高中數(shù)學(xué)空間幾何（簡(jiǎn)單）測(cè)試試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—■二三總分

得分

評(píng)卷人得分

一.單選題（共—小題）

1.有兩個(gè)同心圓，在外圓周上有不重合的六個(gè)點(diǎn)，在內(nèi)圓周上有不重合的三個(gè)點(diǎn)，由這九

個(gè)點(diǎn)確定的直線最少有（）

A.36條B.33條C.21條D.18條

2.已知直線a和兩個(gè)平面a,B,給出下列四個(gè)命題：①若a〃a,則a內(nèi)的任何直線都與

a平行；②若aJ.a,則a內(nèi)的任何直線都與a垂直；③若a〃B,則B內(nèi)的任何直線都與

a平行；④若a則B內(nèi)的任何直線都與a垂直.則其中（）

A.②、③為真B.①、②為真C.①、③為真D.③、④為真

3.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面a的距離都相等，這樣的平面a共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E、F分別為

PA、PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF是異面直線；②

直線BE與直線AF是異面直線；③直線EF〃平面PBC；④平面BCE_L平面PAD.其中正確結(jié)

論的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

二面角a-AB-B與B-BC-Y均為?(0<6<IT),AB±BC,Ic

a，mey,則下列不可能成立的是（）

A.I〃mB.I±m(xù)C.m〃ABD.aJ_y

正方體ABCD-AiBiCiDi中，EF是異面直線，AC和AiD的

公垂線，則EF和BDi的關(guān)系是（)

A.相交但不垂直B.垂直C.異面D.平行

7.已知四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD的對(duì)邊互不平行，現(xiàn)用一平面a去截此四棱錐,

且要使截面是平行四邊形，則這樣的平面a（）

A.有且只有一個(gè)B.有四個(gè)C.有無數(shù)個(gè)D.不存在

8.在空間中，過點(diǎn)A作平面n的垂線，垂足為B,記B=f.（A）.設(shè)a,8是兩個(gè)不同的平

面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P,P,Qi=f4f..（P）].Cb=f..[fP（P）],恒有PQi=PCb,則（）

A.平面a與平面B所成的（銳）二面角為45°

B.平面a與平面B垂直

C.平面a與平面B平行

D.平面a與平面B所成的（銳）二面角為60°

9.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)

正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是

()

A.48B.18C.24D.36

10.已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為a,E,F分別是棱AB,BC上的點(diǎn)，且AE=BF,若

AiE與CiF所成的角最小，則有()

1121

A.AE=BF=-aB.AE=BF=-aC.AE=BF=-aD.AE=BF=-a

4352

11.線a、b和平面a,下面推論錯(cuò)誤的是（）

a±a,a_La'

A.=aJB.=〃_La

feca[aII

aA-baIIQ

C.〈=3〃&或3之。D.=>a||b

fe±afeca

12.已知m、n表示兩條不同直線，a表示平面.下列四個(gè)命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①若m〃a,n〃a,則m〃n②若m±a,nua,則m_Ln

③若m±a,m±n,貝ijn〃a④若m〃a,m±n,則n_La

A.4B.3C.2D.1

評(píng)卷人得分

二.填空題(共_小題)

13.已知兩條不同直線m、I,兩個(gè)不同平面a、B,給出下列命題：

①若I垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，則I，a；

②若l〃a,貝心平行于a內(nèi)的所有直線；

③若mua,luB且a〃B,則m〃l；

④若luB,l_La,則aJ.6；

其中正確命題的序號(hào)是.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

14.給出下列五個(gè)命題：

①函數(shù)f(x)=上二的圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)(1，1)；②函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)；

x+1

③已知a,b,m均是負(fù)數(shù)，且。〉〃，則竺竺〉￡；④若直線1〃平面a,直線"直線m,

h+mh

直線mu平面B,則Pla；⑤當(dāng)橢圓的離心率e越接近于0時(shí)，這個(gè)橢圓的形狀就越接近

于圓.其中正確命題的序號(hào)為.

15.給出下列命題：

①已知直線m,I,平面a,B,若m_LB,lua,a〃B,則m_U；

②;，二〉。，是:，N的夾角為銳角的充要條件；

③若f(x)在R上滿足f(x-2)=-f(x),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù);

@y=sin（2x+-）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（不，0）

33

以上命題正確的是（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

在四棱錐S-ABCD中，SBJ_底面ABCD.底面ABCD為梯形,

AB±AD,AB〃CD,AB=1,AD=3,CD=2.若點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足NSEC=90°的

點(diǎn)E的個(gè)數(shù)是.

17.己知直線m,I,平面a,B,且m_La,|c0,給出下列命題:

①若a〃B,則mil；

②若a±p,則m//h

③若m±l,則a〃B

④若m〃l,則a

其中正確的命題的序號(hào)是.

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）.

多面體OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2jJ,AC=BD=JTo,且。A,

OB,OC兩兩垂直，給出下列5個(gè)結(jié)論:

①三棱錐O-ABC的體積是定值;

②球面經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)的球的直徑是J5；

③直線OB〃平面ACD；

④直線AD與OB所成角是60°；

⑤二面角A-OC-D等于30。.

其中正確的結(jié)論是.

線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的

是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①當(dāng)0<CQV：時(shí)，S為四邊形；

②當(dāng)CQ=：時(shí)，S為等腰梯形；

③當(dāng)二VCQV1時(shí)，S為六邊形；

4

④當(dāng)CQ=g時(shí)，S與QD1的交點(diǎn)R滿足CiR=g；

43

⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為學(xué).

20.已知卜列命題：

①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；

③過平面一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面平行；

④過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直；

⑤過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行

其中正確的命題是（寫出所有正確命題的序號(hào)）

21.已知m、n是不同的直線，a,B是不重合的平面，給出下列命題：

①若a//B,mua,nuB,則m〃n.

②若m,nca,m〃B,n〃B,Pl1]a//P.

③若m_La,n_LB,m//n,則a〃B.

④m、n是兩條異面直線，若m〃a,m〃B,n//a,n〃B,則。〃日.

上面命題中，真命題的序號(hào)是（寫出所有真命的序號(hào)）.

22.給出以下三個(gè)命題：①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；②與一個(gè)平面等距離的兩點(diǎn)

的直線一定平行于這個(gè)平面；③如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩

個(gè)平面平行，其中正確的命題是.

23.已知集合A、B、C,A=｛直線｝,B=｛平面｝,C=AUB.若a《A,b￡B,cGC,給出下列四

個(gè)命題：

II

②（aXfoII?c

cA^h

③4aII〃=a_Lc

cA-h

④4aJ_b=aJ_c

其中所有正確命題的序號(hào)是

（2015秋?臨海市校級(jí)期中）如圖，四棱錐P-ABCD底面是邊長(zhǎng)為

2的正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且側(cè)面PAD_L底面ABCD,則側(cè)棱PC與底面ABCD夾

角的正弦值為

評(píng)卷入得分

三.簡(jiǎn)答題（共一小題）

41

的距離都相等；

（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面a1,a2,a3,a4,其中每相鄰兩個(gè)平面間的距

離都為1,若一個(gè)正四面體AiA2A3A4的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：AiGai（i=l,2,3,4）,求該正四面

體AiA2A3A4的體積.

26.（1）過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)A、B至打的距離相等.這樣的直線I可作幾條？

（2）過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)Q到直線I距離為d.這樣的直線I可作幾條？

（3）與點(diǎn)A、B距離同為d的直線I可作幾條？

（4）過點(diǎn)A、B分別作直線11〃卜，使11、L距離為d.這樣的直線li、I2可作幾組？

（5）過k上-A點(diǎn)作直線I被兩平行直線h、12,截得線段為AB,li、L的距離為d.這樣的

直線I可作幾條？

（I）求證：BD1PC；

（II）求二面角B-PC-A的余弦值.

28.設(shè)A、B、C及Ai、Bi、Ci分別是異面直線II、L上的三點(diǎn)，而M、N、P、Q分別是線段

AAi、BAhBBi、CCi的中點(diǎn).求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面.

A

號(hào)ABCD是矩形，四個(gè)頂點(diǎn)在平面a內(nèi)的射影分別為A',B',U,D',

直線A'B'與C'D'不重合.

(1)求證：A'B'C'D，是平行四邊形；

(2)在怎樣的條件下，A'B'UD'也是矩形？并證明你的結(jié)論.

(2015秋?河南校級(jí)月考)如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi,

對(duì)角線AiC與平面BDCi交于點(diǎn)O.AC、BD交于點(diǎn)M、E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn),

求證：(1)Ci、0、M三點(diǎn)共線

(2)E、C、Di、F四點(diǎn)共面

(3)CE、DiF、DA三線共點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)試試卷

學(xué)校：姓名:班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—■二三總分

得分

評(píng)卷人得分

一.單選題（共—小題）

1.有兩個(gè)同心圓，在外圓周上有不重合的六個(gè)點(diǎn)，在內(nèi)圓周上有不重合的三個(gè)點(diǎn)，由這九

個(gè)點(diǎn)確定的直線最少有（）

A.36條B.33條C.21條D.18條

答案：C

解析：

解：在小圓上確定三個(gè)點(diǎn)，

兩兩連接三個(gè)點(diǎn)，并延長(zhǎng)交外圓于6個(gè)點(diǎn)，

下面確定這9個(gè)點(diǎn)確定的直線條數(shù)，

從9個(gè)元素中任取兩個(gè)共有C9?=36種結(jié)果，

其中有3組四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，所以要減去3c42=18,

這樣多減去了3條線，

共有36-18+3=21,

故選C.

2.已知直線a和兩個(gè)平面a,B,給出下列四個(gè)命題：①若a〃a,則a內(nèi)的任何直線都與

a平行；②若a,a,則a內(nèi)的任何直線都與a垂直；③若a〃0,則B內(nèi)的任何直線都與

a平行；④若aJ,B,則B內(nèi)的任何直線都與a垂直.則其中（）

A.②、③為真B.①、②為真C.①、③為真D.③、④為真

答案：A

解析：

解：對(duì)于①，當(dāng)線面平行時(shí)，直線與平面內(nèi)所有直線均無公共點(diǎn)，是平行或異面的關(guān)系，故

①為假命題.

對(duì)于②，由線面垂直的定義可知，其為真命題.

對(duì)于③，有面面平行的性質(zhì)可得其為真命題；

對(duì)于④，當(dāng)面面垂直時(shí)，只有在其中一個(gè)平面內(nèi)和交線垂直的直線才垂直與另一平面，故④

為假命題.

故只有②③為真命題.

故選A.

3.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面a的距離都相等，這樣的平面a共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

答案：D

解析:

解：空間中不共面的四個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，如圖：三棱錐D-ABC,

C

①當(dāng)平面?zhèn)扔幸稽c(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，即對(duì)此三棱錐進(jìn)行換底，則三棱錐有四種表示形式,

此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是四個(gè)，

②當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，即構(gòu)成的直線是三棱錐的相對(duì)棱，因三棱錐的相對(duì)

棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是三個(gè)，

所以滿足條件的平面共有7個(gè)，

故選D.

DC

如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E、F分別為

B

PA、PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF是異面直線；②

直線BE與直線AF是異面直線；③直線EF〃平面PBC；④平面BCE_L平面PAD.其中正確結(jié)

論的序號(hào)是（）

A.①@B.②③C.①④D.②④

答案：B

解析：

解：如圖所示，

①連接EF,則；E、F分別為PA、PD的中點(diǎn),.\EF〃AD,VAD//BC,，EF〃BC,AE,F,

B,C共面，二直線BE與直線CF是共面直線，故①正確；

②平面PAD,AFu平面PAD,E建AF,BG平面PAD,直線BE與直線AF是異面直線,

故②正確；

③由①知EF〃BC,：￡卬平面PBC,BCu平面PBC,.?.直線EF〃平面PBC,故③正確;

④由于不能推出線面垂直，故平面BCEL平面PAD不成立.

二面角a-AB-B與B-BC-Y均為。(0<0<n),AB±BC,1c

a,mu丫，則下列不可能成立的是（）

A.I〃mB.I±m(xù)C.m/7ABD.a±y

答案：C

解析：

解：因?yàn)閘ua,meY，由題意a,丫相交，這兩個(gè)平面的直線有平行、相交或者異面；所

以l〃m有可能成立；有可能垂直；故A,B有可能成立；

因?yàn)锳B與丫相交于B,而mu丫，所以m〃AB不可能成立；

如果a,B作為三棱柱的側(cè)面，Y作為底面，此時(shí)a，丫成立；

所以c正確;

故選c.

正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是異面直線，AC和AiD的

公垂線，則EF和BDi的關(guān)系是()

A.相交但不垂直B.垂直C.異面D.平行

答案：D

解析：

解：建立以Di為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系Di-xyz,且設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1

所以就有Di(0,0,0),B(1,1,0),Ai(1,0,0),D(0,0,1),A(1,0,1),C(0,

1,1)

所以A]Q=(-1，0,1),4C=(-1,1,0),BDI=(-1，-1.1)

所以A[Q=；+l=0所以AiDLBDi,

獲?西＜=1-1=0所以ACLBDi,

所以BDi與AiD和AC都垂直

又YEF是AC、AiD的公垂線,

；.BDi〃EF

故選D

7.已知四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD的對(duì)邊互不平行，現(xiàn)用一平面a去截此四棱錐,

且要使截面是平行四邊形，則這樣的平面a()

A.有且只有一個(gè)B.有四個(gè)C.有無數(shù)個(gè)D.不存在

答案：C

解析：

p

側(cè)面PAB與側(cè)面PCD相交,

設(shè)兩組相交平面的交線分別為m,n,

由m,n決定的平面為B,

作a與B平行且與四條側(cè)棱相交,Di,

則由面面平行的性質(zhì)定理得:

AiBi〃m〃DiCi,AiDi〃n〃BiCi,

從而得截面必為平行四邊形.

由于平面a可以上下移動(dòng)，則這樣的平面a有無數(shù)多個(gè).

故選：C.

8.在空間中，過點(diǎn)A作平面n的垂線，垂足為B,記8=八(A).設(shè)a,8是兩個(gè)不同的平

面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P,P,Qi=fP[f..(P)],Cb=f..[fP(P)],恒有PQi=PCb,則()

A.平面a與平面B所成的(銳)二面角為45°

B.平面a與平面B垂直

C.平面a與平面B平行

D.平面a與平面B所成的(銳)二面角為60°

答案：B

解析：

解：設(shè)Pi=f.(P),則根據(jù)題意，得點(diǎn)P1是過點(diǎn)P作平面a垂線的垂足

(P)]=。(Pi),

???點(diǎn)Qi是過點(diǎn)Pi作平面B垂線的垂足

同理，若P2=f“(P),得點(diǎn)P2是過點(diǎn)P作平面B垂線的垂足

因此Cb=f“島（P）］表示點(diǎn)6是過點(diǎn)P2作平面a垂線的垂足

,對(duì)任意的點(diǎn)P,恒有PQI=PQ2，

點(diǎn)QI與Cb重合于同一點(diǎn)

由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且NP1Q1P2是二面角a-I-B的平面角

：NPIQIP2是直角，.?.平面a與平面B垂直

故選：B

9.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)

正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是

（）

A.48B.18C.24D.36

答案：D

解析：

解：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.

在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”，

分情況討論：①對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面

對(duì)”有2X12=24個(gè)；

②對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”

有12個(gè)；

所以正方體中“正交線面對(duì)”共有36個(gè).

選D.

10.已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為a,E,F分別是棱AB,BC上的點(diǎn)，且AE=BF,若

AiE與CiF所成的角最小，則有（）

1121

A.AE=BF=-aB.AE=BF=-aC.AE=BF=-aD.AE=BF=-a

4352

答案：D

解析：

解：如圖示：

八

2E

—?一?A|E*C|F

???cosVA]E，C|F>=^=;一"=^二|

另設(shè)分母中；f(x)=(x2+a2)[a2+(a-x)2],

Afz(x)=2[(2x3-ax2)-a(2x2-3ax+a2)]

=2(2x-a)(x2-ax+a),

又?.,f〃(x)=6(2x2-2ax+a2)>0,

???f'（x）是增函數(shù)，

.??只能有1個(gè)零點(diǎn)x=ga,

2

；.f（X）在*=12時(shí)，取到最小值,

2

.,.AE=BF=-a,

2

故選：D.

11.線a、b和平面a,下面推論錯(cuò)誤的是（）

a±an±a

A.=aB.=>/?!a

a

aA.baIIa

C.=a〃a或a￡aD.life

fe±atea

答案：D

解析：

解：對(duì)于A,由線面垂直的定義可以得到，正確；

對(duì)于B,由線面垂直的性質(zhì)定理可以得到，正確；

對(duì)于C由線面垂直的性質(zhì)定理及直線與平面的位置關(guān)系可得，正確；

對(duì)于D,由直線與平面平行的性質(zhì)定理及空間兩直線的位置關(guān)系得，錯(cuò)誤；

故選D.

12.已知m、n表示兩條不同直線，a表示平面.下列四個(gè)命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①若m〃a,n〃a,則m〃n②若m±a,nua,則m_Ln

③若m_La,m±n,則n〃a④若m〃a,m_Ln,則n_La

A.4B.3C.2D.1

答案：D

解析：

解：對(duì)于①，若0!〃<1,n〃a,則m與n平行、相交或者異面：故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若m_La,nua,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得mJ_n；故②正確；

對(duì)于③，若m_Ln,則n〃a或者nua內(nèi)；故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若m〃a,m±n,則nJ.a或者nua；故D錯(cuò)誤；

故選D.

評(píng)卷人得分

二.填空題（共一小題）

13.己知兩條不同直線m、I,兩個(gè)不同平面a、B,給出下列命題:

①若I垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，則I，a；

②若l〃a,貝Ijl平行于a內(nèi)的所有直線；

③若mua,luB且a〃B,則m〃l；

④若luB,l±a,則&_LB；

其中正確命題的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

答案：①④

解析：

解：①I垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，由直線與平面垂直的判定定理知l_La,故①正確；

②若l〃a,則I與a內(nèi)的直線平行或異面，故②不正確；

③mua,luB且a〃B,則m〃l或m與I異面，故⑤不正確；

④若luB,l±a,則由平面與平面垂直的判定定理知a，6,故④正確.

故答案為：①④.

14.給出下列五個(gè)命題：

o

①函數(shù)f(x)=土v+的圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)(1,1)；②函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)；

x+1

③已知a,b,m均是負(fù)數(shù)，且a〉4,則竺竺〉巴；④若直線1〃平面a,直線」直線m,

b+mb

直線mu平面B,則Ba；⑤當(dāng)橢圓的離心率e越接近于0時(shí)，這個(gè)橢圓的形狀就越接近

于圓.其中正確命題的序號(hào)為.

答案：③⑤

解析：

解：???f(X)=*=L+],.?.圖象為y=L圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位,

x+1x+1X

二對(duì)稱中心是(-1,1)

...①錯(cuò)誤

工,以1都是第一象限角，且?■〈UU,但sin?>sinYD,...不能說函數(shù)丫=4祇在第一象

303D3D

限內(nèi)是增函數(shù).

...②錯(cuò)誤

..a+maah+bm-ab-anirn(b-a)..出且/粕口.a+fna-.

.-------=----------------=-------,.,b,m均是負(fù)數(shù)，且a>b,..------->0n..

b+mbb(b+m)b(b+m)b+mh

a+m〉a

b+mb

...③正確

例如在正方體ABCD-AiBiCiDi中，AC〃平面A?,AC1BD,BD二平面BDCi,但平面止J與

平面BDCi并不垂直

二④錯(cuò)誤

e2=—=^—^=1—,當(dāng)e越接近于0時(shí)，匕就越接近1,a就越接近b,橢圓的形狀就越接

［工a-aa

近于圓，

...⑤正確

故答案為③⑤

15.給出下列命題：

①已知直線m,I,平面a,B,若m_LB,lua,a〃B,則m±l；

②;4〉o,是:，1的夾角為銳角的充要條件；

③若f(x)在R上滿足f(x-2)=-f(x),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；

@y=sin(2X+7)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(?，0)

33

以上命題正確的是(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)

答案：①③④

解析：

解：已知直線m,I,平面a,B,

若m_LB,lca,a〃B,則m_LB,，m_LI.故①正確；

②當(dāng);，i同向時(shí)，;?7〉。，但;，［的夾角為。°,故②不正確；

③若f(x)在R上滿足f(x-2)=-f(x),

則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，③正確；

@y=sin(2x+—)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(1，0),④正確.

33

故答案為：①③④.

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SBJ_底面ABCD.底面ABCD為梯形,

ABXAD,AB〃CD,AB=1,AD=3,CD=2.若點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足/SEC=90°的

點(diǎn)E的個(gè)數(shù)是.

答案：2

解析：

ABEXCE.

故問題轉(zhuǎn)化為在梯形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，求滿足BELCE的點(diǎn)E的個(gè)數(shù).

設(shè)AE=x,則DE=3-x,

VAB1AD,AB〃CD,AB=1,AD=3,CD=2,

.,.10=l+x2+4+(3-x)2,

x2-3x+2=0,

.*.x=l或2,

滿足BE±CE的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)為2,

滿足NSEC=90°的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)是2.

故答案為：2.

17.己知直線m,I,平面a,B,且m，a,luB,給出下列命題：

①若a〃B,則mil；

②若a則0!〃1；

③若mJJ,則a〃B

④若m//l,則aJ.8

其中正確的命題的序號(hào)是.

(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上).

答案：①④

解析：

解：m_La,lu8,對(duì)于①a//0,則m_LB,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到m_U,故①正確;

對(duì)于②，a±p,m與I可能相交、平行或者異面；故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，mil,a與B可能相交，故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，m〃l,由已知得到l_La,根據(jù)線面垂直的判定定理，得到aJ_B；故④正確;

故答案為：①④

多面體OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2jJ,AC=BD=JTo，且OA,

OB,0C兩兩垂直,給出下列5個(gè)結(jié)論:

①三棱錐O-ABC的體積是定值;

②球面經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)的球的直徑是屏；

③直線0B〃平面ACD；

④直線AD與0B所成角是60°；

⑤二面角A-OC-D等于30°.

其中正確的結(jié)論是.

答案：①②④

OB=y,OC=z,

對(duì)于①，三棱錐。-ABC的體積為*CX京AXOB#,故①對(duì)；

對(duì)于②，球面經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng),

即為42+32+事）2=晅,故②對(duì);

對(duì)于③，由于。B〃AE,AE和平面ACD相交，貝ljOB和平面ACD相交，故③錯(cuò).

對(duì)于④，由于OB〃AE,則/DAE即為直線AD與OB所成的角，

DE

由tan/DAE=r=則NDAE=60°，故④對(duì);

AEy

⑤因?yàn)锳O_LOC,DC10C,所以異面直線CD與OA所成的角大小為二面角A.OC?D的二面角

AF一

大小，連接0E,則角AOE為所求，tanZAOE-=R,所以NAOE=60。；⑤錯(cuò)誤；

OA"

故答案為：①②④

線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的

是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①當(dāng)0VCQV：時(shí)，S為四邊形；

②當(dāng)CQ=：時(shí)，S為等腰梯形；

③當(dāng)之VCQVl時(shí)，S為六邊形；

4

31

④當(dāng)CQW?時(shí)，S與CiDi的交點(diǎn)R滿足CiR--；

43

⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為當(dāng).

答案：①②④⑤

解析：

解：如圖當(dāng)CQ』寸，即Q為CJ中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ//AD】，AP=QD苫,

DICl

故可得截面APQDi為等腰梯形,故②正確;

由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿足0＜CQ＜；,只需在DDi上取點(diǎn)M滿足AM〃PQ,即可得

截面為四邊形APQM,故①正確;

3

當(dāng)CQ=—時(shí)，如圖，

4

延長(zhǎng)DDi至N,使DIN=L連接AN交A1D1于S,連接NQ交GDi于R,連接SR,可證AN

2

〃PQ,由△NRDIS/\QRCI,可得CiR：DiR=CiQ：DiN=l：2,故可得CiR=-,故④正確；

3

3

由上可知當(dāng)二＜CQV1時(shí)，只需點(diǎn)Q上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS,顯

4

然為五邊形，故錯(cuò)誤；

⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與J重合，取AM的中點(diǎn)F,連接AF,可證PJ〃AF,且PCi=AF,

可知截面為APJF為菱形，故其面積為:ACI?PF=￡,故正確.

22

故答案為：①②④⑤

20.已知下列命題:

①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行;

②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；

③過平面一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面平行；

④過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直；

⑤過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行

其中正確的命題是（寫出所有正確命題的序號(hào)）

答案：①②④⑤

解析：

解：根據(jù)空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,

故①正確.

過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直，故②正確.過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線和已知平

面平行，故③不正確.

過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直，故④正確.過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和

已知平面平行，故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

21.己知m、n是不同的直線，a,B是不重合的平面，給出下列命題：

①若a//B,mua,nuB,則m〃n.

②若m,nca,m〃6,n〃B,則a〃B.

③若m±a,n_LB,m〃n,則&〃6.

④m、n是兩條異面直線，若m〃a,m〃B,n〃a,n〃B,則&〃0.

上面命題中，真命題的序號(hào)是（寫出所有真命的序號(hào)）.

答案：③④

解析：

解：若a〃8,mua,nuB,則m與n平行或異面，故①錯(cuò)誤；

".'m,n不一定相交，故當(dāng)m,nca,m〃B,n〃B時(shí)，a〃8不一定成立，故②錯(cuò)誤；

由m_La,m〃n則nJ_a,又由n_LB,：.a//^,故③正確

：m、n是兩條異面直線，.?.當(dāng)m〃a,m〃B,n〃a,n〃B時(shí)，a//p,故④正確;

故答案為：③④

22.給出以下三個(gè)命題：①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；②與一個(gè)平面等距離的兩點(diǎn)

的直線一定平行于這個(gè)平面；③如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩

個(gè)平面平行，其中正確的命題是.

答案：①

解析：

解：根據(jù)線面垂直的兒何特征，可得垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即①正確；

過與一個(gè)平面等距離的兩點(diǎn)的直線可能平行于這個(gè)平面，也可能相交，故②錯(cuò)誤；

如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行或相交，故③錯(cuò)誤;

故答案為：①

23.已知集合A、B、C,A=｛直線｝,B=｛平面｝,C=AUB.若adA,b￡B,cGC,給出下列四

個(gè)命題：

a16

①《"="IC

s\b

aA-b

②，="IIc

cA-b

aII6

cA-b

aJ-b

其中所有正確命題的序號(hào)是.

答案：④

解析：

解：對(duì)于①，當(dāng)C表示平面時(shí)，根據(jù)2〃[3且（：〃1）,

不一定有a〃c成立，可能auc,故①不正確；

對(duì)于②，當(dāng)c表示直線時(shí)，a與a可能重合，當(dāng)c是平面時(shí)，可以有a在c內(nèi)，故②不正確；

對(duì)于③，當(dāng)c表示平面時(shí)，由a〃b且c_Lb不能推出a_Lc成立，故③不正確；

對(duì)于④，用與③相同的方法，可證出aj_c成立，故④正確

綜上，正確命題的序號(hào)為④

故答案為：④

（2015秋?臨海市校級(jí)期中）如圖，四棱錐P-ABCD底面是邊長(zhǎng)為

2的正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且側(cè)面PAD_L底面ABCD,則側(cè)棱PC與底面ABCD夾

角的正弦值為

答案：g

4

解析:

解：：四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且有側(cè)面PAD

_L底面ABCD,

四棱錐的高為JI，

；PC=2「,

側(cè)棱PC與底面ABCD夾角的正弦值為￡=旦

2424

故答案為：叵.

4

評(píng)卷入得分

三.簡(jiǎn)答題（共一小題）

41

(1)如圖，對(duì)于任一給定的四面體AiA2A3A4,找出依次排列的四

個(gè)相互平行的aI，a2,a3,a4,使得2,3,4),且其中每相鄰兩個(gè)平面間

的距離都相等；

(2)給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面a1,a2,a3,a4,其中每相鄰兩個(gè)平面間的距

離都為1,若一個(gè)正四面體AiA2A3A4的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：AiGai(i=l,2,3,4),求該正四面

體AiA2A3A4的體積.

答案:

ZA

解：(1)如圖所示，取A1A4的三等分點(diǎn)P2,P3,A1A3的中點(diǎn)

M,A2A4,的中點(diǎn)N,

過三點(diǎn)A2,P2,M,作平面a2,過三點(diǎn)A3,P3,N作平面a3,

因?yàn)锳2P2”NP3,A3P3〃MP2,所以平面<>2〃03,

再過點(diǎn)Ai,A4,分別作平面a1,a4,與平面a3平行，

那么四個(gè)平面ai,a2,a3,a4依次互相平行，

由線段A1A4被平行平面a”a2,a3,a4截得的線段相等知，其

中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故a［，(12,a3,a4為所求平面.

（2）：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個(gè)平行平面每相鄰兩平面之間的距離為

1,

則正四面體AiA2A3A4就是滿足題意的正四面體.

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,以AA2A3A4的中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AQ為y軸，直線OAi為

Z軸建立如圖所示的右手直角坐標(biāo)系，

則Ai（0,0,且a）,A2更a,0）,A3（-,叵a,0）,Z（0,史a,0）.

326263

令P2,P3為.A1A4的三等分點(diǎn)，N為A2A4的中點(diǎn)，有P3（0,-生a,如a）,N（；,正

99412

a,0),

所以尸3%=,—^a,--a),NAR=(—a,—a,0),A“N=(-—>—：

a,0)

4369-44444

n?p3N=09x-5國(guó)+4.=。

設(shè)平面A3P3N的法向量〃=（x,y,z）,有＜一即

3x+&=°

n*NA3=0

所以”=（1,-后，因?yàn)閍i，a2,a3,a4相鄰平面之間的距離為1,

l(——)x1+—?x(—J3)+0x(—)1

=

所以點(diǎn)A4到平面A3P3N的距離44.=1，解得aJ10'

J1+（一行）-+（一北廣

由此可得，邊長(zhǎng)為眄的正四面體AiA2A3A4滿足條件.

所以所求四面體的體積V=?Sh=!x22義旦=23=生.

3343123

解析:

解：（1）如圖所示，取A1A4的三等分點(diǎn)P2,P3,A1A3的中點(diǎn)

M,A2A4,的中點(diǎn)N,

過三點(diǎn)A2,P2,M,作平面a2,過三點(diǎn)A3,P3.N作平面a3,

因?yàn)锳2P2//NP3,A3P3〃MP2,所以平面a2〃a3,

再過點(diǎn)Ai,A4,分別作平面a1,a4,與平面a3平行，

那么四個(gè)平面ai,a2,a3,a4依次互相平行，

由線段AS,被平行平面a】，a2,a3,a4截得的線段相等知，其

中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故a】，a2,a3,a4為所求平面.

（2）：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個(gè)平行平面每相鄰兩平面之間的距離為

則正四面體AiA2A3A4就是滿足題意的正四面體.

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,以4A2A3A4的中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線A4。為y軸，直線OAi為

Z軸建立如圖所示的右手直角坐標(biāo)系，

業(yè)■a,0),A4(0,

令P2,P3為.A1A4的三等分點(diǎn)，N為A2A4的中點(diǎn)，有P3(0,-±a,好a),N(--

994

a,0),

亭),NA=弓a,亨a,0),布=4,0)

所以23'=aga，3

9x-5^Jv+4^6z=0

設(shè)平面A3P3N的法向量;=（X,y,z）,有

[n*A^=0l3x+JJy=0

所以;=（1，-回，-后）.因?yàn)閍i,a2,a3,a4相鄰平面之間的距離為1,

1（—-）x1J^）+0x（—J6）l__

所以點(diǎn)A4到平面A3P3N的距離44_=i，解得a=JG，

J1+（一日）2+（-#）2

由此可得，邊長(zhǎng)為JT6的正四面體AiA2A3A4滿足條件.

所以所求四面體的體積V=Lsh=LX@“2X叵2=^^3=乂!

3343123

26.（1）過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)A、B至心的距離相等.這樣的直線I可作幾條？

（2）過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)Q到直線I距離為d.這樣的直線I可作幾條？

（3）與點(diǎn)A、B距離同為d的直線I可作幾條？

（4）過點(diǎn)A、B分別作直線li〃b,使3L距離為d.這樣的直線kI2可作幾組？

（5）過11上-A點(diǎn)作直線I被兩平行直線h、12,截得線段為AB,h、L的距離為d.這樣的

直線I可作幾條？

答案：

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)A、B至心的距離相等，這樣的

直線I可作無數(shù)條.

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，但點(diǎn)P不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)A、B至心的距

離相等，這樣的直線I可作一條，就是直線AB.

當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上時(shí)，過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)A、B到I的距離相等，這樣的直線I可作

2條，一條和AB平行，另一條過線段AB的中點(diǎn).

（2）當(dāng)d>PQ時(shí)，過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)Q到直線I距離為d,這樣的直線I可作0條；

當(dāng)d=PQ時(shí)，過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)Q到直線I距離為d,這樣的直線I可作1條.

當(dāng)d<PQ時(shí)，過點(diǎn)P作直線I,使點(diǎn)Q到直線I距離為d,這樣的直線I可作2條，直線PQ

正好是這2條直線的角