《7.5正態(tài)分布》教案

課標要求素養(yǎng)要求

1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機

變量；通過具體實例，借助頻率分布直方圖通過了解正態(tài)分布的特征，提

的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.

【課前預習】

新知探究

A情境引入

高斯是一個偉大的數(shù)學家，一生中的重要貢獻不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上

印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達了一個信息：在高斯的科學貢獻

中，對人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”.

問題正態(tài)分布有哪些應用？

提示正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生

產(chǎn)和生活實踐之中，在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分

布.

??知識梳理

1.正態(tài)曲線

正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改

變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線

1(*-“)2

-Trre

函數(shù)f(x)=°----------,XWR,其中uGR,。>0為參數(shù).

顯然對于任意xdR,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之

間的區(qū)域的面積為L我們稱f(的為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密

度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為

X?N(u,。2),特別地，當u=o,。=1時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分

布.

2.由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點

(1)曲線是單峰的，它關于直線x=囚對稱;

1

(2)曲線在x=u處達到峰值

0A/2JT'

⑶當|x|無限增大時，曲線無限接近X軸.

3.正態(tài)分布的期望與方差

若X?N(u,o2),則E(X)=土，D(X)=_ol-

4.正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

(l)P(u-oWXWu+。)勺0.6827；

(2)P(u—2。WXWu+2。)、0.9545；

(3)P(n-3oWXWu+3。)心0.9973.

在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(u,。2)的隨機變量乂只?。劭谝?/p>

3o,u+3。］中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3。原則.

拓展深化

［微判斷］

/(丈)=

1.函數(shù)(xCR)中參數(shù)u，。的意義分別是樣本的均值

與方差.(X)

提示函數(shù)中。的意義為標準差.

2.正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)U,o的變化而變化

的.(X)

提示正態(tài)曲線與x軸圍成的面積為定值1.

3.正態(tài)曲線可以關于y軸對稱.(J)

［微訓練］

1.若X?N(l,力，Y=6X,則E(Y)等于()

3

A-

B.2

C.6D.36

解析由X?N。，J,知E(X)=1,又Y=6X,故E(Y)=6E(X)=6.

答案C

2.設隨機變量X?N(u,。)且P(XWc)=P(X>c),則c等于()

A.0B.o

C.—uD.u

解析由P(XWc)=P(X>c),知x=c為對稱軸，又由

X?N(u,。知對稱軸為x=口，故c=u.

答案D

［微思考］

2

I(X—u)

函數(shù)f(x)=-7=6―一―，X6R的圖象如圖所示.試確定函數(shù)f(x)的解析

042n2/

式.

1_

提示由圖可知，該曲線關于直線x=72對稱，最大值為,由函數(shù)表達

10^2^

式可知，函數(shù)圖象的對稱軸為x=u,

o=10.

2

j(x-72)

Af(x)=ioV27e-^r(xGR)-

【課堂互動】

題型一正態(tài)曲線的圖象的應用

【例1】如圖所示是一個正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫出正態(tài)分布密度

函數(shù)的解析式，求出隨機變量總體的均值和方差.

解從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關于直線x=2。對稱，最大值是東,

11

所以u=20.由，解得。=72.于是該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析

o口

-(x-20)

式是f(x),XG(-8+8),隨機變量總體的均值是u=

20,方差是o2=(/尸=2.

規(guī)律方法利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應抓住圖象的兩個實質(zhì)性

特點：一是對稱軸為x=u,二是最大值為---.這兩點確定以后，相應參數(shù)

Oq2n

口，。便確定了，代入f(x)中便可求出相應的解析式.

【訓練1】若一個正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為

求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式.

4^/2n

解由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，

所以正態(tài)曲線關于y軸對稱，即11=0,而正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的最大值

是一/==,所以----=―/=，

4^/2"42n?04弋2n

解得o=4.

,,12.

故函數(shù)的解析式為巾。(x)=7~f=exG(—8,H-oo).

4y]2JT

題型二利用正態(tài)分布的對稱性求概率

【例2】設X?N(l,2%試求：

⑴P(-1WXW3)；

(2)P(3WXW5).

解VX-N(1,22),u=1,。=2,

Q)P(—lWXW3)=P(l—2WXWl+2)

=P(u-o<XWu+o)^0.6827.

(2)：P(3WXW5)=P(—3<XW—1),

.,.P(3<XW5)=#P(-3WXW5)-P(-1WXW3)]

=/P(1—4WXWl+4)—P(l-2WXWl+2)]

=g[P(U-2ou+2o)—P(ii—oWXWP+o)]

(0,9545-0.6827)=0.1359.

【遷移1】(變換所求)例2條件不變，求P(X25).

解P(X25)=P(XW-3)=jl—P(-3VXW5)]

=|[l-P(l-4<X^l+4)]

=1[1-P(u-2oVX<u+2。)]

(1-0.9545)=0.02275.

【遷移2】(變換條件)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,。之)，且P(XV4)

=0.8,則P(0VXV2)=()

A.0.6B.0.4

C.0.3D.0.2

解析；隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,。2),

u=2,對稱軸是x=2.

VP(X<4)=0.8,.?.P(X24)=P(X<0)=0.2,

.,.P(0<X<4)=0.6.

/.P(0<X<2)=0.3.故選C.

答案C

規(guī)律方法利用正態(tài)分布求概率的兩個方法

⑴對稱法：由于正態(tài)曲線是關于直線x=u對稱的，且概率的和為1,故關于

直線x=口對稱的區(qū)間概率相等.如：

①P(XVa)=l—P(X2a)；

②P(X<u-a)=P(X>u+a).

⑵"3。"法：利用X落在區(qū)間[11—o,口+。],[11—2。，u+2o],[口

-3o,口+3。]內(nèi)的概率分別是0.6827,0.9545,0.9973求解.

【訓練2】設X?N(l,1),試求：

⑴P(0〈XW2)；

(2)P(2〈XW3)；

(3)P(X>3).

解VX-N(1,1),u=1,o=1.

(l)P(0〈XW2)=P(1—kXWl+1)

=P(U-o<X<u+o)=^0.6827.

(2)VP(2<X<3)=P(-l<X<0),

，P(2<XW3)=1[P(-KX^3)一P(0CXW2)]

=|[P(l-2<X^l+2)-P(l-KX^l+l)]

=1[P(U-2o<XWU+2o)—P(u—o<X<u+o)]

1,、

^-X(0.9545-0.6827)=0.1359.

⑶,.?P(X23)=P(XW—D,

.?.P(X23)=|［l-P(l-2<X<l+2)］

=1［1—P(ii—2o<XWu+2o)］

^-X(1-0.9545)=0.02275.

題型三正態(tài)分布的實際應用

【例3】某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4,

0.52),質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑

為5.7cm,試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？

解由于外直徑X?N(4,0.52),

則X在［4—3X0.5,4+3X0.5］之內(nèi)取值的概率為0.9973,在［2.5,5.5］之

外取值的概率為0.0027,

而5.7機2.5,5.5］,這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事

件，據(jù)此可以認為這批零件是不合格的.

規(guī)律方法解題時，應當注意零件尺寸應落在［口一3。，口+3。］之內(nèi)，否則

可以認為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可

能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認為這批產(chǎn)品不合格.

【訓練3】在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,5?),現(xiàn)

在已知該班同學中成績在80?85分的有17人，該班成績在90分以上的同學有

多少人？

解???成績服從正態(tài)分布N(80,52),

u=80,o=5,則u—o=75,u+o=85.

成績在［75,85］內(nèi)的同學占全班同學的6占27%,成績在［80,85］內(nèi)的同學占

全班同學的34.135%.

設該班有x名同學，則x?34.135%=17,解得x^50.

VU—2o=80—10=70,u+2o=80+10=90,

???成績在［70,90］內(nèi)的同學占全班同學的95.45%,成績在90分以上的同學占

全班同學的2.275%.

即有50X2.275%心1（人），即成績在90分以上的僅有1人.

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.在正態(tài)分布N（u,。9中，參數(shù)口是反映隨機變量取值的平均水平的特征

數(shù)，即總體隨機變量的均值，它可以用樣本的均值去估計，其取值是任意的實

數(shù).參數(shù)。是反映隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，即總體隨機變量的標準

差，它可以用樣本的標準差去估計，其取值范圍是正數(shù)，即。>0.

3.正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：

（1）熟記P（u—。WXW口+。），P（u—2。WXWU+2。），P（u-

3。WXWu+3。）的值.

⑵充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.

二、素養(yǎng)訓練

1.正態(tài)分布N（0,1）在區(qū)間（—2,—1）和（1,2）上取值的概率分別為P”P2,

則二者的大小關系為（）

A.P,=P2B.P,<P2

C.P,>P2D.不確定

解析根據(jù)正態(tài)曲線的特點，圖象關于x=0對稱，可得在區(qū)間（一2,—1）和

（1,2）上取值的概率P,P2相等.

答案A

2.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,從中隨機取

一件，其長度誤差落在區(qū)間［3,6］內(nèi)的概率為（）

（附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（u,。之），則P（u—。WXWU+

。）勺68.27%,P（u—2。WXWM+2o）弋95.45%）

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

解析P（3W€W6）=J［P（-6WgW6）—P（—3WgW3）］￡x（95.45%-

68.27%)=13.59%.故選B.

答案B

3.設隨機變量&服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+l)=P(X〈c-l),則c等

于.

解析VX-N(2,9),

又P(X>c+l)=P(X<c—l),

c+1+c—1.

2=29??c-2.

答案2

4.在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(l,o2)(o>0).若X在(0,1)

內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為.

解析如圖，易得P(0<X〈l)=P(l<X<2),故P(0<X<2)=2P((KX〈l)=2X0.4=

0.8.

答案0.8

5.在某省組織的一次數(shù)學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態(tài)分布

N(60,100),已知成績在90分以上的學生有135人.

(1)求此次參加競賽的學生總數(shù)共有多少人？

(2)若計劃獎勵競賽成績排在前2275名的學生，問受獎學生的分數(shù)線是多少？

解(D設學生的成績?yōu)閄分，共有n人參加競賽，

因為X?N(60,100),所以U=60,o=10,

P(X>90)=|[l-P(30<X<90)]^1x(1-0.9973)=0.00135.

135135

又P(X>90)=—，所以——=0.00135,

nn

所以n=100000.故共有100000人參加競賽.

⑵設受獎學生的分數(shù)線為X。，

2275

貝ijP(X^Xo)=]00000=0.02275.

因為0.02275<0.5,所以x°〉60.

所以P(120-Xo<X<xo)=1-2P(Xx0)=95.45%,

所以xo=6O+2O=8O.

故受獎學生的分數(shù)線是80分.

【課后作業(yè)】

基礎達標

一、選擇題

1.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(l,。②)，若P(X>2)=0.15,則P(OWXWl)

=()

A.0.85B.0.70

C.0.35D.0.15

解析P(OWXWl)=P(1WXW2)=0.5-P(X>2)=0.35.

答案C

2.某廠生產(chǎn)的零件外徑X?N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中

各取一件，測得其外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認為()

A.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常

B.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常

C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常

D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常

解析因測量值X為隨機變量，又X?N(10,0.04),所以n=10,0=0.2,

記1=[口-3。,u+3o]=[9.4,10.6],則9.9GI,9.3qI.故選A.

答案A

3.設隨機變量X?N(l,52),且P(XW0)=P(X>a—2),則實數(shù)a的值為()

A.3B.4

C.5D.6

解析因為隨機變量X?N(l,52),且P(XW0)=P(X>a—2),所以由正態(tài)分布

密度曲線的對稱性（對稱軸是x=l）可知，a—2=2X1,解得a=4.

答案B

4.在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正

態(tài)分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（

附：若X?N(u,N),

貝UP(N一。WXW口+。)=0.6827,

P(u-2oWXW口+2。)^0.9545.

A.2386B.2718

C.3414D.4772

解析由P（—1WXW1）-O.6827,得P（0〈XWl）^0.34135,則陰影部分的面

積為0.34135,故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10000X0.34135^3414.

答案C

5.設X?N（l,小），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P（X23）=0.02275,

那么向正方形0ABC中隨機投擲20000個點，則落入陰影部分點的個數(shù)的估計

值為（）

附：(隨機變量X服從正態(tài)分布N(u,o'),則P(u—。WXWu+o)^0.682

7,P(u—2。WXWu+2o)%0.9545).

A.1207613173

C.14056D.7539

解析由題意得，P(XW—1)=P(X23)心0.02275,

/.P(-KX<3)^l-0.02275X2=0.9545,

VP(H-2o<X<u+2o)^0.9545,

.\l-2o=-l,故。=1,.,.P(O<X<1)=1p(0<X<2)^0.34135,

乙

故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為20000X(1-0.34135)=13173.

答案B

二、填空題

6.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,o?),則P(X<2)=.

解析由題意知曲線關于x=2對稱，因此P(X<2)=B.

答案|

7.設隨機變量X?N(3,1),若P(X>4)=p,則P(2<X<4)=.

解析由X?N(3,1),得u=3,所以P(3〈X<4)=；—p,

即P(2<X<4)=2P(3<X<4)=l-2p.

答案—2p

8.某市有48000名學生，一次考試后數(shù)學成績服從正態(tài)分布，平均分為80,

標準差為10,從理論上講，在80分到90分之間有人.

解析設X表示該市學生的數(shù)學成績，則X?N(80,109,則P(80—10〈XW80

+10)p0.6827.所以在80分到90分之間的人數(shù)為48OOOxjxO.6827?=16

385(人).

答案16385

三、解答題

9.設X?N(3,42),試求：

(1)P(—1WXW7)；(2)P(7WXW11)；(3)P(X>11).

解VX-N(3,42),，u=3,。=4.

(l)P(-lWXW7)=P(3—4WX<3+4)=P(u—。WXW口+。)心0.6827.

(2)VP(7^X^11)=P(—5WXW—1),

.,.P(7WXW11)=][P(—5WXW1D—P(TWXW7)]

=2[P(3-8WXW3+8)—P(3—4WXW3+4)]

=1[P(u-2oWXWu+2o)—P(u—oWXWu+o)]

1,、

^-X(0.9545-0.6827)=0.1359.

(3)VP(X>ll)=P(X<-5),

.,.P(X>ll)=|[l-P(-5<X<ll)]=|[l-P(3-8^X<3+8)]

乙乙

=|[l-p(u-2ou+20)]^1x(1-0.9545)=0.02275.

10.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態(tài)

分布N(5,1)；第二條路線較長不擁擠，X服從N(6,0.16).若有一天他出發(fā)

時離點名時間還有7分鐘，問他應選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分

鐘，問他應選哪一條路線？

解還有7分鐘時：

若選第一條路線，即X?N(5,1),能及時到達的概率

Pi=P(X<7)=P(XW5)+P(5〈XW7)=^+|P(n-2。<XWu+2。).

若選第二條路線，即X?N(6,0.16),能及時到達的概率

P2=P(X^7)=P(XW6)+P(6(XW7)

+g(u-2.5o〈XWu+2.5。).

因為PKP?,所以應選第二條路線.

同理，還有6.5分鐘時，應選第一條路線.

能力提升

1

11.(多空題)已知某正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f(x)=ex￡(―

V2V

8,+8),則函數(shù)f(x)的極值點為，X落在區(qū)間(2,3]內(nèi)的概率為

解析由正態(tài)分布的概率密度函數(shù)知u=l,。=1,所以總體分布密度曲線關

于直線X=1對稱，且在X=1處取得最大值.根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的特點可

知x=l為f(x)的極大值點.由X?N(l,1)知P(2<XW3)=；[P(-1<XW3)一

P(0<X^2)]=1[P(l-2XKX^l+2Xl)-P(l-KX^l+l)]^jx(0.9545-

0.6827)=0.1359.

答案x=l0.1359

12.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點值作代表)；

⑵由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(u,。2),其

中U近似為樣本平均數(shù)x,。2近似為樣本方差st

①利用該正態(tài)分布，求P(187.8WZW212.2)；

②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標

值位于區(qū)間[187.8,212.2]的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X).

附：黃花心12.2.

若Z?N(u,。9，則P(u—。WZW口+。)40.6827,P(u—2oWZWu+

2。)-0.9545.

解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差一分別為

x=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+

230X0.02=200,

s2=(-30)2X0.02+(—20)2X0.09+(-10)2X0.22+0X0.33+102X0.24+

202X0.08+302X0.02=150.

(2)①由(1)知，Z?N(200,150),從而P[187.8WZW212.2]=P(200—

12.2WZW200+12.2)Q0.6827.

②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間[187.8,212.2]的概率為0.682

7,依題意知X?B(100,0.6827),所以E(X)=100X0.6827=68.27.

創(chuàng)新猜想

13.(多選題)設X?N(u”。：),Y-N(U2,。；)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如

圖所示.下列結(jié)論中正確的是()

A.P(Y2U2)2P(Y2L)

B.P(XWo2)>P(XW。J

C.對任意正數(shù)t,P(XWt)>P(YWt)

D.對任意正數(shù)t,P(XNt)>P(Y2t)

解析由題圖可知UW0<o,<o2,

.?.P(Y2uD〈P(Y2山)，故A錯；

P(XWoz)>P(X<。)，故B正確；

當t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(XWt)〉P(YWt),

而P(XWt)=l—P(X2t),P(YWt)=l—P(Y2t),

.,.P(X2t)〈P(Y2t),故C正確，D錯.

答案BC

14.(多選題)某次我市高三教學質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績近似服

從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是()

A.甲科總體的標準差最小

B.丙科總體的平均數(shù)最小

C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中

D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同

解析由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性

質(zhì)，可知。越大，正態(tài)曲線越扁平；。越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體

的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選AD.

答案AD

《7.5正態(tài)分布》分層同步練習

【基礎達標練】

1.關于正態(tài)分布N(u,。)下列說法正確的是()

A.隨機變量落在區(qū)間長度為3。的區(qū)間之外是一個小概率事件

B.隨機變量落在區(qū)間長度為6。的區(qū)間之外是一個小概率事件

C.隨機變量落在［-3。，3。］之外是一個小概率事件

D.隨機變量落在［口-3。，"+3。］之外是一個小概率事件

答案|D

2.已知隨機變量€服從正態(tài)分布N(l,若P(3<4)=0.9,則P(-

2<€<1)=()

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.6

阿畫由題意可知正態(tài)曲線關于x=l對稱,P(g>4)=1-P(g<4)=0.1,

根據(jù)對稱性可知,P(g<-2)=P(C>4)=0.1,

故P(-2<&<1)=0.5-P(€<-2)=0.5-0.1=0.4.

ggc

3.已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-8,-2)內(nèi)取值的概率為()

A.0.9545

B.0.0455

C.0.9773

D.0.02275

畫由題知對應的正態(tài)曲線的對稱軸為x=0,

所以P(X<-2)=0.5-P(-2WXW2)Q0.5[XO.9545=0.02275.

H]D

4.若隨機變量X~N(1,2%則D6X)等于()

A.4B.2

1

C.-D.1

2

函因為X~N(1,22),所以D(X)=4,

所以D?X)=9(X)=L

ggD

5.若隨機變量X~N(1,2%則Y=3X-1服從的總體分布可記為.

畫???X~N(1,22),

u=l,o=2,，E(X)=1,D(X)=4.

又Y=3XT,，E(Y)=3E(X)T=2,

D(Y)=9D(X)=62.

，Y~N(2,6?).

客南忙N(2,62)

6.某班有50名學生，一次考試的數(shù)學成績€服從正態(tài)分布N(100,。)已知

P(90W€^100)=0.3,估計該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為.

質(zhì)由題意知,P(&*io)-2P(9尸。)-o.2,故估計該班學生數(shù)學成績在110

分以上的人數(shù)為0.2X50=10.

^110

7.已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.

(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式；

(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比.

解設此地農(nóng)民工年均收入X~N(u,。％

結(jié)合題圖可知,U=8000,o=500.

(1)此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式為

[(X-8000)2

f(x)=----=ezxsoo2x￡R.

500V2n

(2)VP(7500WXW8500)

=P(8000-500^X^8000+500)^0.6827,

，P(8000<X<85OO)=|P(7500WXW8500)^0.34135=34.135%.

故此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.135%.

8.設X~N(4,1),證明P(2<X<6)=2P(2<X^4).

布麗|因為U=4,所以正態(tài)曲線關于直線x=4對稱,所以P(2〈xW4)=P(4<X<6).

又因為P(2<X<6)=P(2<XW4)+P(4<X<6),

所以P(2<X<6)=2P(2〈XW4).

【能力提升練】

1.若隨機變量X的正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=^e等,X在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取

值的概率分別為Pi,時則Pi,S的關系為()

A.pi>p2B.p,<p2

C.p)=p2D.不確定

畫由題意知u=0,。=1,所以正態(tài)曲線關于直線x=0對稱，所以p尸pz.

2.設隨機變量€服從正態(tài)分布N(0,1),若P(&>l)=p,貝iJP(T<&<0)=()

A*+P

B.1-p

C.l-2p

D.1-p

畫由已知得P(-l<€<O)=|P(-1<€<1)

=|[l-2P(€