第04講空間角的傳統(tǒng)法和向量法目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法） 1題型二：利用向量法求異面直線所成角 6題型三：已知線線角求參數(shù) 11題型四：直線與平面所成角（傳統(tǒng)法） 18題型五：直線與平面所成角（向量法） 23題型六：利用向量法求直線與平面所成角最值或范圍 31題型七：直線與平面所成角探索性問題 35題型八：二面角（傳統(tǒng)法） 47題型九：二面角（向量法） 52題型十：利用向量法求二面角最值或范圍 63題型十一：二面角探索性問題 70題型一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接、交于，取的中點，連、，則，則或其補角是直線與所成的角，在直三棱柱中，，因為，，所以，，在直三棱柱中，，因為，，所以，，因為，所以，，在中，.所以直線與所成角的余弦值為.

故選：B.例題2．（2023春·四川眉山·高一統(tǒng)考期末）三棱臺中，兩底面和分別是邊長為2和1的等邊三角形，平面.若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則且，故即為異面直線AC與所成角或其補角，因為平面ABC，平面ABC，所以，則，在中，，即異面直線AC與所成角的余弦值為.故選：C.例題3．（2023春·四川成都·高一石室中學?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，，，，平面，為的中點，則直線與所成角的余弦值為.

【答案】【詳解】因為平面，平面，平面所以，，又，所以兩兩垂直，將三棱錐置于一個長方體中，如圖所示，

易知，所以直線與所成角即為與所成角為（或其補角），由題意可知，，在中，由余弦定理，得，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：.精練核心考點1．（2023·江蘇·高一專題練習）在長方體中，已知，，則和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，在長方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，，所以和所成角等于與所成的角，在中，，，則，同理，，在中，由余弦定理得，，所以和所成角的余弦值為.故選：B.2．（2023春·甘肅白銀·高一?？计谀┤鐖D，在四面體中，點在平面上的射影是，，若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】分別取的中點，連接.因為點在平面上的射影是，所以平面，則.因為分別為中點，所以，所以與所成的角即或其補角.因為，所以，所以.又因為，所以，所以，異面直線所成角的范圍是,故異面直線與所成角的余弦值為.

故選:C.3．（2023春·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，點是的中點，則直線和所成角的余弦值為．【答案】【詳解】如圖，連接，相交于，連接，則為的中點，又為的中點，

所以，所以為異面直線和所成的角或其補角．又為等邊三角形，且邊長為2，故，又，所以，所以，所以．異面直線和所成的角的余弦值為故答案為：題型二：利用向量法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，.所以,.設直線與夾角為，則.故選：C.例題2．（2023秋·陜西西安·高二校考期末）如圖，長方體中，，，，、分別是線段和的中點，則異面直線與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，以點為原點，以為的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以，，所以，設異面直線與所成的角為，則，又，所以，所以異面直線與所成的角是.故選：B.例題3．（2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意易知兩兩相互垂直，由此以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，不妨設，則故，，設所成角為，，則，所以，即與所成角的正弦值是.故選：A精練核心考點1．（2023·四川綿陽·?？寄M預測）已知直三棱柱的所有棱長均為1，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取的中點，連接則，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設直線與直線夾角為，則，即直線與直線夾角的余弦值為.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為的中點，則異面直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意可得，由平面，，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，所以，，，，因為分別為的中點，所以，，則，，則，所以異面直線所成角的余弦值為.故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習）設、分別在正方體的棱、上，且，，則直線與所成角的余弦值為．【答案】【詳解】、分別在正方體的棱、上，且，，如圖以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，設直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值．故答案為：．題型三：已知線線角求參數(shù)典型例題例題1．（2022秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學校校考階段練習）在正方體中，棱長為2，是底面正方形的中心，點在上，是上靠近的三等分點，當直線與垂直的時候，的長為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則、，，設，，則，，因為，所以，解得.故選：A例題2．（2022秋·全國·高二專題練習）已知正方體的棱長為1，點在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別以為建立空間直角坐標系，設，則,直線與所成角的余弦值為，.解得：,,.故選：B.例題3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎襟w，點為中點，直線交平面于點.

(1)證明：點為的中點；(2)若點為棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析.(2).【詳解】（1）在正方體中，，又平面，且平面，則平面，而交平面于點，即平面，又平面，有平面，因此平面平面，于是，而為中點，所以為的中點.（2）以為坐標原點，方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

不妨設正方體的棱長為3，設，則,從而，設平面的一個法向量為，則,即,不妨取,則,即，設直線與平面所成角為，又直線與平面所成角的正弦值為，因此，解得，所以.精練核心考點1．（2022秋·山東淄博·高二山東省淄博第一中學?？茧A段練習）在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵中，，，，若直線與直線所成角為，則(

)A．? B．2 C．? D．?【答案】B【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，設，則，，，解得，故．故選：B．2．（2022秋·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考階段練習）已知四棱錐底面是邊長為的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點(不含端點)，若線段上存在點(不含端點)，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，取中點，建立如圖空間直角坐標系，依題意，設，，設，，故，又，異面直線與成的角，故，即，即，，故，又，故.故選：B.3．（2022秋·河南安陽·高二?？茧A段練習）如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.（1）求證：平面；（2）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）或.【詳解】（1）證明：取中點，連接?，∵為中點，∴，∵平面，平面，∴平面.∵為中點，∴，又?分別為?的中點，∴，則.∵平面，平面，∴平面.又，?平面.∴平面平面，∵平面∴平面；（3）解：因為底面，平面，平面，所以，因為，所以以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，依題意，設，則，進而可得，.由已知，得，整理得，解得或，所以線段的長為或.題型四：直線與平面所成角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·湖北黃岡·高一黃岡中學校聯(lián)考期末）在長方體中，，，則與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，如下圖所示：在長方體中，平面，則與平面所成的角為，且，，因為平面，平面，則，所以，，即與平面所成角的余弦值為.故選：C.例題2．（2023春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）在正方體中，直線和平面所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】記，則，連接，如圖所示，

平面，平面，則，，平面，平面，則平面，由線面角的定義可知，直線和平面所成角即為不妨設正方體的棱長為1，則，，所以，則，即直線和平面所成角的大小為.故選：A例題3．（2023·江蘇·高一專題練習）在正方體中，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接相交于點，連接，則是的中點，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，則是直線與平面所成的角，設正方體的棱長為2，則，設，所以，，所以，因為，所以，所以，即.故選：A．精練核心考點1．（2023春·陜西寶雞·高一寶雞中學?？计谀┰谡襟w中，直線和平面所成角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接交于點，連接，則，又平面，平面，所以又，平面，所以平面，則為直線和平面所成的角，又平面，所以，所以，則，即直線和平面所成角為.故選：A2．（2023春·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，，E為棱PA的中點，則直線CE與平面PAD所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為底面，平面，故可得，又平面,故可得平面.連接,

故即為所求直線CE與平面PAD所成角,不妨設,故在直角三角形中，,故可得,則則直線CE與平面PAD所成角的余弦值為，故選:B.3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┤鐖D，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，，點D是BC的中點，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，因為，D分別是，BC的中點，所以，所以平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，，所以，所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，因為為直徑，所以，因為，即，又因為平面，平面，所以，平面，所以平面，過點作交于點，因為平面，所以，，，平面，所以平面，所以為交線l與平面所成角，因為，，.所以，結合圖知.故選：B.

題型五：直線與平面所成角（向量法）典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學?？茧A段練習）如圖所示的多面體，底面為長方形，平面，，則與平面所成角正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為平面平面，所以，又為長方形，所以，所以兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系因為，則，，設平面的一個法向量為，由，得，令，即，設，則，又，故.故.設與平面所成角為，于是，.故選：B.例題2．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，.求直線與平面所成角的正弦值.【答案】【詳解】因為底面，底面，且是矩形，所以兩兩垂直，以為坐標原點，為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.例題3．（2023春·湖南長沙·高二雅禮中學?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，，，依次為，的中點．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，則，因為在直三棱柱中，，所以四邊形為正方形，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，則．（2）因為直三棱柱中，，所以兩兩垂直，所以以為原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設平面的一個法向量為，則，令可得．設與平面所成角為，所以，即與平面成角的正弦值為．

精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，點，分別為，的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】建系如圖，設正方體邊長為2，所以,所以,設平面的法向量為，所以令，所以，所以,所以與平面所成的角的正弦值為.故選:B.2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點.求AE與平面DEF所成角的正弦值.【答案】【詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以面，又面，故，，因為，所以，則兩兩垂直，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，故，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，，故，設與平面DEF所成角為，則，所以AE與平面DEF所成角的正弦值為.3．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中校考期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，ABC＝90°，AB＝DP＝2，DC＝BC＝1．

(1)證明：AD⊥PB；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取AB的中點E，連接DB，DE，

中，，梯形ABCD中，，，所以四邊形BCDE為正方形，所以，則，所以中，，又，所以，則，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由于，平面PBD,平面PBD,所以平面PBD，又平面PBD，所以．（2）以C為坐標原點，，為x軸，y軸正方向，在平面PCD內(nèi)過點C作CD的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，設平面PAB的法向量為，則，即，令，則，設直線PC與平面PAB所成角為，則．題型六：利用向量法求直線與平面所成角最值或范圍典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習）在長方體中，，，是的中點，點在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以D為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示則，，，，，設，則，設平面的法向量為則，令，得所以，由于，，，，，，由于，所以故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點，平面平面，中，，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）記平面與平面的交線為直線，點為直線上動點，求直線與平面所成的角的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：因為C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，，又平面平面，且平面平面，平面，平面.（2）由E，F(xiàn)分別是，的中點，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.以C為坐標原點，，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，∴可設，平面的一個法向量為，則，取，得，又，則.∴直線與平面所成角的取值范圍為.精練核心考點1．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折成.在翻折過程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】分別取DE，DC的中點O，F(xiàn)，則點A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標系，

則，平面ABCD的其中一個法向量為=(0,0.1)，由，設，則，記直線與平面ABCD所成角為，則設，所以直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為，故選：A.2．（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）馬戲團的表演場地是一個圓錐形棚，如圖，為棚頂，是棚底地面的中心，為棚底直徑，，是棚底的內(nèi)接正三角形，中間的支柱米，從支柱上的點向棚底周圍拉了4根繩子供動物攀爬表演，有一個節(jié)目表演的是猴子從點沿著繩子爬到點，再沿著爬到棚頂，然后從棚頂跳到中的某一根繩子上.(1)當點取在距離點米處時，證明拉繩所在直線和平面垂直；(2)經(jīng)驗表明當拉繩所在直線和平面所成角的正弦值最大時，節(jié)目的觀賞性最佳，問此時應該把點取在什么位置.【答案】(1)證明見解析(2)應該把點取在距離點米處【詳解】（1）因為，，所以是正三角形，則，易知底面圓，而底面圓，所以，又在中，，所以，因為是正三角形，所以，且，，所以，，同理可證，又，平面，所以平面，即拉繩所在直線和平面垂直；（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標系，設，所以設平面的法向量為，則，令，則，故，設直線和平面所成的角為，則，當且僅當，即米時，拉繩所在直線和平面所成角的正弦值最大，故應該把點取在距離點米處.題型七：直線與平面所成角探索性問題典型例題例題1．（2023春·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在長方體中，，，點在長方體內(nèi)（含表面）且滿足．

(1)當時，證明：平面；(2)當時，是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為的中點【詳解】（1）因為，所以，所以，又因為，所以，所以點在，所以，又因為平面，平面，所以平面．

（2）因為，所以，所以，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，．所以，，，，，設平面的法向量為，則，所以，取，則，所以平面的一個法向量為．又因為直線與平面所成角的正弦值為，所以所以，解得或，因為點在長方體內(nèi)，所以，所以，所以，存在點為的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為．

例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，為的中點，為邊上的一個點.

(1)求證:平面平面；(2)若為上的動點，與平面所成角的正切值的最大值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為底面是菱形，且，所以是邊長為2的等邊三角形，因為為的中點，所以，又因為，所以，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，平面的一個法向量為，則，設與平面所成的角為，則，可得，所以，當最小時，取得最大值，由，可得，當最小時，表示點到的距離，所以直角斜邊上的高為，又因為，所以，所以，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，則，由圖象可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角，所以平面與平面所成角的余弦值為.

例題3．（2023春·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，點為側(cè)棱的中點.(1)求證：；(2)若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解法1：取的中點，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，∴為平面的法向量，以的中點為原點，分別以，為空間直角坐標系的，軸，以垂直于平面的直線為軸，則，，，在直角三角形中，，，，所以，，∴，，，設，則，∵直線與平面所成角的正切值為，∴直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得，而，即，得，所以.解法2：取的中點，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，如圖，作，連接，∴平面，直線與平面所成的角就是，由已知得直線與平面所成角，設，則在三角形和中，由得，同理得，所以，在直角三角形中，，所以在直角三角形中有，即解得，而，所以.精練核心考點1．（2023春·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一點.

(1)求證：；(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在點，【詳解】（1）在平面內(nèi)，過點作直線的垂線，垂足為，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，在三棱柱中，，所以.（2）

因為平面，平面，所以，又，，所以，以為坐標原點，所在直線為軸，過與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，假設存在點滿足條件，設，則，所以，設直線與平面所成角為，則，整理得，解得或（舍去），所以，所以存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時.2．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）已知四棱錐中,平面底面,為的中點,為棱上異于的點.(1)證明:;(2)試確定點的位置,使與平面所成角的正弦值為.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明:如圖,連接交于點.因為為的中點,,所以.因為平面平面,平面平面,平面所以平面,因為平面,所以.因為,所以,所以,所以,.因為平面,所以平面.因為平面,所以.（2）如圖,取的中點,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系:設,則,,則,,設,所以,所以,即.設平面的法向量為,則即取,則整理得,因為,所以,即所以當時,與平面所成角的正弦值為.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，平面，，是的中點，點在棱上．(1)證明：；(2)若，，直線與平面所成的角為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，，又，為中點，，又，平面，平面，平面，平面，.（2），以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標系，設，，則，于是，，，，，，，，設平面的一個法向量為，有，即令，得，又，有，，，，．題型八：二面角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·江西九江·高一德安縣第一中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是的中點．

(1)求證：平面；(2)求側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證法一：在正方形中，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，所以平面，因為平面，所以，因為是正三角形，是的中點，所以，又，平面，所以平面，證法二：在正方形中，又側(cè)面底面，側(cè)面交底面于，所以平面，又平面，故平面平面，是正三角形，是的中點，所以又平面交平面于，平面，故平面．（2）取，的中點分別為，，連接，，，則，，因為，所以，又在正中，，因為，平面，平面，正方形中，，平面，所以是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，因為平面，，所以平面，因為平面，所以，設正方形的邊長，則，，所以，所以，即側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為.

例題2．（2023春·江西宜春·高一灰埠中學?？计谀┤鐖D1，在等腰梯形中，，，，為的中點.將沿翻折，得到四棱錐（如圖2）.

(1)若的中點為，點在棱上，且平面，求的長度；(2)若四棱錐的體積等于2，求二面角的大小.【答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點,連接,因為分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；因為平面，，平面，所以平面平面；因為平面平面,平面平面,所以，即為的中點，所以.（2）由圖1可知，等腰梯形的高為，所以四邊形的面積為；因為四棱錐的體積等于2，所以四棱錐的高等于，因為三角形的高為，所以平面平面；取的中點,連接,由圖1可知，均為等邊三角形，所以,，且;因為,所以平面，因為平面，所以；由圖1可知，所以是二面角的平面角，因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以為直角三角形；在中，，所以，即二面角為.

精練核心考點1．（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐的底面是菱形，，，.(1)求證：平面PBD；(2)若E為的中點，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）連接，連接，因為底面為菱形，所以為的中點，又，又平面，，平面.（2）連結，由（1）知平面，平面，是二面角的平面角，由題意知都是邊長為2的等邊三角形，所以，又為的中點，，因為，且為的中點，，在Rt中，，，，即，所以二面角的余弦值為.2．（2023春·吉林長春·高一東北師大附中校考期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為AB、BC的中點，將，分別沿DE、DF折起，使A，C兩點重合于P，連接EF，PB.

(1)點M是PD上一點.若平面EFM，則為何值？并說明理由；(2)點M是PD上一點，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)，理由見解析(2)【詳解】（1）連交于，連，因為在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，則為的中點，,因為平面EFM，平面，平面平面，所以，所以，所以；（2）由（1）知，若，則，因為，，所以，，又，平面，所以平面，因為平面，所以，因為在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，，又平面，平面，平面平面，所以是二面角的平面角.因為平面，平面，所以，設正方形ABCD的邊長為，則，，，,所以，，，即二面角的余弦值為.

題型九：二面角（向量法）典型例題例題1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點，連接，，，，，，又，平面，平面，而平面，；

（2）在中，，，可得，，在中，，，可得，在中，，，，可得，即，由（1）知，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面與平面的一個法向量分別為，，由，取，得，由，取，得．．由圖可知，二面角的平面角為鈍角，二面角的余弦值為．例題2．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學校考期末）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且，為的中點，．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接與交于點，連接，因為四邊形為平行四邊形，所以點為的中點，因為為的中點，所以∥，因為平面，平面，所以平面；（2）解：因為四邊形為矩形，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為，，，所以，所以，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，因為，，，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，設為平面的法向量，因為，所以，令，則，設平面與平面的夾角為（），則，即平面與平面的夾角的余弦值為.

例題3．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知直角梯形中，，，，，，為的中點，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一點，使得平面？(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)為的中點時，平面，證明見解析；(2)二面角的余弦值為.【詳解】（1）當點為的中點時，平面，證明如下：由已知，所以四邊形為矩形，所以，，已知，點為的中點，則，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以在上存在一點，使得平面；’

（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又，以點為原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，，所以，故，取，可得，所以為平面的一個法向量，設平面的法向量為，，所以，故，取，可得，所以為平面的一個法向量，所以，設二面角的平面角為，則，觀察圖象可得，所以.所以二面角的余弦值為.

精練核心考點1．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學校考期末）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面平面，，，.

(1)求證：平面平面；(2)若與平面所成角為，E為的中點，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，，，則，所以，則，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）作于點，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，所以，又，所以為等邊三角形，故，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，則，則，因為平面，所以即為平面的一條法向量，設平面的法向量為，則，令，則，所以，則，即銳二面角的余弦值.

2．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，底面ABC是邊長為8的等邊三角形，，，，D在上且滿足.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【詳解】（1）過點作交于點，連接交于點，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以，因為，所以，因為，，所以四邊形為正方形，故，⊥，

由勾股定理得，且，因為，，所以≌，故，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面平面.（2）因為⊥，，由勾股定理得，又，由勾股定理逆定理可得⊥，因為，平面，所以⊥平面，

取中點，的中點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，解得，令得，所以，設平面的法向量為，則，令，解得，故，設平面與平面夾角為，則，因為所以平面與平面夾角的正弦值為，3．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）如圖所示，在多面體中，底面為矩形，且底面∥.

(1)證明：∥平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取線段的中點，連接，因為四邊形是矩形，且，所以且因為且且，所以且，所以且所以四邊形是平行四邊形，則，因為平面平面，所以平面（2）因為底面平面，所以，因為所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，.設平面的法向量為，則，令，則，故平面的一個法向量，設平面的法向量為，由，取，則，故平面的一個法向量，則.設平面與平面的夾角為，則.題型十：利用向量法求二面角最值或范圍典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，，，，點是的中點，點為棱上的動點，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，則、、、、、、、、、其中.則,.設是平面的一個法向量，則，不妨設x=-1，則，顯然是面的一個法向量.設平面與平面所成的銳二面角為，則，要使平面與平面所成的銳二面角正切的最小，只需平面與平面所成的銳二面角最小，只需平面與平面所成的銳二面角余弦最大.所以當時，最小，最大.此時，所以.故選：B例題2．（2022秋·遼寧·高二校考階段練習）某人設計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺的上半部分是一個底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當圓弧E2F2（包括端點）上的點P與B1的最短距離為5時，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當點P在圓弧E2E2（包括端點）上移動時，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．【答案】（1）見解析，（2）【詳解】（1）證明：作平面于，則在圓弧上，因為，所以當取最小值時，最小，由圓的對稱性可知，的最小值為，所以,如圖，以為原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，,因為，所以,因為平面，平面，,所以DB1⊥平面D2EF，（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,設，因為，設所以，，設平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個法向量，設二面角的大小為，顯然是鈍角，則，，則，所以二面角的正切值的取值范圍為，精練核心考點1．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點在線段上運動，設平面與平面所成銳二面角為，試求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）證明：設，∵，，∴，∴，∴，則.∵四邊形為矩形，∴，而平面，且，∴平面.∵，∴平面.（2）以為坐標原點，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，所以，，設為平面的一個法向量，由，得，取，所以，因為是平面的一個法向量.所以.因為，所以當時，有最小值，當時，有最大值，所以.2．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點分別為的中點，且.(1)若，求直線與平面所成角的正弦值；(2)若直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，則，即，又因為平面，所以，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，故，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為..（2）設，則，故，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，故，易得平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則，即，解得，設平面與平面的夾角為，則，因為，所以，則，故，即.所以平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍為.題型十一：二面角探索性問題典型例題例題1．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，設平面與平面所成角為，是否存在點G，使得，若存在確定G點位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點G為BF中點【詳解】（1）因為，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.（2）由面⊥面，，面面，面，所以平面，AB在面ABCD內(nèi)，則，結合已知建立如下空間直角坐標系，則，設，得，平面的法向量為，又，設平面的法向量為，則，取，則，故=，解得=，（舍），所以點G的坐標為，故存在點G為BF中點時使得.例題2．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中校考階段練習）如圖，為圓的直徑，點在圓上，且為等腰梯形，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知.

(1)求證：平面平面；(2)當?shù)拈L為何值時，平面與平面的夾角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以.又因為為圓的直徑，所