記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如

下:條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.結(jié)論:P(n)為

真.(1)第一步驗證(或證明)了當(dāng)n=n0時結(jié)論成立,即命題P(n0)為真;(2)第二步是證明一種遞推關(guān)系,實際上是要證明一個新命題:若P(k)(k∈N+,k≥n0)

為真,則P(k+1)也為真.只要將這兩步交替使用,就有P(n0)為真,P(n0+1)為真,……,P(k)為真,P(k+1)為真,…….從而完成證明.|

數(shù)學(xué)歸納法*1.4數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1嗎?不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°時,初始值n0=3.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式的項數(shù)一定增加了

一項嗎?不一定.如用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)”時,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式左邊增加了兩項.

知識辨析利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的一些恒等式問題時,關(guān)鍵是看清等式

兩邊的項,弄清等式兩邊項的構(gòu)成規(guī)律,進而利用當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N+)時的假設(shè).證

明恒等式的一個重要技巧就是兩邊“湊”.1利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

典例用數(shù)學(xué)歸納法證明1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

(n∈N+).思路點撥

(1)驗證當(dāng)n=1時等式成立;(2)由n=k(k∈N+)時等式成立推出n=k+1時等

式也成立.證明

(1)當(dāng)n=1時,等式左邊=1-

=

,右邊=

,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,等式成立,即1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

,那么當(dāng)n=k+1時,1-

+

-

+…+

-

+

-

=

+

+…+

+

-

=

+

+…+

+

,所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由(1)(2)知,等式對一切正整數(shù)均成立.證明不等式往往比證明恒等式難度更大,方法更靈活,除了綜合法外,作差比

較法、分析法、反證法也是常用的方法,另外恰當(dāng)?shù)胤趴s是證明不等式特有的技

巧.2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

典例用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+

+

+…+

≤

+n(n∈N+).思路點撥分別確定當(dāng)n=k(k∈N+),n=k+1時不等式的左邊的值,找到它們之間的

關(guān)系,運用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明

(1)當(dāng)n=1時,1+

=

,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,不等式成立,即1+

+

+…+

≤

+k,則當(dāng)n=k+1時,1+

+

+…+

+

+

+…+

<

+k+2k·

=

+(k+1),即當(dāng)n=k+1時,不等式成立.由(1)(2)可知,不等式對任意n∈N+都成立.“歸納—猜想—證明”的解題步驟3歸納—猜想—證明解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題

典例已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a>0),an=

(n≥2,n∈N+).(1)用a表示a2,a3,a4;(2)猜想an的表達式(用a和n表示),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.思路點撥

(1)利用遞推公式求出a2,a3,a4.(2)結(jié)合(1)歸納出an的通項公式,再用數(shù)

學(xué)歸納法證明結(jié)論.解析

(1)由已知得,a2=

=

,a3=

=

=

,a4=

=

=

.(2)因為a1=a=

,a2=

,……所以猜想an=

.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時,因為a1=a=

,所以當(dāng)n=1時,猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,猜