第4章不定積分4-1不定積分的概念與性質

4-2直接積分法

4-3換元積分法4-4分部積分法

第4章

不定積分

4-1不定積分的概念與性質

一、原函數(shù)和不定積分的概念二、不定積分的性質三、不定積分的幾何意義4-1不定積分的概念與性質

1.原函數(shù)

定義4.1

設是定義在區(qū)間內的已知函數(shù)．如果存在函數(shù)，使對于任意的，都有或，則稱是在上的一個原函數(shù)．一、原函數(shù)和不定積分的概念4-1不定積分的概念與性質

不難看出，，(為任意常數(shù))都是的原函數(shù)．

例如

設函數(shù)，．由于函數(shù)滿足，所以是的一個原函數(shù)．

由此例可以看出：如果函數(shù)有一個原函數(shù)，則就有無窮多個原函數(shù)，而這些原函數(shù)之間僅差一個常數(shù)．4-1不定積分的概念與性質

一般，如果是的一個原函數(shù)，則的全部原函數(shù)就是(為任意常數(shù))．

那么一個函數(shù)滿足什么條件,它的原函數(shù)一定存在呢?

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),則在該區(qū)間上f(x)的原函數(shù)一定存在.4-1不定積分的概念與性質

2.不定積分的定義

定義4.2

函數(shù)的全部原函數(shù)，稱為的不定積分，記作

．其中“”稱為積分號,稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式．

如果是的一個原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）．其中稱為積分常數(shù)．4-1不定積分的概念與性質

4-1不定積分的概念與性質

解當時，，所以當時，，所以．．所以．4-1不定積分的概念與性質

二、不定積分的性質性質1不定積分與求導數(shù)或微分互為逆運算．(2)或．(1)或．性質2被積表達式中的非零常數(shù)因子，可以移到積分號前．(，常數(shù)).4-1不定積分的概念與性質

性質3

兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于兩個函數(shù)積分的代數(shù)和．．一般地，．4-1不定積分的概念與性質

三、不定積分的幾何意義

如果是的一個原函數(shù)，則的不定積分．對于每一給定的常數(shù)，表示坐標平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為的一條積分曲線．由于可以取任意值，因此不定積分表示的一族積分曲線．

4-1不定積分的概念與性質

三、不定積分的幾何意義4-1不定積分的概念與性質

4-2直接積分法

根據(jù)不定積分的定義，由導數(shù)的基本公式可得到積分的基本公式如下：4-2直接積分法

這13個公式必須熟記，它們是求積分的基礎.下面舉例說明利用基本積分公式和積分的性質求不定積分的方法，即直接積分法.4-2不定積分的直接積分法

在進行不定積分的計算時，兩個不定積分應該各含一個積分常數(shù)，但由于任意常數(shù)的和仍為任意常數(shù)，所以在整個不定積分的運算結果中只需寫一個任意常數(shù)即可．4-2不定積分的直接積分法

4-2不定積分的直接積分法

4-2不定積分的直接積分法

4-2不定積分的直接積分法

4-2不定積分的直接積分法

4-3換元積分法

一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法4-3換元積分法

一、第一類換元積分法先看一個例子，求分析這個積分用直接積分法是不易求出的，但可以“湊”成基本積分公式的形式，比較

ex的指數(shù)相差一個常因子,因此,湊上一個常數(shù)2上述積分就可以成為4-3換元積分法

再變量代換，設2x=u，那么上述積分就為然后再回代原來的變量x，得

第一類換元積分法就是將所求積分在形式上“湊”成基本積分公式的積分，因此這種積分也叫做“湊”微分法.具體理論方法如下4-3換元積分法

定理4.1（第一類換元積分法）4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

熟練之后，可以省去中間的換元過程．

以上例題解題方法都是第一類換元法，從中可以看到，其解題精髓是找到u=φ(x),將所求積分的被積函數(shù)g(x)轉化為f(φ(x))和φ′(x)的積，然后湊成基本積分公式的形式，當熟練后，對不復雜的題目就不必設中間變量u，把u記在心里.

為了能夠熟練地掌握第一類換元積分法的技巧,下面的微分式子要熟記.4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

進行不定積分的運算時，有時被積函數(shù)需要先做適當變形，然后再運用第一換元積分法進行求解．

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

二、第二類換元積分法

如果不定積分不易直接應用基本積分表計算，也可以引入新變量，并選擇代換，其中可導，且連續(xù)，將不定積分化為前面的第一類換元積分法是把所求積分先湊成基本積分公式的形式,然后作代換u=φ(x).但有些積分并不能很容易地湊出微分.4-3換元積分法

如果容易求得，而的反函數(shù)存在且可導，則，，

再將代入上面的，回到原積分變量，有

這類求不定積分的方法，稱為第二類換元法．4-3換元積分法

定理4.2（第二類換元積分法）

4-3換元積分法

1．無理代換

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

2．三角代換

4-3換元積分法

例18

求．

解設，則，．所以4-3換元積分法

．由，所以．于是因此，所求不定積分．4-3換元積分法

．

例19

求．

解設，則，．所以為了返回原積分變量，可由作出輔助三角形．4-3換元積分法

所以，其中.，4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-3換元積分法

4-4分部積分法

雖然換元積分法能解決許多積分的計算，但對于被積函數(shù)是兩個函數(shù)的積的形式，形如等積分就難于求出，為了解決這類問題，本節(jié)將介紹另一種求積分的主要方法——分部積分法.4-4分部積分法

設，具有連續(xù)導數(shù)．根據(jù)乘積的微分公式即．，

對上式兩邊積分，可得．4-4分部積分法

4-4分部積分法

4-4分部積分法

解

4-4分部積分法

解

4-4分部積分法

4-4分部積分法

解

4-4分部積分法

解

4-4分部積分法

解