（5分）若實數(shù)x,y滿足條件■x-3y,-2,則2x+3y的最大值為（）

X..1

A.21B.17C.14D.5

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃

【專題】11：計算題；38：對應(yīng)思想；44：數(shù)形結(jié)合法；59：不等式的解法及應(yīng)用

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,

把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

x+y,,6

【解答】解：由約束條件b-3為-2作出可行域如圖，

X..1

聯(lián)立產(chǎn)=1,解得C（l,5）,

+y=6

令z=2x+3y,化為y=-gx+：,由圖可知，當(dāng)直線y=+|■過C時，直線在y軸上的

截距最大，

z有最大值為17.

故選：B.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

4.（5分）已知兩個單位向量。，。的夾角為120。，k&R,則|a-必|的最小值為（）

A.-B.—C.1D.-

422

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；5A：平面向量及應(yīng)用

【分析】運用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合二次函數(shù)的最

值求法，即可得到所求最小值.

【解答】解：兩個單位向量。，b的夾角為120。，

可得a\\b\cos120°=，

則|a—的『=/-23。+父從

1Q3

=l+k+k2=（k+-）2

244

可得％=—L時，|a-幼|的最小值為乎.

故選：B.

【點評】本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查二次函

數(shù)的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題.

5.（5分）秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值

的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算

法求某多項式值的一個實例，若輸入〃，x的值分別為4,2,則輸出v的值為（

）

A.32B.64C.65D.130

【考點】EF-.程序框圖

【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖

【分析】由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的v,〃的值，當(dāng)"=0時，不

滿足條件，跳出循環(huán)，輸出v的值為65.

【解答】解：模擬程序的運行，可得

〃=4,x=2,v=1

滿足條件”>0,執(zhí)行循環(huán)體，V=6,n=3

滿足條件〃>0,執(zhí)行循環(huán)體,v=15,n=2

滿足條件”>0,執(zhí)行循環(huán)體，v=32,n=1

滿足條件”>0,執(zhí)行循環(huán)體，v=65,〃=0

不滿足條件〃>0,退出循環(huán)，輸出v的值為65.

故選：C.

【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的i,v的

值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）

俯視圖

248

A.-B.1C.-D.-

333

【考點】￡!：由三視圖求面積、體積

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；52：立體幾何

【分析】由幾何體的三視圖得到該幾何體的直觀圖，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：由幾何體的三視圖得到該幾何體是如圖所求的三棱錐S-A8C,

此幾何體的體積為：

114

V-（-x2x2）x2=-,

=3x23

故選：C.

【點評】本題考查三棱錐的三視圖的識別，三棱錐的體積，平常在生活中要多多觀察身邊的

實物都是由什么幾何形體構(gòu)成的，以及它們的三視圖的畫法.

7.(5分)已知函數(shù)/(+/+x+3,若函數(shù)y=/(x+a)+b為奇函數(shù)，則a+6

33

的值為()

A.-5B.-2C.0D.2

【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于a,匕的方程，解出即可.

【解答】解：令g(x)=f(x+a)+b=g(x+a)3+(x+af+(x+a)+±+b,

由g(x)是奇函數(shù)，得+/+a+d+b=o①，

33

g'(x)=x23+(2a+2)x+(“+1)2,

由g'(x)是偶函數(shù)，得2a+2=0,解得：a=-\,

將a=-l代入①，解得：b=—\,

故a+6=-2,

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e)(0>O)圖象的一個對稱中心為(0),且/(

2

則3的最小值為()

42

24

A.-B.1C.-D.2

33

【考點】HJ：函數(shù)y=Asin(s:+9)的圖象變換

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；57：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【分析】由題意利用y=Asin(m;+0)的圖象和性質(zhì)，求得g的最小值.

【解答】解：根據(jù)題意可得。=gAeZ①，

且sin(6t?工+夕)=工，即：a)—+(p=2kr7v+—>^co—+(p=2k!7U+-Z'cZ,

424646

即69工+*=2攵%+工，^CD—+(p=2k'7T+—4yz②，

4646

兩式相減(①-②)可得2=(A-2〃)-L或2=d-2心一9,

4646

2if)

即口=4攵一8〃一一,或刃=4左一8〃一一.

33

in0

對于0=4%-8〃------，令攵=1,〃=0,可得0的最小值為一，

33

故選：A.

【點評】本題主要考查y=Asin(wr+e)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

9.(5分)己知關(guān)于x的方程sin(;r-x)+sin弓+%)=〃?在區(qū)間[0,2))上有兩個實根再，x2,

且|芭-W|..乃，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(一百，1)B.(-75,1]C.[1,石)D.[0,1)

【考點】H2；正弦函數(shù)的圖象

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；57：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【分析】將方程化簡：sin(i-x)+sin(]+x)=sinx+cosx=V5sin(x+()=,”,根據(jù)在區(qū)

間[0,2))上有兩個實根蒼，x2,且|5-起|..萬，對兩個實根式1，￡的位置討論，結(jié)

合正弦函數(shù)可得答案.

【解答】解：由sin(乃一x)+sin(—+x)=m,

2

方程化簡sin(1-x)+sin(—+x)=sinx+cosx=^2sin(x+生)=〃?，

24

轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=V^sin(x+二)與函數(shù)y=m有兩個交點，

4

區(qū)間[0,24)上有兩個實根為，x2,

由上￡[0,2萬)

則x+—G[—，—)，

444

設(shè)司>工2，由王一々一4，可得甘龐^2~?

當(dāng)今％?時，結(jié)合正弦函數(shù)可知，不存在加的值；

當(dāng)網(wǎng)魏—W,對應(yīng)的2區(qū),西〈生，

結(jié)合正弦函數(shù)可知，函數(shù)y=x/5sin（x+生）與函數(shù)y=〃?有兩個交點，

4

此時可得：me[0,1）.

故選：D.

【點評】本題主要考查利用y=Asin（0x+e）的圖象特征，函數(shù)y=0sin（x+工）與函數(shù)>=機

4

有兩個交點的問題，屬于中檔題.

10.（5分）已知拋物線E:y2=2px（p>0）的焦點為尸，。為坐標(biāo)原點，點M（-§,

9）,N,-1）,連結(jié)。M,ON分別交拋物線E于點A,3,且A,B,F=

點共線，則p的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】K8：拋物線的性質(zhì)

【專題】11：計算題；34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】由題意畫出圖形，求出OM、ON所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，分別求出4,

2

B的縱坐標(biāo)，由%yB=-p列式求得p值.

【解答】解：如圖，M（―g9）,N（苫，-1）,

9

2

2V=—Xc

ON:y=—x,聯(lián)立<P,解得力=，.

Py2=2px

A,B,F三點共線,

???以%=一合〃2=一〃2，解得〃=3.

故選：C.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

x

11.（5分）e為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)/(x)=,則函數(shù))，=/(x)-ar

lnx-\,x.A

唯一零點的充要條件是()

9

>

A.a<=—8-

e

、1Q9

C.〃>一1或r<〃v-D.〃:>一1或。>一

/88

【考點】52：函數(shù)零點的判定定理

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】作出/(x)和>=奴的函數(shù)圖象，由圖象得到兩函數(shù)交點的情況，從而得出a的范

圍.

【解答】解：分別畫出y=/(x)和y=ac的函數(shù)圖象.

設(shè)直線>=依與y=/”x-l相切，切點為(%，%),

則v%=加o-1，解得a=f，

1

a=—

I不

當(dāng)直線丁=奴過點時，此時。=-1,

當(dāng)直線y=ar過點(1,2),此時a=2,

88

/(幻一方=0只有一解，

y=/(x)與的函數(shù)圖象只有1個交點,

???。<-1或。=二或。>2，

e?8

1Q

，函數(shù)y=/(x)-ax唯一零點的充要條件是。<-1或a=v或a>—,

c8

【點評】本題考查函數(shù)零點的判定，考查方程根與函數(shù)零點的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方

法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

12.(5分)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2,AB=2出,PC=1,則三棱

錐P-A8C的外接球的表面積為()

47r52兀

A.—B.4萬C.12兀D.

3

【考點】LG：球的體積和表面積

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5U：球

【分析】取鈾中點尸，PC中點E.設(shè)\ABC的外心為O、,外接圓半徑為r,三棱錐P-ABC

的外接球的球心為。，

由/=(6)2+(1一「)2.可得r=2.

在四邊形OQCE中，設(shè)NOCE=a,外接球的半徑為R,則二一=―------可得

「廠?

cosac…os(--cr\)

3

7cosa=V_3sinf=>cos=—=,可求R即可

V52

【解答】解：取中點/，PC中點

PA=PB=AC=BC=2fPF=CF=\,PF1.AB,CFA.AB,

設(shè)A48C的外心為外接圓半徑為r,三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，

則1面ABC,OE±PC.

由r=（6尸+（1一「）2.可得，=2.

在四邊形OQCE中，設(shè)NOCE=a,外接球的半徑為R,

￡

2y/3

則N----------，可得7cosa=Gsina=>cosa=-y=

cosacos(^-a)-------------------------------底

.?.則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4萬尺2=絲

3

故選：D.

【點評】本題考查了三棱錐的外接球表面積，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

13.（5分）如圖是一組數(shù)據(jù)（x,y）的散點圖，經(jīng)最小二乘法計算，得y與x之間的線性回歸

方程為,=去+],則b=0.8

【考點】BK：線性回歸方程

【專題】38：對應(yīng)思想；4/?：轉(zhuǎn)化法；5/:概率與統(tǒng)計

【分析】求出樣本點的中心，代入回歸方程求出系數(shù)?的值即可.

【解答】解：由散點圖得:

5=一(0+1+3+4)=2,

4

歹=一(0.9+1.9+3.2+4.4)=2.6,

將(2,2.6)代入亍=&+1,

解得：人=0.8,

故答案為：0.8.

【點評】本題考查了回歸方程，考查樣本點的中心，是一道基礎(chǔ)題.

14.（5分）（x-一+1）（x-l）4展開式中/的系數(shù)為

【考點】DA：二項式定理

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5P：二項式定理

【分析】把（x-l>按照二項式定理展開，可得（x-^+l）（x-l）4展開式中d的系數(shù).

【解答］解：（%--+1）（x-1）4=（x--+l）（x4-4X3+6x2-4x+l）,

XX

故展開式中V的系數(shù)為6-1-4=1,

故答案為：1.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）過雙曲線耳-工=1（4>0力>0）右頂點且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支

交于兩點，則此雙曲線離心率的取值范圍為_（1,百）

【考點】K1：圓錐曲線的綜合

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】先確定雙曲線的漸近線斜率小于2,結(jié)合離心率，即可求得雙曲線離心率的取值范

圍.

22

【解答】解：由題意過雙曲線［-4=1。>0,/>>（））右頂點且斜率為2的直線，

a2及

與該雙曲線的右支交于兩點，可得雙曲線的漸近線斜率2<2,e>l

a

:.\<e<y/5,

雙曲線離心率的取值范圍為（1,石）.

故答案為：（1,石）.

【點評】本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利

用漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，屬于中檔題.

16.（5分）如圖在平面四邊形A8CD中，ZA=45°,=60°,Z￡>=150°,AB=2BC=4,

則四邊形ABC。的面積為_6-百

【考點】HT：三角形中的幾何計算

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；58：解三角形

【分析】采用分割法對三角形進(jìn)行分割，進(jìn)一步利用余弦定理，勾股定理的逆定理及三角形

的面積公式求出結(jié)果.

【解答】解：連接4C,

在A4BC中，A8=2BC=4,ZB=60°,

利用余弦定理得：AC2BC2+AB2-2BCABcosZB,

解得：AC=20

所以：AB-=AC'+BC2Z,

則：AA8C是直角三角形.

所以：ZDAC=ZDCA=15°,

過點。作力EJ.4C,

則：AE=-AC=>/3,

2

所以：r>E=tanl5°A￡=（2-^）y/3>/3=2^-3.

由

則：$四邊物MSME+SM8C'

=6-3用26，

=6—G.

D

故答案為：6-6

【點評】本題考查的知識要點：解三角形知識的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的

應(yīng)用.

三、解答題(共5小題，滿分60分)

17.(12分)已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為5“，4=4(A>0),區(qū)m=2g+1

(neN*).

(/)求2的值；

(〃)求數(shù)列｛—'―｝的前〃項和

【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列

【分析】(I)直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式.進(jìn)一步求出參數(shù)的值.

(II)根據(jù)數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和.

【解答】解：(I)等差數(shù)列｛可｝的前"項和為S“，a,=2(2>0),a,向=26+1

(HGN*).

則：S"「S“=2&+L

整理得:Sz=(瘋+4,

由于：S?>0.

所以：61底=L

所以數(shù)列｛&｝是以為首項，1為等差的等差數(shù)列.

則：\[^ii=+/?—1>

所以：Sn=(n+\[A,—1)'.

則：〃..2時，4=S“—S,i=2〃+2日—3,

當(dāng)”=1時，4=2.

由于：,

所以：數(shù)列但“}是等差數(shù)列.

則：%—q=2,

解得：2=1.

(II)由(I)得：an=2〃+1.

11111、

-----=-------------=—(-z-----------),

anan+{(2〃+1)(2〃+3)22/t+l2〃+3

則：Tn=——+—-—+…+--—,

1111111、

=一(Z----1------------1-…H-------------------------),

235572/?+12/?+3

=y),

232九+3

——1―---1--

64/2+6

【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的

應(yīng)用.

18.(12分)依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方

圖如圖(甲)所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖(乙

)所示.甲乙

試估計該河流在8月份水位的中位數(shù)；

(/)以此頻率作為概率，試估計該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率;

(II)該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒受1、2級災(zāi)害影響，利潤為500萬元；若受1級

災(zāi)害影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元.現(xiàn)此企業(yè)有如下

三種應(yīng)對方案：

方案防控等級費用(單位：萬元)

方案一無措施0

方案二防控1級災(zāi)害40

方案三防控2級災(zāi)害100

試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由.

【考點】B8：頻率分布直方圖；C8：古典概型及其概率計算公式；CG：離散型隨機變量

及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差

【專題】38：對應(yīng)思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義計算中位數(shù)；(/)根據(jù)條件概率公式求出1級災(zāi)害的發(fā)生概率；

(〃)求出三種方案的利潤數(shù)學(xué)期望，得出結(jié)論.

【解答】解：頻率分布直方圖中6個小矩形的面積分別是0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,0.05,

設(shè)8月份的水位中位數(shù)為X,則35cx<40,

0.1+0.25+(x-35)x0.06=0.5,解得x=37.5.

8月份的水位中位數(shù)為37.5.

(/)設(shè)該河流8月份水位小于40米為事件4,水位在40米至50米為事件&,水位大于50

為事件A，

在P(A)=01+0.25+0.3=0.65,P(A,)=0.2+0.1=0.3,P(A,)=0.05.

設(shè)發(fā)生小型災(zāi)害為事件8,

由條形圖可知:P(B|A)=0」，P(3|4)=0.2,尸(B|AJ=0.6,

P(AB)=P(A)尸(0A)=0.065=P(A)P(B|A)=0.06

尸(A/)=P(4)尸(例A)=0.03.

：.P(B)=+P(A2B)+P(A,B)=0.155.

(〃)由(/)可知8月份該河流不發(fā)生災(zāi)害的概率為0.65x0.9+0.3x0.75+0.05x0=0.81,

發(fā)生1級災(zāi)害的概率為0.155,發(fā)生2級災(zāi)害的概率為1-0.81-0.155=0.035.

設(shè)第i種方案的企業(yè)利潤為X,(i=l,2,3),

若選擇方案一，則X1的取值可能為500,-100,-1000,

二P(X1=500)=0.81,尸(X1=-100)=0.155,P(X,=-1000)=0.035.

X,的分布列為：

-100-100()

X1500

p0.810.1550.035

.■.5(X,)=500x0.81-100x0.155-1000X0.035=354.5(萬元).

若選擇方案二，則X?的取值可能為460,-1040,

S.P(X2=460)=0.81+0.155=0.965,P(X2=-1040)=0.035.

X2的分布列為：

-1040

X?460

p0.9650.035

￡(X2)=460x0.965-1040x0.035=407.5(萬元).

若選擇方案三，則X?=500-100=400.

.-.E(X2)>E(X3)>￡(%,),

，從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇第二種方案.

【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

19.(12分)已知四棱錐P-ABCD,底面ABC。為菱形，PD=PB,"為PC上的點，過4/

的平面分別交尸8,叨于點M,N,且BD"平面AMHN.

(/)證明：MN1PC；

(〃)當(dāng)”為PC的中點，PA=PC=0AB,PA與平面ABC。所成的角為60。，求二面角

P-4W-N的余弦值.

【考點】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5G：空間角

【分析】(I)連接AC交與。，可得BO_LPC.由BD"平面AMHN,可得DB//MN.即

可證明MNLPC.

(H)由(I)得OB_LAC且尸。_L8O,PA與平面4BCQ所成的角為NPA。=60。.

以。為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.記E4=2,，。(0,0,0),4(1,0,

0)5(0,0),C(-l,0,0),0(0,-Y'°)，P。?？?，

”(-g,0,停)求出平面4W7N的法向量為“7=(x,y,z),平面的法向量為〃=(〃也c),

由cos<,〃,〃>=」也乙=33,得二面角P-AM-N的余弦值.

|m||n|13

【解答】解：（I）證明：連接AC交比）與0,

因為ABC。為菱形，所以BOLAC,且。為AC、8。的中點，

PD=PB,..POO

ACPO=O,且AC、POu面PAC.

8D_L面PAC.

PCu面PAC,BD1PC.

BD//平面AMHN,且面依￡>C平面AMHN=MN,DB//MN.

MN1PC.

（II）由（I）得OBJ.AC且PO_L8￡>,PA=PC,且。為AC中點,

POVAC,戶。_1面488,：.PA與平面ABC。所成的角為NPA。=60。.

V3

可得AO=1pA,P0=2一

2

73

PA=y/3AB,BO=6一

以。為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-孫z.

記B4=2,0,0),A(l,0,0)5(0,^,0),C(-l,0,0),0(0,-^,0),P(0,0,G),

/7(—；,0,DB=(0,^~,0),A//=(―,^45=(―1,-^-,0),AP=0,'/3),

設(shè)平面AMHN的法向量為m=(x,y,z),

mDB=y=0

由，3可得〃7=(1,0,揚?

z3+c

mAH=——X4-----z=0

22

設(shè)平面PAB的法向量為n=（4,4c）,

J3

,nAB=-?+——b=0

由彳3可得〃=(1,

nAP--a+\/3c=0

mn

cos<m,n>=

ImII〃I13

【點評】本題考查了空間直線垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題.

20.（12分）已知橢圓￡二+二=1（a>6>0）的離心率為L圓。:爐心2才2K>。與x

a-b~2

軸交于點M、N,P為橢圓E上的動點，|PM|+|PN|=2a,APMN面積最大值為6.

(/)求圓。與橢圓￡的方程；

(〃)圓。的切線/交橢圓E于點A、B,求|4B|的取值范圍.

【考點】KJ；圓與圓錐曲線的綜合

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】(/)由離心率公式和a，b,c的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義可得N即為橢圓的焦

點，可得r=c,再由尸位于橢圓短軸端點時，APMN的面積取得最大值。c,解方程即

可得到a,b,c,r的值，即有圓和橢圓的方程；

(〃)討論直線/的斜率不存在時，求得切線的方程，代入橢圓方程可得交點和弦長；當(dāng)直線

/的斜率存在時，設(shè)直線的方程為〉="+，〃，運用直線和圓相切的條件：d=r,再由直

線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和弦長公式，化為出的函數(shù)式，運用換元法和二

次函數(shù)的最值求法，即可得到所求弦長的范圍.

【解答】解：(/)由橢圓方程可得e=￡==

a\a~2

即為/,=見"，①

2

P為橢圓E上的動點，|P例|+|PN|=2a,且可設(shè)M(-r,O),N(r,O),

由橢圓的定義可得M,N為焦點，即為ycW",②

當(dāng)尸位于橢圓的短軸的端點時，可得APMN面積最大值為工62c=73，

2

即h\/a2—h2=>/3,③

由①②③解得。=2,b=g,r=c=1,

22

則圓。的方程為x2+y2=i；橢圓E的方程為:+q=1；

(〃)當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線的方程為x=±l時，

可得與橢圓的交點為(1,±$,(-1,士|)，

則|A3|=3；

當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=k