第二章點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

§2.2直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線(xiàn)與平面平行的判定

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.直線(xiàn)平面a,直線(xiàn)貝?。?)

A.n//aB.〃與a相交

C.〃UaD.〃〃a或"Ua

2.棱臺(tái)的一條側(cè)棱所在的直線(xiàn)與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在的平面的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不相交

3.已知a,〃是兩條相交直線(xiàn)，a//a,則人與a的位置關(guān)系是()

A.b//aB.6與a相交

C.bUaD.6〃a或人與a相交

4.一條直線(xiàn)/上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面a的距離相等，那么直線(xiàn)/與平面a的位置

關(guān)系是()

A.l//aB./.La

C./與a相交但不垂直D./〃a或/Ua

5.如圖，在長(zhǎng)方體ABS-AiBiGA的面中:

(1)與直線(xiàn)AB平行的平面是；

(2)與直線(xiàn)A4平行的平面是；

(3)與直線(xiàn)AD平行的平面是.

6.已知不重合的直線(xiàn)a,b和平面a.

①若n〃a,%Ua,則a〃8；②若a〃a,b//a,則a〃6；③若a〃h,hCa,則a〃a；

④若a〃b,a//a,則?！╝或bUa,其中正確命題的個(gè)數(shù)是.

7.在正方體A8C￡)—AIBCIOI中，E為。。i的中點(diǎn)，求證：8。〃平面AEC.

8.如圖，四棱錐A—OBCE中，。為底面正方形。8CE對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，尸為4E的中點(diǎn).求

證：AB〃平面QCF.

二、能力提升

9.在空間四邊形ABC。中，E、尸分別是48和8C上的點(diǎn)，若AE：EB=EF：FB=1：3,

則對(duì)角線(xiàn)AC和平面DEF的位置關(guān)系是)

A.平行B.相交

C.在內(nèi)D.不能確定

10.過(guò)直線(xiàn)/外兩點(diǎn)，作與/平行的平面，則這樣的平面（）

A.不存在B.只能作出一個(gè)

C.能作出無(wú)數(shù)個(gè)D.以上都有可能

11.過(guò)平行六面體ABCO-ABiGA任意兩條棱的中點(diǎn)作直線(xiàn)，其中與平面平行的

直線(xiàn)共有條.

12.如圖，在平行四邊形4BCD中,E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，將△A3E沿直線(xiàn)￡>E翻折成DE,

下為線(xiàn)段A'C的中點(diǎn).求證：8F〃平面A'DE.

A，

三、探究與拓展

13.正方形ABC。與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,8。上各有一點(diǎn)P,Q,且AP

=。。.求證：P?！ㄆ矫?CE.（用兩種方法證明）

答案

I.D2.B3.D4.D

5.(1)平面AiG和平面0G⑵平面BCi和平面。G(3)平面與C和平面ACi

6.1

7.證明如圖，連接8。交AC于F,連接EF.

因?yàn)镕為正方形ABC。對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，所以F為AC、BO的中點(diǎn).

在三角形。。山中，E、尸分別為。。卜OB的中點(diǎn)，所以EF〃DiB.

又EFU平面AEC,8。應(yīng)平面AEC,所以BA〃平面AEC.

8.證明連接OF,

為正方形。BCE對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，...BO=OE,

又AF=FE,

J.AB//OF,

ABC平面。CF]/

0FU平面。CF,今4B〃平面DCF.

AB//OF.

9.A10.D11.12

12.證明取A'。的中點(diǎn)G,連接GF,GE,

Gi

D1

由條件易知FG〃C￡>,FG=gcD,BE//CD,BE=^CD,

所以FG〃BE,FG=BE,故四邊形BEGF為平行四邊形,

所以8F〃EG.因?yàn)镋GU平面A'DE,

BFQ平面A'DE,

所以8尸〃平面A'DE.

13.證明如圖所示，連接4。并延長(zhǎng)交8c于K,連接EK.

"：AP=DQ,AE=BD,

：.BQ=PE.

又尸夕平面BCE,EKU平面BCE,

...PQ〃平面BCE.

2.2.2平面與平面平行的判定

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.直線(xiàn)/〃平面a,直線(xiàn)機(jī)〃平面a,直線(xiàn)/與相相交于點(diǎn)P,且/與根確定的平面為夕,

則a與￡的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.異面D.不確定

2.平面a與平面￡平行的條件可以是（）

A.a內(nèi)的一條直線(xiàn)與夕平行

B.a內(nèi)的兩條直線(xiàn)與“平行

C.a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與夕平行

D.a內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與￡平行

3.給出下列結(jié)論，正確的有（）

①平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行；

②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；

③過(guò)平面外兩點(diǎn)，不能作一個(gè)平面與已知平面平行；

④若a,人為異面直線(xiàn)，則過(guò)a與8平行的平面只有一個(gè).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.若正〃邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)分別與面a平行，則這個(gè)正〃邊形所在的平面一定平行于平面

a,那么〃的取值可能是)

A.12B.8C.6D.5

5.已知平面a、p和直線(xiàn)a、b、c,且a//b//c,b、cU°,則a與￡的關(guān)系是.

6.有下列幾個(gè)命題：

①平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面少的距離相等，則a〃八

②aC0=b,且a〃伙a,0,y分別表示平面，a,人表示直線(xiàn)），則y〃夕；

③平面a內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面夕內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊，則a〃夕；

④平面a內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面夕內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對(duì)應(yīng)平行，則

a//p.

其中正確的有-（填序號(hào)）

7.如圖所示，矩形ABC。和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,求證：AE〃平面。CK

8.在長(zhǎng)方體A8CD—A山QQi中，E、F、Ei、Q分別是A8、CD、

AMGDi的中點(diǎn).

求證：平面平面BCFiEi.

二、能力提升

9.a、夕是兩個(gè)不重合的平面，a、b是兩條不同的直線(xiàn)，在下列條件下，可判定a〃夕的是

()

A.a,夕都平行于直線(xiàn)a、b

B.a內(nèi)有三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)到”的距離相等

C.a,。是a內(nèi)兩條直線(xiàn)，且a〃夕，b/邛

D.a、b是兩條異面直線(xiàn)，且a〃a,b//a,a//P，b//

10.正方體EFG//—EIFIGIHI中，下列四對(duì)截面中，彼此平行的一對(duì)截面是()

A.平面EIFGI與平面EGHi

B.平面/77G1與平面尸i"iG

C.平面RHiH與平面FHEi

D.平面EHGi與平面EaiG

11.如圖所示，在正方體ABCD—A\B\C\D\中，E、F、G、H分別是棱CG、C,D|.D\D.

CO的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)何在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿(mǎn)足

時(shí)，有MV〃平面囪2。。|.

12.已知在正方體A8CD-AiBiCQi中，M、E、尸、N分別是48、BG、C,DKCIAI的

中點(diǎn).

求證：(1)E、F、D、B四點(diǎn)共面;

(2)平面AMN〃平面EFDB.

三、探究與拓展

13.如圖所示，8為448所在平面外一點(diǎn)，加、代、6分別為44品1、八48。、

/XBCD的重心.

(1)求證：平面MNG〃平面ACO；

(2)求S^MNG:SAADC.

答案

1.B2.D3.B4.D

5.相交或平行

6.③

7.證明由于AB〃CO,BE//CF,故平面ABE〃平面OCK

而直線(xiàn)AE在平面ABE內(nèi)，根據(jù)線(xiàn)面平行的定義，知AE〃平面DCF.

8.證明VE.后分別是A8、A向的中點(diǎn)，，AiEi〃BE且AiA=BE.

四邊形為平行四邊形.

...AiE〃8Ei.；4￡a平面BCFE,

8E1U平面BCF\E\.

...AiE〃平面BCF\E\.

同理4。〃平面BCREi,

AiEQA\Di=A],

...平面AiEFZJ”平面BCFiEi.

9.D10.A1I.MC線(xiàn)段尸”

12.證明⑴：E、1分別是BiCi、G5的中點(diǎn)，1圖由必,

,：DD\觸HB\,

四邊形DiBiBD是平行四邊形，

：.D\B\//BD.

：.EF//BD,

即EEB。確定一個(gè)平面，故E、F、。、8四點(diǎn)共面.

⑵；M、N分別是〃8|、4D1的中點(diǎn),

：.MN//D\B\//EF.

又MNQ平面EFDB,

EfU平面EFDB.

；.MN〃平面EFDB.

連接NE,則NE統(tǒng)A序觸AB.

；.四邊形NEBA是平行四邊形.

；.AN〃8E.又AM：平面EFDB,BEU平面EFDB.；.AN〃平面EFDB.

,:AN、MN都在平面AMN內(nèi)，且ANCMV=N,

平面AMN//平面EFDB.

13.(1)證明連接BM、BN、BG并延長(zhǎng)交AC、AD,CO分別于P、F、H.

B

分別為、。、的重心，則有訴赤不

N、G△ABC△A3△BCDMr=INr=L，t7i7=2.

連接PF、FH、PH,有MN//PF.

又尸產(chǎn)U平面AC。，MNQ平面ACQ,

〃平面ACD.

同理MG〃平面AC。，MGCMN=M,

平面MNG〃平面ACD.

(2)解由(1)可知需=籌=*

；.MGmPH.

又產(chǎn)4=%。，：.MG=^AD.

同理NG=|AC,MN=gcD.

:.△MNGSXDCA、其相似比為1：3,

SAMNG:SAADC=1:9.

2.2.3直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.a,6是兩條異面直線(xiàn)，P是空間一點(diǎn)，過(guò)戶(hù)作平面與a,6都平行，這樣的平面（）

A.只有一個(gè)B.至多有兩個(gè)

C.不一定有D.有無(wú)數(shù)個(gè)

2.如圖，在四面體A8C。中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（）

A

"QC

A.AC.LBDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.異面直線(xiàn)PM與BO所成的角為45。

3.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCO-AIBIGQI中，E、F分別是棱和的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面

E尸GH分別交BC和AO于G、H,則HG與AB的位置關(guān)系是)

A.平行B.相交D.平行和異面

4.直線(xiàn)a〃平面a,a內(nèi)有"條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，則這〃條直線(xiàn)中與直線(xiàn)〃平行的直線(xiàn)（）

A.至少有一條B.至多有一條

C.有且只有一條D.沒(méi)有

5.設(shè)相、〃是平面a外的兩條直線(xiàn)，給出三個(gè)論斷：

①小〃?、诹Α╝；③〃〃a.以其中的兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)造三個(gè)命題，

寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.（用序號(hào)表示）

6.如圖所示，A8CQ—A/CiOi是棱長(zhǎng)為"的正方體，M、N分別是下底面的

棱48、SG的中點(diǎn)，P是上底面的棱A。上的一點(diǎn)，AP=早過(guò)P，M,

N的平面交上底面于PQ,。在CD上，則PQ=.

7.A8CD是平行四邊形，點(diǎn)尸是平面A8CO外一點(diǎn)，〃是PC的中點(diǎn)，在。M上取一點(diǎn)G,

過(guò)G和AP作平面交平面8。例于G”,求證：AP//GH.

8.如圖所示，三棱錐A—SCO被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH

求證：CD〃平面EFG”.

二、能力提升

9.如圖所示，平面aC夕=/|,aCly=/2，0Cy=b，/i〃，2，下列說(shuō)法正確的是()

4/'、、?

A./|平行于況且/2平行于/3

B./i平行于h,且辦不平行于6

C.不平行于國(guó)且，2不平行于/3

D./|不平行于兒但，2平行于/3

10.如圖所示，已知A、B、C、。四點(diǎn)不共面，且AB〃平面a,CD//a,ACHa=E,ADC\a

=F,BDDa=H,BCCa=G,則四邊形EFHG的形狀是.

11.如圖所示，在空間四邊形ABCO中，E、F、G、”分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且

AC〃平面EFGH,〃平面EFGH,AC=m,BD=〃,當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AE:EB

12.如圖所示，P為平行四邊形A8CO所在平面外一點(diǎn)，M、N分別為A3、

PC的中點(diǎn)，平面FOC平面尸8C=/.

(1)求證：BC//1-,

(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.

三、探究與拓展

13.如圖所示，三棱柱ABC—AiBiG,。是BC上一點(diǎn)，且AB〃平面ACQ,5是81G的

中點(diǎn)，求證：平面48。〃平面4Go.

B

答案

1.C2.C3.A4.B

5.①②=>③(或①③=>②)6.4

7.證明如圖所示，連接AC交8。于0,連接M0,

ABC。是平行四邊形，

4BC。是平行四邊形，點(diǎn)P是平面A8C。外一點(diǎn)，〃是PC的中點(diǎn)，在OM上取一點(diǎn)G,

過(guò)G和AP作平面交平面于GH,求證：AP//GH.

；.0是AC中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，

J.AP//OM.

根據(jù)直線(xiàn)和平面平行的判定定理，

則有以〃平面BMD.

,：平面PAHGC1平面BMD=GH,

根據(jù)直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理，

則有AP〃G”.

8.證明：四邊形EFGH為平行四邊形，

J.EF//GH.

又GHU平面BCD,EBI平面BCD.

〃平面BCD.

而平面AC￡>ri平面8C￡>=C，EFU平面AC。，/〃CD

而EFU平面EFGH,C￡)Q平面EFGH,

，C￡>〃平面EFGH.

9.A10.平行四邊形

11.mn

12.(1)證明因?yàn)锽C〃A。，AOU平面

8al平面布O,所以8C〃平面布D

又平面附。。平面PBC=l,BCU平面PBC,所以BC//1.

⑵解MV〃平面PAD.

證明如下：

如圖所示，取P。中點(diǎn)E.

連接硒、AE.

MB

又,：N為PC中點(diǎn)、，：.EN*AB

：.EN觸AM,：.四邊形ENMA為平行四邊形，J.AE//MN.

又,.?AEU平面處。，MNQ平面FA。,

；.MN〃平面PAD.

13.證明連接AC交AG于點(diǎn)E,

;四邊形4ACG是平行四邊形,

是4C的中點(diǎn)，連接ED,

平面AG。，

平面AiBCC平面AGD=EZ),

：.AsB//ED,

；E是AC的中點(diǎn),工。是8c的中點(diǎn).又是EG的中點(diǎn)，：.BDt//CiD,

又,；CiOU平面AGO,80足平面AG。，

平面AGO,

又AIBCB￡>I=8,

二平面4801〃平面ACQ.

2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.已知平面a〃平面.，過(guò)平面a內(nèi)的一條直線(xiàn)a的平面與平面尸相交，交線(xiàn)為直線(xiàn)兒

則a、b的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.異面D.不確定

2.已知“、〃表示直線(xiàn)，a、￡表示平面，下列推理正確的是（）

A.aC\p=a,h^a=>a//h

B.aC￡=ci,a//b^b//a5,b///3

C.h//p,aUa,h^a=>a//[i

D.B，aC\y=afpr\y=b^a//b

3.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面4BC,a分別交

線(xiàn)段PA.PB、PC于A'、B'、C',若以'：A4'=2：3,則

S^A,BC:SAA8C等于（）

A.2：25B.4：25

C.2：5D.4：5

4.a,P，y為三個(gè)不重合的平面，a,b,c為三條不同的直線(xiàn)，則有下列命題，不正確的是（）

a//cally

>z^a//b;②=^a//h；

b//cb//y\

a//ca//y

③0a〃川;、今a"%、

p//c.④p//y\

a//c

⑤,今alla;>^>a//a.

a//c?7

A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D(zhuǎn).②③

5.分別在兩個(gè)平行平面的兩個(gè)三角形.（填“相似”“全等”）

（1）若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)共點(diǎn)，那么這兩個(gè)三角形具有關(guān)系;

（2）若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)互相平行，那么這兩個(gè)三角形具有關(guān)系.

6.已知平面a〃4〃y,兩條直線(xiàn)/、m分別與平面a、夕、y相交于點(diǎn)A、B、C與。、E、F.

DE2

已知AB=6,77^=三，則AC=______.

UrJ

Im

7.如圖，在三棱柱ABC—48iG中，M是4G的中點(diǎn)，平面A81M〃平面BGN,ACC平面

BGN=N.

求證：N為AC的中點(diǎn).

8.如圖所示，在底面是平行四邊形的四棱錐尸一ABC。中，點(diǎn)E在PZ）上，且PE：E￡>=2：1,

在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使8F〃平面AEC?并證明你的結(jié)論.

二、能力提升

9.設(shè)a〃夕，AGa,B0,C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A、B分別在平面a、夕內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到無(wú)數(shù)

個(gè)的中點(diǎn)C,那么所有的動(dòng)點(diǎn)C（）

A.不共面

B.當(dāng)且僅當(dāng)A、8分別在兩條直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)才共面

C.當(dāng)且僅當(dāng)A、8分別在兩條給定的異面直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)才共面

D.不論A、8如何移動(dòng)，都共面

10.已知平面a〃平面夕，P是a,△外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)，"與a,尸分別交于點(diǎn)A,C,過(guò)

點(diǎn)P的直線(xiàn)〃與a,夕分別交于點(diǎn)B,D,且PA=6,AC=9,PD=S,則BD的長(zhǎng)為（）

A.16B.24或gC.14D.20

11.對(duì)于不重合的兩個(gè)平面a與夕，給定下列條件：①存在平面/使得a、夕都垂直于”

②存在平面了,使a、p都平行于外③a內(nèi)有不共線(xiàn)的三點(diǎn)到p的距離相等；④存在異

面直線(xiàn)/,,〃，使得/〃a,/〃少，，〃〃a,〃及其中可以判斷兩個(gè)平面a與￡平行的條件

有個(gè).

12.如圖所示，平面a〃平面￡,AABC、Z\A'B'C分別在a、4內(nèi)，線(xiàn)段44'、BB'、

CC'共點(diǎn)于O,。在a、夕之間，若AB=2,AC=\,ZBAC=90°,OA：OA'=3：2.

求B'C的面積.

三、探究與拓展

13.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8C￡>—AI2IGOI中，45的中點(diǎn)是尸，過(guò)點(diǎn)Ai作與截

面尸8G平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積.

答案

1.A2.D