3.1不等關系與不等式

(-)基礎知識回顧：

1.實數(shù)大小比較的基本事實：

(1)a>bO;(2)a=bo;(3)a<bO.

要確定任意兩個實數(shù)a,b的大小關系，只需確定它們的與的大小關系即可。

2.不等式的基本性質：

(1)對稱性a>b0b___a;(2)傳遞性：a>b,b>c=>ac:

(3)a>b=>a+cb+c;(4)a>b,c>0=ac___be;

(5)a>b,c<0nac___be;(6)a>b,c>d=>a+cb+d;

(7)a>b>0,c>d>0=>acbd;(8)a>b>0=an___bn(neN,n>1);

(9)a>b>0=>爪_Vb(neN,n>2)(10)a>b,ab>0—-___—.

ab

(-)例題分析：

例1.(2007上海理)設〃，匕是非零實數(shù)，若則下列不等式成立的是()

A.a2<b2B.ab2<a2bC.—<^—D.—<—

ab~erbab

例2.(2010江蘇)設實數(shù)x,y滿足3Wxy2w8,4〈三W9,則與■的最大值是

yy

例3.對任意實數(shù)x,y,比較兩個代數(shù)式/+/+1與2(x+y—l)的大小;

(三)基礎訓練：

1.(2008廣東文)設若a—附>0,則下列不等式中正確的是()

A.b-a>0B.ay+Z?3<0C.b+a>0D.a2-b2<0

2.(2006上海春招)若a、b、ceR,a>h,則下列不等式成立的是()

I|cib

(A)(B)a2>h2.(C)—(D)a\c\>h\c\.

abc2+1c2+1

3.(2003北京春招文)設4涉,。,〃￡/?.且。>反。>4,且下列結論中正確的是()

,..,一,.ab

A.a+ob+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.—>—

dc

4.(2013北京文)設a,b,c-eR,且a>b,則().

A.ac>bcB-<TC.a2>b2D.a3>b3

ab

5.(2014山東理)已知實數(shù)及y滿足優(yōu)則下列關系式恒成立的是

(A)———>———(B)ln(x2+1)>ln(y2+1)(C)sinx>siny(D)x2>y2

廠+1y-+1

6、（2014四川文、理）若。>/?〉（），c<J<0,則一定有（）

7.（2012湖南文）設a>b>\,c<0,給出下列三個結論：①上〉：；②"'</；

ab

③}ogh（a-c）>logn（h-c）,其中所有的正確結論的序號是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

8、（2015浙江文）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各

不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：，〃②）分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的

粉刷費用（單位：元/加2）分別為4，b,c,且a</?<c.在不同的方案中，最低的總費用（單位:

元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+exC.ay+bz+exD.ay+bx+cz

9.Og糖水中有ag糖S>“>0）,若再添上mg糖（加>0）,則糖水就變甜了.試根據(jù)這個事實，提煉一個

不等式:.

3.2一元二次不等式及其解法

（-）基礎知識回顧：

1.一元二次方程的。好+加:+，=0（存0）的求根公式：

根與系數(shù)的關系定理：根的判別式△=

4.一元二次不等式的解法：（a〉o且A>0時，簡記為：小在中間，大在兩邊）

設二次函數(shù)f（x）=ax?+bx+c（a>0）,判別式△=b'-4ac,則

判別式△>0△=0△<0

方程f（x）=O的解

函數(shù)y=f（x）的簡圖

ax2+bx+c>0

不等式

的解集ax2+bx+c<0

(-)例題分析：

例1.(2005全國卷II理)已知集合人仁代|/_3x-28W0},N={xjx2-x-6>0},則MCN為()

(A){x|-4Wx〈-2或3〈xW7}(B){x|-4〈xW-2或3Wx<7}

(C){x|xW-2或x>3}(D){x|x<-2或x23}

例2.（2005北京春招理）

若關于x的不等式/-ax-a>0的解集為（—8,+8）,則實數(shù)”的取值范圍是；

若關于x的不等式x2-ax-a<-3的解集不是空集，則實數(shù)?的取值范圍是。

例3.已知關于x的不等式以2+法+。<0的解集為{x|x<_2或那么關于x的不等式

ax2-bx+c>0的解集是.

（三）基礎訓練：

1.（2011廣東文）不等式2/—%—1>。的解集是（）

A.（,1）B.（1,+oo）C.（-oo,1）。（2,+oo）D.（—oo,）u（1,+8）

22

2.（2009福建理）已知全集U=R,集合A={x|f—2x>0},則C°A等于（）

A.{xI0<x<2}B.{xI0<x<2}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x40或x<2}

3.（2013全國大綱文）不等式一2|V2的解集是（）.

A.（-1,1）B.（-2,2）C.（-l,0）U（0,l）D.（-2,0）U（0,2）

4.（2012重慶理）不等式土L<0的解集為（）

5.（2013重慶文）關于x的不等式x2—20r—8“2<0（4>0）的解集為（》,必）,且刈-xi=15,則〃等于（

,5妙7〃15>15

A，2B，2C.彳D為

6.（2004全國卷H文、理）已知集合知=國成<4},N={xff—20：—3<0},則集合用。"=（）

（A）{x\x<-2}（B）{木>3}（C）{x|-l<x<2}（D）{x|2<x<3}

7.（2013廣東理）不等式/+無一2<0的解集為.

8.（2015廣東文）不等式一3x+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

9.（2012福建文）已知關于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

10.（2007山東文）當xe（L2）時，不等式<+如+4<0恒成立，則m的取值范圍是.

11.（2009湖北理）已知關于x的不等式竺匚<0的解集是（-0。,—1）U,+8）.則a=___________.

x+l2

12.（2011上海文）不等式,<1的解為o

X

(四)鞏固練習：

1.(2009山東文)在R上定義運算。：。。匕=a/?+2a+b,則滿足x。(%-2)<0的實數(shù)x的取值范圍

為().

A.(0,2)B.(-2,l)C.(-oo,-2)U(l,+°o)D.(-l,2)

2.(2005遼寧)在R上定義運算③：y=x(l-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1對任意實數(shù)x成

立，則()

八1331

A.-1<6J<IB.0<a<2C.-----<a<—D.------<a<一

2222

r?Q

3.(2015上海文)下列不等式中，與不等式二--------<2解集相同的是().

x~+2x+3

22?12+2x+31

A.(x+8)(x-+2x+3)<2B.x+8<2(x~+2x+3)C.-；------------<--------1).--------------->一

x~+2x+3x+8尤+82

尤+]

4.(2011上海理)不等式—<3的解為.

x

5.已知二次函數(shù)/(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式./Xx)>—2x的解集為(1,3)o若/(x)的最大值

為正數(shù)，求a的取值范圍.(據(jù)2005全國I文改編)

6.(2001春招北京、內蒙古、安徽文、理)某摩托車生產企業(yè)，上年度生產摩托車的投入成本為1

萬元/輛，出廠價為L2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次,

適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<l),則出廠價相應提高的比例為

0.75X,同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價-投入成本)x年銷售量。

(I)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；

(II)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

7.據(jù)氣象部門預報，在某海濱城市附近海面有一臺風，當前臺風中心位

于城市0(如圖)的東偏南750方向160km的海面P處，并以25km/h的

速度向西偏北15°方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為

80km,并以15km/h的速度不斷增大。問從現(xiàn)在起多長時間后該城市開始

受到臺風的侵襲？該城市受到臺風的侵襲的時間大約為多長？

(據(jù)2003全國、廣東高考題改編)

3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

(一)基礎知識回顧：

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線/:ax+by+c=O把直角坐標平面分成了三個部分：

(1)直線/上的點(x,y)的坐標滿足ax+by+c=O

(2)直線/一側的平面區(qū)域內的點(x,y)的坐標都滿足ax+by+c>0

(3)直線/另一-側的平面區(qū)域內的點(x,y)的坐標滿足ax+by+c<0

所以，只需在直線/的某一側的平面區(qū)域內，任取一特殊點(xo,yo)，從aox+boy+c值的正負，即

可判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域。

2.線性規(guī)劃：如果兩個變量x,y滿足一組一次不等式，求這兩個變量的一個線性函數(shù)的最大值或最小

值，稱這個線性函數(shù)為目標函數(shù),稱一次不等式組為約束條件,像這樣的問題叫作二元線性規(guī)劃問題。

其中，滿足約束條件的解(x.y)稱為可行解,由所有可行解組成的集合稱為亙丘域，使目標函數(shù)取得最

大值和最小值的可行解稱為這個問題的最優(yōu)解。

(二)典型例題：

'2x-y<0

例1.(2016北京理)若x,y滿足〈x+y43,則2x+y的最大值為()

x>0

A.OB,3C.4D.5

例2.(2011湖北理)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且alb.若滿足不等式國+W1,

則z的取值范圍為()

A.[-2,2]B.[-2,3]C.[-3,2]D.[-3,3]

'2x-y+2>0

例3.(2007安徽文)如果點P在平面區(qū)域<x+y-2<0±,點。在曲線/+(y+2-=1上，

2y-l>0

那么|尸。|的最小值為()

(A)—(B)—尸—1(C)2-\/2—1(D)V2—1

2V5

(三)基礎訓練：

1.已知點(3,1)和(-4,6)在直線3x-2y+a=0的兩側，則a的取值范圍是()

(A)a<-7或a>24(B)-7<a<24(C)a=7或a=24(D)-24<a<7

x>0

2.(2009安徽文)不等式組<x+3y24所表示的平面區(qū)域的面積等于()

3x+y<4

x+2y>2,

3.(2012山東文、理)設變量x,y滿足約束條件,2x+y44,則目標函數(shù)z=3x-y的取值范圍是()

4x-y>-1,

333

(A)[--,6](B)[---1](C)[-1,6J(D)[-6,-]

222

x-2y>0

4.（2009湖南理）已知D是由不等式組<,所確定的平面區(qū)域,

x+3y>0

則圓/+y=4在區(qū)域口內的弧長為[]

71C網3兀

A~4B—D——

242

x+y-2<0

5.（2014安徽理）乂丁滿足約束條件<工一2y一240,若z=y—以取得最大值

2.x—y+220

的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（）

A」或一1B.2或工C.2或1D.2或一1

22

x+j<2,

6.（2016山東文、理）若變量x,y滿足<2x—3yK9,則W+j2的最大值是（）

x>0,

(A)4(B)9(C)10(D)12

x+2y<2

7.（2015廣東文）若變量無，y滿足約束條件<x+yNO,則z=2x+3y的最大值為（）

x<4

A.10B.8C.5D.2

x+y-l>0

8.（2014全國新課標II文）設x,y滿足約束條件<x—y—IWO,則交2戶y的最大值為（）

x-3y+3>0

A.8B.7C.2D.1

x+2y-5>0

9.（2011浙江理）設實數(shù)工/滿足不等式組<2》+曠-7>0,若蒼卜為整數(shù)，則3x+4y的最小值是（）

x20,y?0,

（A）14（B）16（C）17（D）19

x-l>0

10.（2015全國新課標I卷理）若滿足約束條件WO，則上的最大值為.

八X

y-4<0

專題輔導簡單的線性規(guī)劃的應用問題

【典型例題】

例1.（2011四川文、理）某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車

和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送

一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名

工人，運送一次可彳導利潤350元，逑公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤為（）

（A）4650元（B）4700元（04900元（D）5000元

【基礎訓練】

1、（2012江西理）某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投

入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表W

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，師佩

那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）由怖蜥

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50ft6m

2.（2010廣東文、理）某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的

碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，

6個單位的蛋白質和10個單位的維生素C。另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳

水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素

如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費

最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？

3.（2016天津文）某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料.生產1車皮甲種

肥料和生產1車皮乙中肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：

ABC

現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸，C種原料原0噸,在此基礎上

甲483

生產甲乙兩種肥料.已知生產1車皮甲種肥料，產生的利潤為2萬元；乙5510

生產1車皮乙種肥料，產生的利潤為3萬元.分別用x,y表示生產甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).

（I）用x,y列出滿足生產條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；

（II）問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤.

簡單的線性規(guī)劃問題鞏固練習

x+y-ll>0

1.(2010北京理)設不等式組<3x-y+3>0表示的平面區(qū)域為D,

5x-3y+9<0

若指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的圖像上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是()

(A)(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,+8]

2.(2012福建理)若函數(shù)y=2x圖像上存在點(x,y)滿足

x+y-3<Q

約束條件2y-340,則實數(shù)m的最大值為()

x>m

13

AA.一B.1C.一D.2

22

x+y>0

3.(2015福建文)變量滿足約束條件<x—2y+220,若z=2x-y

mx-y<0

的最大值為2,則實數(shù)加等于()

A.-2B.-1C.1D.2

\x+y>l

4.(2009陜西理)若x,y滿足約束條件<x-yN-l,目標函數(shù)z=ox+2y

2x-y<2

僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是()

(A)(-l,2)(B)(-4,2)(C)(-4,0](D)(-2,4)

x>O

5.(2009安徽理)若不等式組]刀+3丫24所表示的平面區(qū)域被直線

3x+y<4

4

y=Ax+—分為面積相等的兩部分，則攵的值是()

3

7343

(A)-(B)-(C)-(D)-

3734

6.(2007山東文)本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣

告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、

乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公

司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

3.4基本不等式

（一）基礎知識回顧：

1.定理1.如果a,bwR,那么a?+b22ab,（當且僅當_____時，等號成立）.

2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么（當且僅當時，等號成立）.

稱_______為a,b的算術平均數(shù)，為a,b的幾何平均數(shù)?；静坏仁接址Q為.

3.基本不等式的幾何意義是：不小于.如圖

4.利用基本不等式求最大（?。┲禃r，要注意的問題：

（一"正“；二"定”；三“相等”）

即：⑴“加”：是指加、積中的每一個數(shù)都必須是正數(shù)；

（2）“定”：是指求積的最大值時,應看和是否為定值；

求和的最小值時,應看積是否為定值；

簡記為：和定積最,積定和最.

（3）“相等”：是指只有等號能夠成立時，才有最值。

（-）例題分析：

例1.（2009天津理）設a>0力>0.若百是3"與3"的等比中項，則▲的最小值為（）

ab

A.8B.4C.1D.

4

11,

例2.（2011湖南理）設且貝I（Y0+））（=+4y?）的最小值為_________

y-x2

例3.（2012浙江文）若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是（）

2428

A.—B.—C.5D.6

55

（三）基礎訓練：

1.（2011上海文、理）若且,必>0,則下列不等式中，恒成立的是（）

A.a~+b~>2abB.a+〃N2JabC.—I—>■■■>—D.—卜一22

ab\]abab

14

2.（2011重慶理）已知a>0,b>0,a+b=2,則y=一+一的最小值是（）

ab

7八9

A.—B.4C.—D.5

22

3.（2014重慶文）若log4（3a+4/?）=log2J拓，則。+b的最小值為（）

A.6+2V3B.7+2A/3C.6+4"\/3D.7+4V3

4.（2008浙江文）已知。之0,bN0,且a+b=2,貝!|（）

（A）ab<-（B）ah>-（C）a2+b2>2（D）a2+b2<3

22

5.(2013福建文)若2'+2>'=1,則x+y的取值范圍是()

A.[0,2]B.[—2,0]C.[—2,+oo)D.(—8,—2]

6.(2015福建文)若直線土+2=1(。>0/>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于()

ab

A.2B.3C.4D.5

7、(2015湖南文)若實數(shù)a,b滿足工+2=，石，則ab的最小值為()

ab

A、0B、2C、272D、4

8.(2010重慶理)己知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是()

911

A.3B.4C.—D.—

22

9.(200()全國、江西、天津、廣東)若a>6>1,P=Jig四1gb,Q=g(1ga+1gb),R=lg["；"),則()

(A)R<P<Q(B)P<Q<R(C)Q<P<R(D)P<R<Q

10.(2016上海文、理)設a>0">0.若關于的方程組I"+)'=L無解，則a+6的取值范圍

\x+by-\

是.

11.（2011浙江理）設x,y為實數(shù)，若4/+^+孫=i,則2x+y的最大值是,

12.（2010浙江文）若正實數(shù)X,Y滿足2X+Y+6=XY,則XY的最小值是。

13.（2014上海文、理）若實數(shù)x,y滿足xy=l,則/+2y2的最小值為.

Y-V

14.（2015山東文）定義運算"?"：=-----—（x,yc氏孫W0）,當x>0,y>0時,

孫

x（8）y+（2y）（8）x的最小值是.

x

15.（2010山東理）若對任意x>0,--------Wa,則實數(shù)a的取值范圍是__________.

x2+3x+i

16.（2013天津文）設〃+6=2">0,則一!一+⑷的最小值為_____.

214|h

專題輔導：基本不等式的應用

（-）例題分析：

例L用籬笆圍一個面積為100，〃2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最

短的籬笆是多少？

例2.（2011北京文）某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元。若每批生產x件，則

X

平均倉儲時間為一天，且每件產品每天的倉儲費用為1元。為使平均到每件產品的生產準備費

8

用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（）

（A）60件（B）80件（C）100件（D）120件

例3.（2001江西、陜西、天津文，全國文、理）設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2,畫面的

寬與高的比為2（/1<1）,畫面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎樣確定畫面的高與

寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最小？

（二）基礎訓練：

1.（2014福建文、理）要制作一個容積為4加3,高為1m的無蓋長方體容器，已知該溶器的底面

造價是.每平方米20元，側面造價是是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（一）

A80元B.120元C.160元D240元

3x-y-6<0

2.（2009山東理）設x,y滿足約束條件<X—y4-2>0,若目標函數(shù)z二ax+by(a>0,b>0)的

x>0,y>0

最大值為12,則2*+巳3的最小值為（

).

ah

25811

A.—B.—C.—D.4

633

3.（2012陜西文）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（a<b）,其全程的平均時速為v,則（）

f—r{—r/—ra+ba+b

A.avwVR?B.v=7abC.\Jab<v<----D.v=-----

22

2

4.（2011江蘇）在平面直角坐標系x。），中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)/（x）=—的圖象交于

x

P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是

5.用一段長為30m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m,這個菜園的最大面積是.

2x-y+2>Q

6、（2010安徽理）設滿足約束條件<8x—y—4W0,若目標函數(shù)z=a/zx+）（a>0力>0）的

%>0,y>0

最大值為8,則a+匕的最小值為。

bx-\-ay-ab<Q

7.已知直線/：三+2=1（。>0,/>0）過點/2,4）,問當2、1）為何值時,由不等式組《x>0

ab

”0

所表示的平面區(qū)域的面積最小？并求出這個最小面積。

8.（2005北京春招文、理）經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量y

（千輛/小時）與汽車的平均速度。（千米〃J、時）之間的函數(shù)關系為：y=,92。。——（°>0）.

u2+3^+1600

（1）在該時段內，當汽車的平均速度。為多少時,車流量最大?最大車流量為多少?（精確到0.1千輛/小時）

（2）若要求在該時段內車流量超過10千輛〃J、時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內？

9.（2009湖北文）圍建一個面積為360n?的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻

需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已

知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為x（單位：元）。

（I）將總費用y表示為x的函數(shù)：

（II）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小,并求出最小總費用.

歷屆高考中的不等式試題精選（自我測試）

1.(2007湖南理)不等式二工WO的解集是()

X+1

A.(-00,-1)|J(-1,2]B.[—1,2]C.(―8,—1)U[2,+8)D.(—1,2]

2.（2004北京文、理）已知a、b、c滿足,且，那么下列選項中一定成立的是（）

A.B.C.D.

3.（2011陜西文）設則下列不等式中正確的是（)

A.a<b<\[ab<B.a<4ab<"+"<b

22

r-ra+b,

C.a<y[ab<h<—D.yjab<a<------<h