第05講空間距離的傳統(tǒng)法和向量法目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離 1題型二：點(diǎn)到平面距離（等體積法） 3題型三：點(diǎn)到平面距離（向量法） 7題型四：利用向量探索點(diǎn)到平面距離最值問題 16題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.例題2．（2023秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【詳解】，，所以，點(diǎn)到的距離為．故答案為：．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇徐州·高二徐州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，則，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：A.2．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若，兩點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)A到直線l的距離為.【答案】3【詳解】依題意，而，故與方向相同的單位向量為，則所求距離.故答案為:3題型二：點(diǎn)到平面距離（等體積法）典型例題例題1．（2023春·山東煙臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱中，是中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面.（2）設(shè)，到平面的距離為，，，，又為中點(diǎn)，，又為等邊三角形，，解得：，，，，解得：，即到平面的距離為.例題2．（2023春·廣東惠州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．

(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若正方體的棱長(zhǎng)為2，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)直線平面，理由見解析(2)【詳解】（1）直線平面，理由如下：在正方體中，連接交于點(diǎn)，連接，如圖1，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，因此，又平面，平面，所以平面．（2）解法一：（等體積法）在三棱錐中，，則，的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

由得：，于是，所以點(diǎn)到平面的距離為．解法二：（直接法）連接，在平面中，設(shè)

在正方形中，又∵平面，平面，∴．又∵，、平面∴平面，而平面，∴同理可得：，又∵，，平面，∴平面，即平面，所以為點(diǎn)到平面的距離，由題意可知，在直角三角形中，，，由得，所以點(diǎn)到平面的距離為．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正方形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將，，分別沿，，折起，使，，三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則到平面的距離為（

）

A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】由折疊不變可知，三棱錐中，，兩兩相互垂直，所以，的三邊長(zhǎng)分別為，，，所以，因?yàn)?，設(shè)到平面的距離為，所以，解得，故選：B.2．（2023春·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為菱形，且，，G為的中點(diǎn)，在方向上的投影向量為．

(1)求證：；(2)若，，求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接PG，BG，BD，

G為的中點(diǎn)，在方向上的投影向量為，，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，且，為等邊三角形，又G為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，．（2），，為等邊三角形，，，，平面ABCD，平面ABCD，設(shè)點(diǎn)到平面PBD的距離為，,，點(diǎn)到平面PBD的距離為題型三：點(diǎn)到平面距離（向量法）典型例題例題1．（2023春·天津和平·高一天津一中?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，為棱上的點(diǎn)，且．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)見解析(2)(3)2【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，而，因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，因?yàn)?，所以，而平面，，所以平面?/p>

（2）設(shè)平面的法向量為，，則有，由（1）可知平面的法向量為，所以有，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）由（2）可知：平面的法向量為，，所以可得：，所以點(diǎn)E到平面的距離為.例題2．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)存在，(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn)，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，可得，，假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)使，則，則；（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，又，則到平面的距離為，即點(diǎn)到平面距離為.例題3．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面平面，，，，.

(1)設(shè)平面與平面的交線為，求證：平面；(2)點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.又因?yàn)槠矫鍼AB，平面平面，所以.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以平面ABCD.（2）

設(shè)O為AD的中點(diǎn)，因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.由，，，可知ABCD四邊形為等腰梯形，得，所以，所以.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面ABCD的法向量為，設(shè)，則，，，因?yàn)橹本€AE與平面ABCD所成角為，所以，所以①因?yàn)辄c(diǎn)E在棱PB上，所以，即，所以，，，代入①解得或（舍去），，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，得，，所以，所以點(diǎn)E到平面PCD的距離.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）在單位正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則,故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故點(diǎn)到平面的距離為,故選：C2．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)若是等腰直角三角形，，，點(diǎn)E在棱AD上（與A，D不重合），若二面角的大小為，求點(diǎn)D到面BCE的距離.【答案】(1)證明見解析.(2)1.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，平面ABD，所以平面BCD．又因?yàn)槠矫鍮CD，所以.（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為F，則，又因?yàn)?，所?以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F，OD，OA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，，所以，又因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得，，則，，，，，設(shè)，則.由題意可知是平面BCD的一個(gè)法向量，，設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為，，，則有，即，令，則，，則平面BCE的一個(gè)法向量為.根據(jù)二面角的大小為可得，，解得，即，又因?yàn)?，所以點(diǎn)D到平面BCE的距離.3．（2023·天津南開·南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，易知平面的一個(gè)法向量為，故，則，又平面，故平面．（2）易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，且，，則，令，則，，，設(shè)平面與平面夾角為，易知為銳角，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，且，則，令，則，，故，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，．題型四：利用向量探索點(diǎn)到平面距離最值問題典型例題例題1．（2023秋·四川資陽(yáng)·高二?？计谀┮阎忮F中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離的最大值是A． B． C． D．【答案】C【詳解】三棱錐，滿足兩兩垂直，且，如圖是棱長(zhǎng)為1的正方體上具有公共頂點(diǎn)的三條棱,以為原點(diǎn),分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，三棱錐外接球就是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，由正方體與球的幾何性質(zhì)可得，點(diǎn)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.故選C.例題2．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，且平面平面，所?取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)榍?，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭钦切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椋瑒t，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，所以，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量，所以，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，點(diǎn)到平面距離的取值范圍是.精練核心考點(diǎn)1．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上，則頂點(diǎn)B到平面APC距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，故，又，，于是，設(shè)平面APC的法向量，則有，可取，則點(diǎn)B到平面APC的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B到平面APC的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)B到平面APC的最大距離為，故選:D．2．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期中）如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)為的中點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)由點(diǎn)確定的平面為，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，平面截正方體的截面的面積為；點(diǎn)到平面的距離的最小值為.【答