2022學(xué)年第二學(xué)期浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高三2月統(tǒng)測(cè)

數(shù)學(xué)試題

命題人：瑞安新紀(jì)元高級(jí)中學(xué)高三備課組審題人：義烏中學(xué)傅華偉魯迅中學(xué)潘建偉

考生須知：

1.全卷分試卷和答題卷?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卷上交。

2.試卷共6頁(yè)，有4大題，22小題.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

3.請(qǐng)將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。

選擇題部分(共60分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.己知集合人={尤|2、44},B={x|log2尤42},則AlB=()

A.{x\x<2}B.{x|0<x<2}C.{xIx<4}D.{x|0<x<4}

2.若(l+i)N=-2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.-----B.1C.V2D.y/5

2

3.已知,貝U是“a1>b2>,的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作

單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下：

時(shí)間/分鐘10?2020-3030?4040?50

甲的頻率0.10.40.20.3

乙的頻率00.30.60.1

某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用X表示甲、乙兩人在要求

時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則X的數(shù)學(xué)期望和方差分別是()

A.E(X)=1.5,D(X)=0.36B.￡(%)=1.4,D(X)=0.36

C.E(X)=1.5,D(X)=0.34D.￡(X)=1.4,D(X)=0.34

5.已知橢圓=l(a>l)的左、右焦點(diǎn)為居,P(1，機(jī))為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)/,PM

垂直于直線(xiàn)/且與x軸交于點(diǎn)若M為。鳥(niǎo)的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()

1V2V2V3

A.-B.C.D.

3322

6.在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面

的四棱錐，鱉腌為四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵ABC—4耳G中，AClBC,AAt=2,

整麝的外接球的體積為卓兀，則陽(yáng)馬8—ACG4體積的最大值為()

8

c.D.4

3

7.已知在三角形ABC中，AB=3,AC=2,NA=60°,點(diǎn)M,N分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，

ULMUcumuaujuum

AM=xAB,AN=yAC,其中>0,x+y=1,點(diǎn)、P,Q分別為MM8C的中點(diǎn)，則|尸Q|的最小值為

（）

3萬(wàn)

A.-5--D.-----V.M---U.M----

141442

8.已知。=2/=2.產(chǎn)9,。=1.9”,且衛(wèi)+加3<0,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

1919

A.c>a>hB.h>a>cC.a>h>cD.b>c>a

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.用分層隨機(jī)抽樣法從某校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)（滿(mǎn)分150分）中抽取一個(gè)容量為120的樣本,

其中男生成績(jī)的數(shù)據(jù)有80個(gè)，女生成績(jī)的數(shù)據(jù)有40個(gè)，將這80個(gè)男生的成績(jī)分為6組，繪制得到如圖所

示的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（）

頻率

A.男生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)在［90,110）內(nèi)的頻率為0.015

B.男生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為97

C.男生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為118

D.女生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為91,則總樣本的平均數(shù)為95

10.如圖，正方體ABC?！?4G2,若點(diǎn)M在線(xiàn)段BQ上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）

TT

A.三棱錐M-AC。的體積為定值B.直線(xiàn)。例與平面BCG四所成角的最大值為§

C.AM1A.DD.點(diǎn)M到平面C。。與到平面AS的距離之和為定值

11.已知拋物線(xiàn)。：丁=2“*（〃＞（））的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C相

交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過(guò)A,B點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A，片.設(shè)直線(xiàn)/的傾斜角為。，

71

當(dāng)。=一時(shí)，|A31=16.則下列說(shuō)法正確的是（）

6

A.有可能為直角B.|MF||A4|=|FA||F團(tuán)

C.Q為拋物線(xiàn)C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，比3,1）為定點(diǎn)，||。￡|-|。/||的最小值為行

D.過(guò)F點(diǎn)作傾斜角的角平分線(xiàn)尸尸交拋物線(xiàn)C于尸點(diǎn)（點(diǎn)尸在第一象限），則存在仇使一!一+」一

\AF\\PF\

12.已知連續(xù)函數(shù)/（X）及其導(dǎo)函數(shù)r（x）的定義域均為R,記g（x）=r（x）,若g'[2—2x]為奇函數(shù),

、23）

/11+2x）—2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，貝（I（）

A.g'⑶=0

C.g'(x)在(0,4)上至少有2個(gè)零點(diǎn)=3036

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上。

13.在（2x—的展開(kāi)式中，X?的系數(shù)為.

14.已知直線(xiàn)/:如一丁+2加=0與曲線(xiàn)。：丁=2-,4-元2有兩個(gè)交點(diǎn),則m的取值范圍為.

15.已知函數(shù)/(x)=Asin(公￥+夕)|0>0,|夕|<]),/(x)<U,f(x)+f傳_j=0,,f(x)在

71兀

上單調(diào)，則正整數(shù)/的最大值為

36?6

16.\/a,beR,-lnA-^<—+a+-<x,則人的最大值是__________

4x4xx

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)

己知?,=1,｛a?+1｝是公比為2的等比數(shù)列，也｝為正項(xiàng)數(shù)列，4=1,當(dāng)〃22時(shí)，(2〃—3)包=(2〃一I)。,-.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛或｝的通項(xiàng)公式；

(2)記c,=a?-bn.求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Tn.

18.(12分)

已知銳角△ABC,a,b,c分別是角A,B,。的對(duì)邊，且2acosC=b-a.

(1)證明：C=2A；

(2)若C。為NACB的角平分線(xiàn)，交AB于D點(diǎn)、,且CD=百,54。=也?求。的值.

19.(12分)

如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)P是半圓弧泣)上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,。不重合)，AB=AD=4.

(2)若點(diǎn)尸在平面ABC。的射影為點(diǎn)，，設(shè)初的中點(diǎn)為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí),，平面P8O與

平面CDE的夾角為45°,求此時(shí)?！钡拈L(zhǎng)度.

20.(12分)

2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊(duì)參加，其中歐洲球隊(duì)有13支，分別是德國(guó)、丹麥、法國(guó)、西班牙、

英格蘭、克羅地亞、比利時(shí)、荷蘭、塞爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、威爾士.世界杯決賽圈賽程分為小

組賽和淘汰賽，當(dāng)進(jìn)入淘汰賽階段時(shí)，比賽必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)

分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若比分相同，則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽.在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比

分依然相同，就要通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)來(lái)分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段.第一階段：前5輪雙方各派5

名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)(非必要無(wú)需踢滿(mǎn)5輪)，前5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的

球隊(duì)獲得比賽的勝利.第二階段：如果前5輪還是平局，進(jìn)入“突然死亡”階段，雙方依次輪流踢點(diǎn)球，

如果在該階段一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另

一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.

下表是2022年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的比賽結(jié)果:

淘汰賽比賽結(jié)果淘汰賽比賽結(jié)果

荷蘭3:1美國(guó)克羅地亞(4)1：1(2)巴西

阿根廷2:1澳大利亞荷蘭(3)2：2(4)阿根廷

1/4決賽

法國(guó)3:1波蘭摩洛哥1:0葡萄牙

英格蘭3:0塞內(nèi)加爾英格蘭1:2法國(guó)

1/8決賽

日本(1)1：1(3)克羅地亞阿根廷3:0克羅地亞

半決賽

巴西4:1韓國(guó)法國(guó)2:0摩洛哥

摩洛哥(3)0：()(())西班牙季軍賽克羅地亞2:1摩洛哥

葡萄牙6:1瑞士決賽阿根廷(4)3：3(2)法國(guó)

注：“阿根廷(4)3：3(2)法國(guó)”表示阿根廷與法國(guó)在常規(guī)比賽及加時(shí)賽的比分為3：3,在點(diǎn)球大戰(zhàn)中阿根廷

4：2戰(zhàn)勝法國(guó).

(1)請(qǐng)根據(jù)上表估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率.

(2)根據(jù)題意填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“32

支決賽圈球隊(duì)闖人8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān).

歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)

闖入8強(qiáng)

未闖入8強(qiáng)

合計(jì)

(3)若甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過(guò)120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已知甲隊(duì)球員每輪

2

踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為P，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為耳，求在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前2輪比分為2:2的條

件下，甲隊(duì)在第一階段獲得比賽勝利的概率(用p表示).

公立八32n(ad-bc)2,,

參考公式：Y"------------------------------------------,〃=Q+〃+C+d.

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

X”2.7063.8416.6357.87910.828

21.(12分)

已知雙曲線(xiàn)E:]-當(dāng)=1(。>()/>0)的焦距為10,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(8,3JJ).A,B為雙曲線(xiàn)E的左、右頂

a'b'

點(diǎn)，P為直線(xiàn)x=2上的動(dòng)點(diǎn)，連接以，PB交雙曲線(xiàn)E于點(diǎn)C,。(不同于A,B).

(1)求雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(12分)

1,

己知函數(shù)/(x)=耳*2+alnx-2x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性，

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)和電，且看<々./(尤1)+/(%)<一36-2-2恒成立.

①求。的取值范圍；

②證明：/(x)<-^x2+(a-l)lnx-(?+2)x+xev-1

2022學(xué)年第二學(xué)期浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高三2月統(tǒng)測(cè)

數(shù)學(xué)試題參考答案

題號(hào)12345678

答案BCADCBBA

1.BA=(—00,2],B=(0,4],.\AIB=(0,2],選B.

2.C(l+i)z=—2i,「.(l+i)?z=2,即2=^/^..?.選C.

3.A由可知a>0,所以/a>b,當(dāng)avO時(shí)，〃不成立.所以選A.

4.D設(shè)事件A表示甲在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，B表示乙在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，P(A)=0.5,P(8)=0.9,A,

B相互獨(dú)立，.?.P(X=0)=P(AB)=P(A)P(8)=0.05,P(X=l)=P(A8)+P(AB)=0.5,

P(X=2)=P(AB)=0.45,，E(X)=Ox0.05+1x0.5+2x0.45=1.4

O(X)=E(X2)-爐(X)=0.34..?.選D.

%1■)

5.CP(l,m)l\—+my=\————k=a2mPM:y-m=a2m(x-l),令y=0得

aa"yPM

x=1—\=e1M(^2,0)*c=2e2c=l,a=V2e=...選C.

6.B設(shè)4。=乂8。=)，,與-4。n的外接球半徑為〃則*68=爭(zhēng)3=半々；，=拒.

Qx2+y2+4=(2r)2=8,x2+y2=4.

111/02\4

又用-ACGA=§XSB_ACGAXBC=§X2X孫%+y)=］

4

???3—ACGA體積的最大值為§，選B.

LUUUJLIILULILILLU

1-LUULUJT

7,By器一帆卓一絲產(chǎn)rr

-AB+-AC

22

ILWn-r?iun/LUI,-x)tunLUJ79

則PQ2=府2+二AC~+匯3ABAC=-X2-3X+~,

44244

當(dāng)x=9時(shí)，|P0-=—,|P2|.='亙，選B.

7I『min~281『min14

8.AIna=In2,In/?=0.9In2.1,Inc=1.1In1.9,

構(gòu)造函數(shù)/(x)=(1-尤)ln(2+X),XG［-0.1,0.1］,則Ina=/(0),In。=/(0.1),lnc=/(-0.1),

13

f'(x)=-ln(2+x)+(1-九)-----=-ln(2+x)+---------1在［-0.1,0.1］上單調(diào)遞減，

2+x2+x

f\x)</'(一0.1)=—lnl.9+廿=*+ln1j<0,所以/(x)在［一0.1,0.1］上單調(diào)遞減，

所以/(一0.1)>/(0)>/(0.1),從而c>a>8,選A.

題號(hào)9101112

答案BCDACDABDAC

9.BCD男生成績(jī)?cè)冢?0,110）內(nèi)的頻率為0.3,A錯(cuò)誤；

男生成績(jī)的平均數(shù)為40*0.05+60x0.15+80x0.15+100x0.3+120x0.25+140x0.1=97,B正確；

男生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為110+上一=118,C正確：

0.0125

21

總樣本的平均數(shù)為一x97+—x91=95,D正確.

33

10.ACD對(duì)于選項(xiàng)A,M在平面6GA內(nèi)，平面6G4與平面ACA間的距離為體對(duì)角線(xiàn)的;，上三棱錐

M-AC"的體積為定值，A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)DM與平面BCG4，所成的角。最大，此時(shí)

tan0=——-=V2tan—,B錯(cuò)誤.

CM33

Q4O_L平面ABGA，又AMg平面ABCQ，,C正確.QM到平面C￡>4的距離為

，加到平面AC。的距離為正3M—??M到兩個(gè)平面的距離之和為爭(zhēng)M=#3G,

2

是定值.D正確.

11.ABD.QAB=—=8p=16,z,p=2.當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，NAM8為直角，A正確.

sin~0

Q，6尸由等面積法可知E4JFB,=MF\AtB,成立，；.B正確.

\QE-QF\<y[5,最大值為石，C不正確.

,0112-200<"

1-cos—.

71-cos0n22

---------+---------+

AFPF2222

令…且則XG（O,1）,「-+」-=1—x2—2x~—2丈—x+3

---------1-------------=--------------------

2AFPF222

一2入2-無(wú)+3(3、

令/(幻=上~二，/Q)在XE(0,1)上單調(diào)遞減，/(x)e0,-J存在巴D正確.

2\2/

12.AC由題意得+—x=—x]+x,兩邊求導(dǎo)得+—1=—x）+l,

.?.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

Qg'(j_2,為奇函數(shù)，則g'(1■-+)+g'[；-gxjn。，

y=g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(g,0)對(duì)稱(chēng)，y=g'(尤)的圖象關(guān)于直線(xiàn)尤=?對(duì)稱(chēng).

.-.3為g(x)和g'(x)的一個(gè)周期，；.g，(0)=g'(?=。，二g'。)=g'(0)=0，；?A正確.

Qg(1]=lH0=g(|),；.B錯(cuò)誤.

由g'(0)=g'(m)=g'(3)=0,得g(x)在(0,4)上至少有2個(gè)零點(diǎn)?.IC正確?

Qg[?]=l,周期為3,g(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)，=g(1)=r，

2024/o\2024

T，g(/小Q\。，《丹。，.？

=2024,.?.D錯(cuò)誤.

13.240&]=C久2尤)6-(_1))-=(-1)'晨26Tx62,故6-2r=2,即r=2,所以篤=240f,即「

的系數(shù)為240.

14.fo,|由已知得直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(一2,0),曲線(xiàn)C表示/+(>-2)2=4的下半圓，由圖形得斜率相的取

值范圍是(0,；

15.7Q.?.直線(xiàn)x=￡為/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸.

一—、八(4兀、八〃/、八(2兀八、2k—I27i7i71,7

Qf(x)+f----x=0?.f(x)的對(duì)標(biāo)點(diǎn)為—,0，.二T———，左￡N,

<3)^3)4366

/上=—,keN*,;.⑦=24—1,4eN*.又/(x)在/—|上單調(diào),TTt7T57r._

?.—>------=—，丘N.

2kco1366J263636

,2兀、5兀,n*’36

T=—>—，女EN,:.co<—.

切185

7171

當(dāng)@=7時(shí)，/(x)=Asin17x+1)在上單調(diào)，則正整數(shù)G的最大值為7.

36?6

3

16.-lQx>0,變形得Inx?+/—二.

4

問(wèn)題等價(jià)于直線(xiàn)/：y=OY+b在/(x)=lnx與g(x)=f)一一3之間,

當(dāng)且僅當(dāng)/為兩函數(shù)的公切線(xiàn)時(shí)h獲得最值.設(shè)/與/(x)的切點(diǎn)為A(百/nxj,/與g(x)的切點(diǎn)為

3

4

由公切線(xiàn)得/=8'(工2)=2X2，

1c

a=—=2x>,

不

)31131

得InXj=ciXy+b,得/7=InXj-1=^2—,玉々=一,?.In---1=—x；—，?二1；9—In2/—=0,發(fā)

23_,A

x—=cix1+b,

9“4“

現(xiàn)％='為￥—ln2%2—，=0的一個(gè)解.

~2.4

令〃(x)=x?-In2x-',“(x)=2x-2=——->令2x?-1=0,得x=立~,

4xx2

二力(無(wú))在(0，￥)上單調(diào)遞減，在(等,+8上單調(diào)遞增，.?/(x)1nHiln2<；-；ln&=0,

而xf0,h(x)—>+oo,x—>+oo,h(x)—>+oo,.?.x2-ln2x--=0的兩根居于—兩側(cè).

42

I51

已得一根為一，所以另一根大于乃，由圖形分析知，當(dāng)無(wú)，=一,％=1時(shí)，。的最大值為-1.

22-2

17.解：(1)由題可得為+l=(q+l)2"T,q=1,；.4=2"-1,3分

b2%—1

由(2〃-3)a=(2〃-1應(yīng)1，推得修=-~-(?>2),

%2〃一3

.??累積得包b,i…E=2〃-1小2/1-一3丁5得,“,丁2rt-l…一[,

如

b,,_2b22n-3

又瓦=1,：也=2n-l.6分

(2)由題可得c“=2"(2〃—l)—(2〃-1),令4=2"(2〃一1),{4,}的前”項(xiàng)和為2.

.?.^=l-2'+3-22+5-23+L+(2〃-1)2",2Z^,=1-22+3-23+5-24+L+(2n-l)2n+l,

相減得一匕=2+202+23+L+2")-(2〃-1)2"+|,.?.月=6+(2〃-3)22.

2

令%=2〃-1,{e“}的前”項(xiàng)和為E”,則En=n.

n+l2

綜上，Tn=Pn-En=(2n-3)2+6-n.10分

18.(1)證明：由題意得2sinAcosC=sin8-sinA=sin(A+C)—sinA,2分

/.sin(C-A)=sinA,:.C=2A.5分

(2)解：法一.QC。為NACB的平分線(xiàn)，且C=2A,：.NACD=NA=NOCB,；.AO=CO=6,

1OQpy

S八“。=—ADC￡)sin2A=—sin2A=V2,sin2A=-----7分

△AC/)223

QZXA8C為銳角三角形，.,.sinA=正,cosA="，

9分

33

b=2CDcosA=2^2.

QS/MCO+SWCB=S^ACB，：.—bCD-sinA+—tz-CDsinA=—absin2A

222

化簡(jiǎn)得CD(a+A)=2acosA,代入8=2后,CO=6,sinA=^,得。=逑.

12分

35

,,*AaCD百sin2A2>/3sin/IcosA6正

法二.在△BCD中，----------=a=-----------=-------------；—=12分

sinZ.BDCsinBsin(萬(wàn)一3A)3sinA-4sin_A5

19.(1)證明:連接AP,在半圓柱中，因?yàn)锳B，平面朋Q,所以AB，P。，又因?yàn)锳O是直徑，所以PD_LPA,

則P￡>_L平面以B.所以POLPB.5分

(2)解：依題意可知，以線(xiàn)段AD的中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

E(0,0,2),D(-2,0,0),B(2,4,0),C(—2,4,0),設(shè)NAOP=6,則P(2cosa0,2sin6),所以。E=(2,0,2),

r、m-DE—0,2x,+2z,=0,

￡>C=(0,4,0),設(shè)平面CDE的法向量為加=Gz，x，zJ,所以"則4令

m-DC=0,[4y1=0,

Xj=l,Zj=-l,則而二(1,0,—1).7分

「/、n-DP=0,

設(shè)平面P3O的法向量為〃=(%2，%，Z2)，O尸=(2cose+2,0,2sine),O3=(4,4,0),所以1r則

n?DB—0,

(2cos6+2)X2+2sin0z2=0,-cos^-1“2r(.—cos—1

令工2=1，則%=T，Z2所以〃=1,一1,———?8

。

4X2+4%=0,sinIsmff)

分

因?yàn)槠矫媸?。與平面CDE所成的銳二面角為45。,

1cos0+1

1+----------

旦m-n

所以cos450sin。

2

令則，2+/=l+f,平方得f=J,即sin6=2cose+2,又由ii?O+cos?。=1可解得

sin。2

cos6=-|或cos6=-l(舍去)，所以尸(一：,0,|),點(diǎn)P在平面A8CO的射影為點(diǎn)"(一\,O,o)因

4

此。H的長(zhǎng)度為一.12分

20.解：(1)由題意知卡塔爾世界杯淘汰賽共有16場(chǎng)比賽，其中有5場(chǎng)比賽通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)決出勝負(fù)，所以

估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率為？.3分

(2)下面為2x2列聯(lián)表:

歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)

進(jìn)入8強(qiáng)538

未進(jìn)入8強(qiáng)81624

合計(jì)131932

零假設(shè)H0:32支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊(duì)無(wú)關(guān).

n(ad-bc)232x(5x16-3x8)2

2.116<6.635=x.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)8x24x13x19001

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷“°不成立，即不能在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.01的

前提下認(rèn)為“決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān).7分

(3)方法一.不妨假定踢滿(mǎn)第一階段的5輪.因?yàn)榍皟奢唭申?duì)比分為2:2,若甲隊(duì)在第一階段獲得比賽勝

利，則后3輪有6種比分，1:0,2:0,2:1,3:0,3:1,3:2,所以甲在第一階段獲得比賽勝利的概率

2

P=C；p(l—p)2]￡|+C>2(l_p)(￡|+C；p2(l—1

，嗚即嗯"㈱)+

^15^3p_51

++±12分

272799

方法二.假定比賽進(jìn)行到任意輪，兩隊(duì)均完成該輪踢點(diǎn)球(實(shí)際比賽過(guò)程中，只要能確定某隊(duì)獲勝，無(wú)需

兩隊(duì)均完成某輪踢點(diǎn)球)兩隊(duì)前2輪比分為2:2的條件下，甲在第一階段獲得比賽勝利，則后3輪有5種

可能的比分,1:0,2:0,2:1,3：1,3:2.

P(l-P)2

當(dāng)后3輪比分為1:0時(shí)，Pi=C；p(l-p)2

9

3/+2p“l(fā)—p)

當(dāng)后3輪比分為2:0時(shí)，有兩種情況，=+C,p2(l-p)

227

當(dāng)后3輪比分為2:1時(shí),P3=p2"p)c；|])+C；p2"p)c；的J6P；P)

當(dāng)后3輪比分為3:1時(shí),

P，=PC翡)="

2丫14P3

當(dāng)后3輪比分為3:2時(shí),P5=Pg

339

綜上，甲在第一階段獲得比賽勝利的概率

正立+亞4正￡2+現(xiàn)正￡1+3+皿=35為

P=Pl+P2+P3+P&+P5=

927272792799

方法三.根據(jù)實(shí)際比賽進(jìn)程，假定點(diǎn)球大戰(zhàn)中由甲隊(duì)先踢.兩隊(duì)前2輪比分為2:2的條件下，甲在第一階

段獲得比賽勝利,則后3輪有5種可能的比分，1:0,2:0,2:1,3:1,3:2.

p(i-p￥

當(dāng)后3輪比分為1:0時(shí)，甲乙兩隊(duì)均需踢滿(mǎn)5輪，P1=C；p(l—p尸

9~

當(dāng)后3輪比分為2:0時(shí)，有如下3種情況:

2:03452:03452:0345

甲VV甲VX甲XVV

乙XX乙XX乙XX

則生+C；p2(l—p)(]MSP'/

當(dāng)后3輪比分為2:1時(shí)，有如下6種情況:

2:13452:13452:1345

甲X甲VX甲VXV

乙VXX乙XVX乙VXX

2:13452:13452:1345

甲VXV甲XVV甲XVV

乙XVX乙VXX乙XVX

則凸=3獷(1-*羽='(1—〃).

當(dāng)后3輪比分為3:1時(shí)，有如下2種情況：

3:13453:1345

甲VVV甲JVV

乙VX乙XV

則/74=03若X；=3-

當(dāng)后3輪比分為3:2時(shí)，有如下1種情況:

3:2345

甲VVV

乙VVX

綜上，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中兩隊(duì)前2輪比分為2:2的條件下，甲在第一階段獲得比賽勝利的概率

1+3p.

P=P1+P2+P3+P4+P5

992799

a2+b2=25,

21.解：(1)法一.由<6427解得/=16,〃=9.4分

法二.左右焦點(diǎn)為￡(一5,0)工(5,0),.-.c=5,2a=MFl-MF2=^^196-736=8,

:.a=4,b2=c2-a2=9,

雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-匯=1.4分

169

(2)設(shè)CZ)的方程為1=〃2》+匕。(％,%),￡>(入2，%)，

x=my

聯(lián)立爐y2消去x得（9加2-16）y2+18/nty+9r-ll=0,

-=I

1169

-18祝_9Z*2-*614424〃+9M-16

；J+%5分

W-16''%-9加2一]69m2-16

AC的方程為y=」一（無(wú)+4）,令x=2,得x〃=3-,

%+4玉+4

8。的方程為丁=一為一（九-4）,令x=2,得y=二苴,

7分

/—4x2—4

二-^=7^=3*2乂-12蘆+玉%+4%=°=3（〃叫+r）yT2x+（my,+f）%+4%=°=由孫%+

.Xi?今X）?

4m（9r2-144）

⑶―12）%+<+4）%=。04加%%+（2￡-4）（。+%）+（/-8）（。一%）=。0n2

ym-lo

22

（It-4）18加J24（/-8）Vr+9/n-16n

W-169m2-16

o3m（8—f）土（f—8）J尸+9加」-16=0=（8—f）3m土矛+9m?-16=0,10分

解得f=8或J產(chǎn)+9，〃2—16=±3根,即f=8或f=4（舍去）或f=-4（舍去），

...。。的方程為％=/2+8,二直線(xiàn)《）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）.12分

方法二.設(shè)CD的方程為x=，〃y+/,C（X],yJ,￡）（X2，y2），P（2,〃），

x=my-\-t,

聯(lián)立＜爐y2，消去X得（9加2_]6）y2+i8磯y+9r—144=0,

1169'

—18/nZ9廣—144/〃/A\/4》工口、1_幾,八

?.?必+%=「--2，M必=二21（，AC的方程為y=、（x+4）,8。的方程為y=r（x—4）,

9根~一169m-166-2

-

QC,。分別在AC和BD±,/.y1=—（^+4）,%=—（^24）,

6-2

兩式相除消去n得皿」=二^=%+4=-3HH，又%—五=1,二9（%,+

九1+4%-4y2169

將玉+4=—3（X「4）M代入上式，得一27（玉一4）（%-4）=16y%

%

-27（股+/-4）（%2+5-4）=16yly2

o（27/+16）y必+27"-4）皿M+%）+27（"4=0

（■）,\9t~—144—18/77/2八

（27〃廠+16）——----+27（Z-4）m——----+27（/-4）-=0.

、79m2-169m2-16

整理得/-12r+32=0,解得r