第八章

第3節(jié)圓的方程知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1．圓的定義和圓的方程定點

定長

D2＋E2－4F＞0

2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．圓外圓上圓內(nèi)1．圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1) (y－y2)＝0.1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (

) (2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓． (

) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓． (

) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (

)√

√

×

×

D

3．過點A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析

設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r.

因為圓心C在直線x＋y－2＝0上， 所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2， 所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2， 所以a＝1，b＝1.

所以r＝2.

所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.C

4．(2020·北京卷)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為 (

) A．4B．5C．6D．7A

5．(多選題)(2021·濟南調(diào)研)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法正確的是 (

) A．圓M的圓心為(4，－3) B．圓M被x軸截得的弦長為10 C．圓M的半徑為5 D．圓M被y軸截得的弦長為6

解析

由圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0， 則圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 故圓心為(4，－3)，半徑為5， 則AC正確；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦長為6， 故D正確；令y＝0，得x＝0或x＝8，弦長為8， 故B錯誤．ACD

B

解析

設圓心為P(x0，y0)，半徑為r， ∵圓與x軸，y軸都相切， ∴|x0|＝|y0|＝r，又圓經(jīng)過點(2，1)， ∴x0＝y(tǒng)0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2， ∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.考點分層突破題型剖析考點聚焦21．在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為

________________．考點一圓的方程///////自主演練x2＋y2－2x＝0

所以△OAB是以角A為直角的直角三角形，則線段BO是所求圓的直徑，(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析

法一

∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴可設所求圓的圓心為(a，－a)．∵所求圓與直線x－y＝0相切，3．(2020·鄭州二模)圓(x＋2)2＋(y－12)2＝4關(guān)于直線x－y＋8＝0對稱的圓的方程為 (

) A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4 C．(x－4)2＋(y－6)2＝4 D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4C

AB

解析

設圓心為C(a，b)，半徑為r，圓C被x軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，則其中劣弧所對圓心角為120°，由圓的性質(zhì)可得r＝2|b|，又圓被y軸截得的弦長為4，∴a2＋4＝r2，感悟升華考點二與圓有關(guān)的最值問題///////多維探究角度1利用幾何意義求最值【例1】(2)求x＋y的最大值和最小值； 解

設t＝x＋y， 則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距． 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，感悟升華【例2】(2020·衡水聯(lián)考)已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________． 解析因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，角度2利用對稱性求最值故A′(－4，－2)．感悟升華角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值12

根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值．感悟升華B

【訓練1】(2)(2020·長沙模擬)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________．【例4】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：

(1)直角頂點C的軌跡方程； 解法一設C(x，y)， 因為A，B，C三點不共線， 所以y≠0.

因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1，考點三與圓有關(guān)的軌跡問題///////師生共研所以應除去與x軸的交點)．所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．【例4】(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程． 解

設M(x，y)，C(x0，y0)，

所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.

因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．感悟升華【訓練2】設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程． 解如圖，設P(x，y)，N(x0，y0)，又點N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點P的軌跡是以(－3，4)為圓心，2為半徑的圓，課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3一、選擇題1．圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是 (

) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析因為圓心為(1，1)且過原點，D

B

3．(2021·荊州模擬)若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是(

) A．2 B．－2 C．1 D．－1

解析

由題意知直線y＝kx＋3過圓心(1，1)， 即1＝k＋3，解得k＝－2.B

4．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是 (

) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析

設圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，A

5．(2020·成都診斷)若拋物線y＝x2－2x－3與坐標軸的交點在同一個圓上，則由交點確定的圓的方程為 (

) A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5

解析拋物線y＝x2－2x－3關(guān)于直線x＝1對稱，與坐標軸的交點為A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，設圓心為M(1，b)，半徑為r，D

所以由交點確定的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.

故選D.6．(2021·西安調(diào)研)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長為6，則圓C的方程為 (

) A．x2＋y2－2x－4y－8＝0 B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0 C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0C

二、填空題7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是

_________________，半徑是________． 解析

由已知方程表示圓， 則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.

當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件， 故舍去． 當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．(－2，－4)

5

x2＋(y＋1)2＝4

9．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為_________． 解析

P是x軸上任意一點， 則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3， 則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1′(2，－3)．三、解答題10．已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值； 解由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，解設y－x＝b，則x－y＋b＝0.當直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值，11．設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； 解

由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)．11．設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝