PAGEPAGE7考點(diǎn)過(guò)關(guān)檢測(cè)6基本初等函數(shù)(1)一、單項(xiàng)選擇題1．[2024·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列推斷正確的是()A．c<b<aB．b<a<cC．a(chǎn)<c<bD．a(chǎn)<b<c2．[2024·湖北襄陽(yáng)四中月考]若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(64,2)，則f(x)＜f(x2)的解集為()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0,1)∪(1，＋∞)3．[2024·重慶一中月考]已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈－∞，0]，,2fx－1，x∈0，＋∞))，則f(log23)＝()A.eq\f(9,16)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,2)D．34．[2024·山東日照模擬]指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，在R上是減函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝(a－2)x3在R上的單調(diào)性為()A．單調(diào)遞增B．在(0，＋∞)上遞減，在(－∞，0)上遞增C．單調(diào)遞減D．在(0，＋∞)上遞增，在(－∞，0)上遞減5．[2024·福建龍巖模擬]牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：t＝－eq\f(1,k)lneq\f(θ－θ0,θ1－θ0)(t為時(shí)間，單位分鐘，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開(kāi)水溫度θ1＝100℃，環(huán)境溫度θ0＝20℃，常數(shù)k＝0.2，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為40℃？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)()A．9B．8C．7D．66．[2024·衡水中學(xué)模擬]已知logaeq\f(1,4)<1，14a<1，a14<1，則實(shí)數(shù)aA．(0，eq\f(1,4))B．(0,1)C．(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))7．[2024·皖南八校聯(lián)考]函數(shù)f(x)＝eq\f(x·2x－1＋x,2x＋1)，a＝f(lg3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))，c＝f213，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>cB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a8．[2024·河北石家莊一中月考]已知函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－5，－4]B．(－∞，－4]C．(－5，－4]D．[－4，＋∞)二、多項(xiàng)選擇題9．[2024·湖南十校聯(lián)考]給出8個(gè)函數(shù)：①y＝2x，②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，③y＝log2x，④y＝log0.5x，⑤y＝x2，⑥y＝x12，⑦y＝sinx，⑧y＝tanx．下列說(shuō)法正確的是()A．定義域是R的函數(shù)共有6個(gè)B．偶函數(shù)只有1個(gè)C．圖象都不經(jīng)過(guò)第三象限的函數(shù)共有6個(gè)D．滿(mǎn)意f(x＋2π)＝f(x)的函數(shù)只有2個(gè)10．[2024·河北正定中學(xué)月考]以下說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)eq\r(－\f(1,a))＝eq\r(－a)B．log427·log258·log95＝eq\f(8,9)C．若y＝(m2－3m－3)xeq\r(m)是冪函數(shù)，則m的值為4D．若函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則對(duì)于隨意的x1、x2∈[0，＋∞)有eq\f(fx1＋fx2,2)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))11．[2024·山東安丘月考]已知正實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)意2x＝3y，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)B.eq\f(x,y)>1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－y－1>2D．x3<y312．[2024·湖北武漢光谷二中月考]已知正數(shù)x、y、z滿(mǎn)意3x＝4y＝6z，則下列說(shuō)法中正確的是()A．x＋y>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\r(2)))zB．xy>2z2C.eq\f(1,x)＋eq\f(1,2y)＝eq\f(1,z)D．3x>4y>6z三、填空題13．[2024·福建龍巖模擬]計(jì)算求值：1412－(π－3)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))－23＋lg5＋lg2＋eln2＋eq\14．[2024·新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·2x－2－x))是偶函數(shù)，則a＝________.15．[2024·山東嘉祥一中月考]函數(shù)f(x)＝log2eq\f(x,4)·log4(4x2)的最小值為_(kāi)_______．16．[2024·浙江寧波月考]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x＋4，x≤1log\f(1,2)x，x>1))，則f(f(2))＝______，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．四、解答題17．[2024·北京四中月考]已知函數(shù)f(x)＝a2x－ax＋2a(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)g(x)＝eq\f(fx,2x)，若g(x)≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為6＋loga2.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)對(duì)于隨意的x∈[2，＋∞)，不等式kf(x)－1≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．考點(diǎn)過(guò)關(guān)檢測(cè)6基本初等函數(shù)(1)1．答案：C解析：a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故選C.2．答案：C解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，由于它的圖象過(guò)點(diǎn)(64,2)，∴2＝64α，∴α＝eq\f(1,6)，f(x)＝xeq\f(1,6).則f(x)＜f(x2)，即xeq\f(1,6)<xeq\f(1,3)，∴0≤x＜x2，∴x＞1，故原不等式的解集為(1，＋∞)．3．答案：D解析：f(log23)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝4feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,4)))＝4×2log2eq\f(3,4)＝3.4．答案：C解析：∵指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)，∴0＜a＜1，∴－2＜a－2＜－1，∴函數(shù)g(x)＝(a－2)x3在R上遞減．5．答案：C解析：由題意知：t＝－eq\f(1,0.2)lneq\f(40－20,100－20)＝－5lneq\f(1,4)＝10ln2≈7分鐘．6．答案：A解析：由logaeq\f(1,4)<1，得a>1或0<a<eq\f(1,4)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))a<1，得a>0，由aeq\f(1,4)<1，得0<a<1，∴當(dāng)logaeq\f(1,4)<1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))a<1，aeq\f(1,4)<1同時(shí)成立時(shí)，取交集得0<a<eq\f(1,4).7．答案：B解析：∵f(x)＝eq\f(x·2x－1＋x,2x＋1)＝x－eq\f(1,2x＋1)，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?＝lg1<lg3<lg10＝1，lneq\f(1,2)<ln1＝0,2eq\f(1,3)>20＝1.所以2eq\f(1,3)>lg3>lneq\f(1,2)，所以f(2eq\f(1,3))>f(lg3)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))，即c>a>b.8．答案：A解析：令t＝x2＋ax＋6，∵外層函數(shù)y＝logeq\f(1,2)t為減函數(shù)，∴要使函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，則二次函數(shù)t＝x2＋ax＋6在(－∞，2)上單調(diào)遞減且恒大于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥2,22＋2a＋6≥0))，解得－5≤a≤－4.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－5，－4]．9．答案：BCD解析：這8個(gè)函數(shù)中定義域均為R的函數(shù)是①②⑤⑦，共4個(gè)，∴A錯(cuò)誤．只有⑤是偶函數(shù)，∴B正確．①②③④⑤⑥這6個(gè)函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，⑦⑧這兩個(gè)函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)第三象限，∴C正確．這8個(gè)函數(shù)中，滿(mǎn)意f(x＋2π)＝f(x)的函數(shù)只有⑦⑧，故D正確．10．答案：CD解析：因?yàn)椋璭q\f(1,a)>0，所以a<0，所以aeq\r(\f(1,－a))＝－(－a)·eq\f(1,\r(－a))＝－eq\r(－a)，A錯(cuò)；log427·log258·log95＝eq\f(lg33,lg22)·eq\f(lg23,lg52)·eq\f(lg5,lg32)＝eq\f(3×3,2×2×2)＝eq\f(9,8)，B錯(cuò)；因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2－3m－3)xeq\r(m)是冪函數(shù)，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，因?yàn)閙≥0，解得m＝4，C對(duì)；隨意的x1，x2∈[0，＋∞)，eq\f(fx1＋fx2,2)＝eq\f(\r(x1)＋\r(x2),2)≥0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\r(\f(x1＋x2,2))≥0，因?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx1＋fx2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x1)＋\r(x2),2)))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx1＋fx2,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(x1＋x2－2\r(x1x2),4)＝－eq\f(\r(x1)－\r(x2)2,4)≤0，所以，eq\f(fx1＋fx2,2)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，D對(duì)．11．答案：AB解析：設(shè)2x＝3y＝t>1，則x＝log2t，y＝log3t，所以，eq\f(1,x)＝logt2，eq\f(1,y)＝logt3，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝logtx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則logt3>logt2>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，A對(duì)；eq\f(x,y)＝eq\f(log2t,log3t)＝eq\f(\f(lnt,ln2),\f(lnt,ln3))＝eq\f(ln3,ln2)>1，B對(duì)；由B選項(xiàng)可知，x>y，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－y－1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2，C錯(cuò)；因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝x3為R上的增函數(shù)，且x>y，故x3>y3，D錯(cuò)．12．答案：ABC解析：x，y，z>0，令3x＝4y＝6z＝t(t>1)，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.eq\f(x＋y,z)＝eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)＝eq\f(log3t,log6t)＋eq\f(log4t,log6t)＝eq\f(lg6,lg3)＋eq\f(lg6,2lg2)＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg3,2lg2)))>eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(lg2,lg3)×\f(lg3,2lg2))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，故A正確；eq\f(xy,z2)＝eq\f(x,z)·eq\f(y,z)＝eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lg6,2lg2)＝eq\f(lg2＋lg32,2lg2·lg3)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg3,lg2)))>1＋eq\r(\f(lg2,lg3)×\f(lg3,lg2))＝2，故B正確；eq\f(1,x)＋eq\f(1,2y)＝eq\f(1,log3t)＋eq\f(1,2log4t)＝logt3＋eq\f(1,2)logt4＝logt6＝eq\f(1,z)，故C正確；eq\f(4,x)＝4logt3＝logt81，eq\f(3,y)＝3logt4＝logt64，因?yàn)閠>1，所以eq\f(4,x)>eq\f(3,y)，即3x<4y，故D錯(cuò)誤．13．答案：11解析：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\f(1,2)－(π－3)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))－eq\f(2,3)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2))eq\f(1,2)－1＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3))－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝eq\f(1,2)－1＋9＝eq\f(17,2)，lg5＋lg2＋eln2＋eq\f(1,4)lg0.01＝lg(5×2)＋2＋eq\f(1,4)×(－2)＝lg10＋2－eq\f(1,2)＝1＋2－eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，所以原式＝eq\f(17,2)＋eq\f(5,2)＝11.14．答案：1解析：因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·2x－2－x))，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝－x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·2－x－2x))，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為偶函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，即x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·2x－2－x))＝－x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·2－x－2x))，整理得到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2－x))＝0，故a＝1.15．答案：－eq\f(9,4)解析：函數(shù)定義域是(0，＋∞)，log2x∈R，f(x)＝log2eq\f(x,4)·log4(4x2)＝(log2x－2)(1＋log4x2)＝(log2x－2)(1＋log2x)＝logeq\o\al(2,2)x－log2x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(1,2)))2－eq\f(9,4)，所以x＝eq\r(2)時(shí)，f(x)min＝－eq\f(9,4).16．答案：5(－1，＋∞)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x＋4，x≤1,log\f(1,2)x，x>1))，則f(2)＝logeq\f(1,2)2＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝5；當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝－x2－2x＋4在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1,1]上單調(diào)遞減，f(1)