人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE15.3.1函數(shù)的單調(diào)性一、教學(xué)目標(biāo)1.理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2.能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.教學(xué)難點(diǎn)證明不等式及逆向求參問題.三、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入問題1如圖（1）是某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的重心相對于水面的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象，圖（2）是跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象.，b是函數(shù)的零點(diǎn).運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？（二）探索新知觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)：（1）從起跳到最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加，即單調(diào)遞增.相應(yīng)地，.（2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)功員的重心處于下降狀態(tài)，畫水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減小，即單調(diào)遞減.相應(yīng)地，.思考：從以上觀察中發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？在問題1中，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象是“上升”的，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象是“下降”的，函數(shù)在上單調(diào)遞減.問題2觀察下面函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.如下圖，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率.可以發(fā)現(xiàn)：在處，，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)的圖象也是上升的，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)的圖象也是下降的，函數(shù)在附近單調(diào)遞減.結(jié)論：一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在某個(gè)區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.例1利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：（1）；（2）；（3）.解：（1）因?yàn)?，所?所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，如圖（1）所示.（2）因?yàn)?，所?所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，如圖（2）所示.（3）因?yàn)椋?所以，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，如圖（3）所示.下面用導(dǎo)數(shù)來研究形如的函數(shù)的單調(diào)性.例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)的定義域?yàn)镽.對求導(dǎo)數(shù)，得.令，解得或.和把函數(shù)定義域劃分成三個(gè)區(qū)間，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如表所示.200單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示.判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟：第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；第3步，用的零點(diǎn)將的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.下面來研究對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在區(qū)間上增長快慢的情況.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)越來越大時(shí)，越來越小，所以函數(shù)遞增得越來越慢，圖象上升得越來越“平緩”，如圖（1）.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)越來越大時(shí)，越來越大，函數(shù)遞增得越來越快，圖象上升得越來越“陡峭”，如圖（2）.一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.例3設(shè)，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.判斷，的圖象與，之間的對應(yīng)關(guān)系.解：因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，在上都是增函數(shù).在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“陡峭”；在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“平緩”.所以，，的圖象依次是圖中的，.（三）課堂練習(xí)1.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗B中，在上恒成立，在上為增函數(shù).對于選項(xiàng)A，C，D，都存在，使的情況.故選B.2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可得，令，即，解得或，又因?yàn)?，所?故選C.3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，得.當(dāng)時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.4.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所?由可得，所以或，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.5.已知，函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.〖解〗（1）因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率.而直線的斜率為，則，得.（2）由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，即在上恒成立.又時(shí)，，所以，所以的取值范圍是.小