第四章圖形的相似專題7相似三角形中常作的輔助線

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm（第1題圖）C

（第2題圖）A3.如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

CD

⊥

AB

，垂足為

D

，

AF

平分∠

CAB

交

CD

于點

E

，交

CB

于點

F

.

若

AC

＝3，

AB

＝

5，則

CE

的長為（

A

）（第3題圖）A4.如圖，在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝60°，∠

ABC

＝90°，直線

l1∥

l2∥

l3，

l1與

l2之間的距離是1，

l2與

l3之間的距離是2，且

l1，

l2，

l3分別經(jīng)過點

A

，

B

，

C

，則邊

AC

的長為

?.（第4題圖）

5.如圖，點

A

的坐標(biāo)為（0，1），點

B

是

x

軸正半軸上的一動

點，以

AB

為邊作Rt△

ABC

，使∠

BAC

＝90°，∠

ACB

＝30°.設(shè)

點

B

的橫坐標(biāo)為

x

，點

C

的縱坐標(biāo)為

y

，則

y

與

x

之間的函數(shù)關(guān)系

式為

?.（第5題圖）

6.如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

＝10，邊

AC

的垂直平

分線交

BC

于點

D

，交

AC

于點

E

.

若△

ABD

的周長為26，則

DE

的長為

?.（第6題圖）

7.如圖，已知△

ABC

的邊

AB

上有一點

D

，邊

BC

的延長線上有

一點

E

，且

AD

＝

CE

，

DE

交

AC

于點

F

.

試證明：

AB

·

DF

＝

BC

·

EF

.

證明：如答圖，作

DG

∥

BC

，交

AC

于點

G

，則△

ADG

∽△

ABC

，△

DGF

∽△

ECF

.

又∵

AD

＝

CE

，

∴

AB

·

DF

＝

BC

·

EF

.

答圖

證明：如答圖，分別過點

D

作

DP

⊥

BC

于點

P

，

DQ

⊥

AC

于點

Q

，則∠

DQC

＝∠

DPC

＝90°.∵∠

C

＝90°，∴四邊形

DPCQ

是矩形.∴∠

QDP

＝90°.又∵

DM

⊥

DN

，∴∠

MDQ

＋∠

QDN

＝∠

QDN

＋∠

NDP

＝90°.∴∠

MDQ

＝∠

NDP

.

又∵∠

DQM

＝∠

DPN

＝90°，答圖

∴

DQ

∥

BC

，

DP

∥

AC

.

又∵點

D

是

AB

的中點，

答圖

（第9題圖）

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形

OABC

的兩邊

OA

，

OC

分

別在

x

軸和

y

軸上，且

OA

＝5，

OC

＝3.若把矩形

OABC

繞著點

O

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點

A

恰好落在

BC

邊上的點

A1處，則點

C

的對應(yīng)點

C1的坐標(biāo)為

?.

（第10題圖）

11.如圖，已知△

ABC

和△

CDE

都是等邊三角形，點

B

，

C

，

E

在同一直線上，連接

BD

，交

AC

于點

F

，連接

AD

.

（1）若

AD2＝

FD

·

BD

，求證：

AD

＝

BF

.

（2）若∠

BAD

＝90°，

BE

＝6.①求△

BDE

的面積；②求

DF

的長.

12.（選做）如圖，在邊長為1的正方形

ABCD

中，已知點

E

為

AD

的中點.連接

BE

，將△

ABE

沿

BE

折疊得到△

FBE

，

BF

交

AC

于點

G

.

求

CG

的長.解：如答圖，延長

BF

，交

CD

于點

H

，連接

EH

.

∵△

FBE

由△

ABE

沿

BE

折疊得到，∴

EA

＝

EF

，∠

EFB

＝∠

EAB

＝90°.∵點

E

為

AD

的中點，正方形

ABCD

的邊長為1，

∵四邊形

ABCD

是正方形，∴∠

D

＝∠

EFB

＝∠

EFH

＝90°.答圖

∴Rt△

EDH

≌Rt△

EFH

（HL）.∴∠

DEH

＝∠

FEH

.

又∵∠

AEB

＝∠

FEB

，∴∠

DEH

＋∠

AEB

＝90°.又∵∠

ABE

＋∠

AEB

＝90°，∴∠

ABE

＝∠

DEH

.

∴△