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2021江蘇南京高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試題含答案解析

南京市2021屆高三年級第三次模擬考試

數(shù)學(xué)2021.05

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分,

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5矗米黑色墨水簽字桀填寫在試卷及答題卡上?

第I卷（選擇題共60分）

-、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知集合從=（工|2"<4〉,8=｛用Z2—2工—340）,則力118=

A.[-1,2）B.（2,3]C.（-1,3]D.（―8,3]

2.已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)，=4+浮i,則復(fù)數(shù)上的虛部為

LLz

A.—亨B?亨C-4i-D.要

3.函數(shù)y=ln|z|+cosN的大致圖象是

4.將5名學(xué)生分配到A,5,C,Q,E這5個(gè)社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個(gè)社區(qū)分配1名學(xué)生，且學(xué)生甲

不能分配到A社區(qū)，則不同的分配方法種數(shù)是

A.72B.96C.108D.120

5.巳知cos（a—"，貝人山⑵+5+3氣高一分的值為

。40414

A-TB-fc.qzD.l

高三數(shù)學(xué)試卷第1頁（共6頁）

6.聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來計(jì)算，叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽到聲音的最小聲強(qiáng)為

（瓦/米》對于一個(gè)聲音的聲強(qiáng)/，用聲強(qiáng)/與比值的常用對數(shù)的10倍表示聲強(qiáng)/的聲

強(qiáng)級,單位是"分貝"，即聲強(qiáng)/的聲強(qiáng)級是分貝）.聲音傳播時(shí)，在某處聽到的聲強(qiáng)/與該

處到聲源的距離s的平方成反比，即/=芻Q為常數(shù)）.若在電離聲源15米的地方,聽到聲音的聲

強(qiáng)級是20分貝，則能聽到該聲音（即聲強(qiáng)不小于7。）的位置到聲源的最大距離為

A.1。。米B.150米C.200米D,1565米

7.在正方形A8CD中，。為兩條對角線的交點(diǎn),七為邊6c上的動點(diǎn).若懣=久而+〃動

則弓+'1?的最小值為

A.2B.5C.f口號

8.已知a,6,c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，且lna=cln〃/nc=61na4（ja,）,c的大小關(guān)系是

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分）

9.面對新冠肺炎疫情沖擊，我國各地區(qū)各部門統(tǒng)籌疫情防控和經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展均取得顯著成效.下表

顯示的是2020年4月份到12月份中國社會消費(fèi)品零售總額數(shù)據(jù)，其中同比增長率是指和去年同

期相比較的增長率，環(huán)比增長率是指與上個(gè)月份相比較的增長率,則下列說法正確的是

中國社會消費(fèi)品零售總額

月份零售總額（億元）同比增長環(huán)比增長累計(jì)（億元）

428178—7.50%6.53%106758

531973-2.80%13.47%138730

633526-1.80%4.86%172256

732203-1.10%-3.95%204459

8335710.50%4.25%238029

9352953.30%5.14%273324

10385764.30%9.30%311901

11395145.00%2.43%351415

12405664.60%2.66%391981

A.2020年4月份到12月份，社會消費(fèi)品零皙總額逐月上升

B.2020年4月份到12月份,11月份同比增長率最大

C.2020年4月份到12月份,5月份環(huán)比增長率最大

D.第4季度的月消費(fèi)品零售總額相比第2季度的月消費(fèi)品零售總額，方差更小

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁（共6頁）

10.定義曲線「號+爭=1為橢圓C：￡+y\

〃=1（心＞仁＞0）的伴隨曲線，則

A.曲線「有對稱軸

B.曲線r沒有對新中心

c曲線r有且僅有4條漸近線

D.曲線r與橢Me有公共點(diǎn)

ii,已知正四梭臺的上底面邊長為，^

，下底面邊長為2V7,惻梭長為2,則

A.棱臺的側(cè)面積為6"7

B.棱臺的體積為14，？

C.樓臺的側(cè)棱與底面所成用的余弦值為］

D.梭臺的側(cè)面與底面所成銳二面角的余弦值為上工

12.已知函數(shù)”"=33山2工+4852］/（幻=/（彳）+|〃幻|.若存在q＞611,使得對任意工￡11,

/&）》〃★）,則

A.任意工611,/（工+工0）=/（工—工.）

B.任意HWRJGX”工。+］）

C.存在O0,使得gGr）在（%,%+（?）上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

D.存在。＞一居，使得屋外在（工。一1,%+0）上單調(diào)遞減

第H卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

13.（3工'+±?的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為▲.

14.寫出一個(gè)離心率為漸近線方程為，=±2工的雙曲線方程為▲.

15.早在15世紀(jì)，達(dá)?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法:如圖1，先制作三張一樣的黃

金矩形AECD（鬻=今口），然后從長邊CO的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向剪

開一半，即OE=￡AD,再沿膂與長邊A8平行的方向剪出相同的長度，即°F=°E,將這三

個(gè)矩形穿插兩兩垂直放置，連結(jié)所有頂點(diǎn)即可得到一個(gè)正二十面體，如圖2.若黃金矩形的短

邊長為4,則按如上制作的正二十面體的表面積為其外接球的表面積為一

16.巳知直線尸肥r+〃與曲線k1'+COSH相切，則與+”的最大值為?▲

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁（共6頁）

四.解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本題滿分10分）

已知四邊形ABC。中，AC與BD交于點(diǎn)E,/IB=28C=2C￡>=4.

o

（1）若//18=§“，八。=3,求<：0§/0/10；

（2）若八E=CE.8E=2/I,求△A4C的面積.

18.（本題滿分12分）

已知等差數(shù)列儲“｝滿足0+323，。4成等差數(shù)列，且。1,小,。8成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列儲.｝的通項(xiàng)公式；

（2）在任意相鄰兩項(xiàng)g與內(nèi)+］（力=1,2,…）之間插入2’個(gè)2,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新

?的數(shù)列（6』記S.為數(shù)列｛瓦｝的前八項(xiàng)和,求滿足S.V500的〃的最大值.

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁（共6頁）

19.（本題滿分］2分）

如圖,在四桃物：》

^P-ABCD中，四邊形/18CQ為面角梯形，AQ〃8C，NA8C=90?，AD=25C

__，△-AD為等邊三角形,E為PQ的中點(diǎn)，直線AB與CE所成角的大小為451

】）求證:平面P4Q_L平面ABC必P

,2）求平面「AB與平面-CD所成角的正弦值.

BC

（第19題圖）

20.（本小題滿分12分）

某乒乓球教練為了解某同學(xué)近期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)記錄了該同學(xué)40局接球訓(xùn)練成績，每局

訓(xùn)練時(shí)教練連續(xù)發(fā)100個(gè)球，該同學(xué)每接球成功得1分，否則不得分，且每局訓(xùn)練結(jié)果相互獨(dú)

立,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，

①求該同學(xué)40局接球訓(xùn)練成績的樣本平均數(shù)三

②若該同學(xué)的接球訓(xùn)練成績X近似地服從正態(tài)分布N〈”,100）,其中“近似為樣本平均

數(shù)"求尸（54<X<64）的值；

（2）為了提高該同學(xué)的訓(xùn)練興趣，教練與他進(jìn)行

比賽.一局比賽中教練連續(xù)發(fā)100個(gè)球，該

同學(xué)得分達(dá)到80分為獲勝，否則教練獲勝.

若有人獲勝達(dá)3,局，則比賽結(jié)束，記比賽的

局?jǐn)?shù)為匕以頻率分布直方圖中該同學(xué)獲勝

的頻率作為概率，求E（y）.

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變盤S?NQ，，），

則尸（〃一6827?

尸（〃一20V￡V〃+2a）QO.9545,

產(chǎn)（〃一3aVWV〃+3o）%0.9973.

高三數(shù)學(xué)試卷第5頁（共6頁）

21?（本題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系zQy中，已知拋物線C：V=4H,經(jīng)過pQ,0）a>0）的直線;與C交于兩點(diǎn).

（1,若，=4,求AP長度的最小值；

（2）設(shè)以AB為直徑的圓交工軸于兩點(diǎn)，問是否存在使得。法-ON=-4?若存在，求

出’的值;若不存在,清說明理由.

22.（本題滿分12分）

已知函數(shù)/（幻=?――+alnx,agR.

X

（1）若a<e,求函數(shù)/（外的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a>e,求證:函數(shù)/（工）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)?

高三數(shù)學(xué)試卷第6頁（共6頁）

南京市2021屆高三年級第三次模擬考試

數(shù)學(xué)2021.05

注意?項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答愚

卡上.

第I卷(選擇題共60分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知集合X={x|2"<4},8={x|/-2x-3W0},則/U8=

A.[1,2)B.(2,3]C.(-1.3]D.(—8,3]

【答案】D

【解析】4=(—8,2).B=[—1.3],4U8=(—8,3],故選D

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=；+乎i,則復(fù)數(shù)千的虛部為

小石近〃亞.八亞.

A.-2B.2C.-21D?21

【答案】A

【解析】“曷至=與圾故虛部為一半故選D.

3.函數(shù)y=ln\x\+cosx的大致圖象是

ABCD

【答案】C

【解析】易見函數(shù)為偶函數(shù)，排除BD,x趨向「正無窮人時(shí)，）?趨向「正無力大，排除A,

故選C.

4.將5名學(xué)生分配到兒B.C,D,E這5個(gè)社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個(gè)社區(qū)分配I名學(xué)生,

且學(xué)生甲不能分配到/社區(qū)，則不同的分配方法種數(shù)是

A.72B.96C.108D.120

【答案】B

【解析】分配方法種數(shù)為4A：=96,故選B.

5.已知cos（以一%=.則sin（2a+》+cos2（A卷）的值為

O4oZ1Z

A.；B.|C.平D.1

【答案】D

2

【解析】sin(2a+壽+cos2考-自=sin(2a-f)+cos^—^)=cos(2a-j)+cos(f-

17

--

8+-8

5.聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來計(jì)算，叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽到聲音的最小聲強(qiáng)

為/（）=1012（瓦/米2）.對于一個(gè)聲音的聲強(qiáng)/,用聲強(qiáng)/與/o比值的常用對數(shù)的10倍表

示聲強(qiáng)/的聲強(qiáng)級，單位是“分貝”，即聲強(qiáng)/的聲強(qiáng)級是101g/■（分貝）.聲音傳播時(shí),

/O

在某處聽到的聲強(qiáng)/與該處到聲源的距離S的平方成反比，即/=9伏為常數(shù)）,若在距

離聲源15米的地方，聽到聲音的聲強(qiáng)級是20分貝，則能聽到該聲音（即聲強(qiáng)不小于/0）

的位置到聲源的坡大距離為

A.100米B.150米C.200米D.15?米

【答案】B

【解析】20=101埼，（=100,￡=/152=/（>?,最大距離s=150米.故選B.

7.在正方形/8CO中，。為兩條對角線的交點(diǎn)，E為邊8c上的動點(diǎn).若次=7k+

“而九〃>0）,則芻+加最小值為

A.2B.5C.1D.y

【答案】C

【解析】AE^AB+BE=AB+A而=；芯+防+；A（左-2前）=（；+4）送+（1一人

DO,故2A+〃=2,照+加什〃）罵故選C.

8.已知a,b,c均為不等丁,1的正實(shí)數(shù)，且lna=clnb,lnc=6lna?則a,b,c的大小關(guān)系

是

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】“=e，7>,e'>1.故a>b,同理c>a,故選A.

二'多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分）

9.面對新冠肺炎疫情的沖擊，我國各地區(qū)各部門統(tǒng)籌疫情防控和經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展均取得顯第

成效.下表顯示的是2020年4月份到12月份中國社會消費(fèi)品零售總額數(shù)據(jù)，其中同比

增長率是指和去年同期相比較的增長率，環(huán)比增長率是指與上個(gè)月份相比較的增長率,

則下列說法正確的是

中國社會消費(fèi)品零售總額

月份零售總額（億元）同比增長環(huán)比增長累計(jì)（億元）

428178一7.50%6.53%106758

531973-2.80%13.47%138730

633526一1.80%4.86%172256

732203一1.10%一3.95%204459

8335710.50%4.25%238029

9352953.30%5.14%273324

10385764.30%9.30%311901

11395145.00%2.43%351415

12405664.60%2.66%391981

A.2020年4月份到12月份，社會消費(fèi)品零售總額逐月上升

B.2020年4月份到12月份，11月份同比增長率最大

C.2020年4月份到12月份，5月份環(huán)比增長率最大

D.第4季度的月消費(fèi)品零售總額相比第2季度的月消費(fèi)品零售總額，方差更小

【答案】BCD

【解析】A：7月份的零售總額比6〃份的少，錯(cuò)誤：B：正確：C：正確：D：第4季度他

軍售總額在（38000,41000）間而第2季度的在（28000,34000）間，前者數(shù)據(jù)更集中，方差更

小.故選BCD.

10.定義曲線小§+5=1為橢圓C：捻+￡=l（a>b>0）的伴隨曲線，則

A.曲線「有對稱軸B.曲線「沒有對稱中心

C.曲線「有且僅有4條漸近線D.曲線廠與橢圓C有公共點(diǎn)

【答案】AC

【解析】在曲線/'中，（XJ，）.（一XJ）,（X.1，）,（一x,一y）代入均相等，故x軸與了軸為曲線/'的對

稱軸，故A正確：由上述可知，原點(diǎn)(0.0)為對稱中心，故B錯(cuò)誤；曲線/'有漸近線x=

+a,y=±b,ff4條漸近線，故C正確；(氐+3?(5+g)》2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)①|(zhì)=阻|時(shí)取

等號，兩曲線方程無法同時(shí)取1,故D錯(cuò)誤：通過比較兩曲線方程的定義域可知，定義域交

集為0,故兩曲線無交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

II.已知正四棱臺的上底面邊長為啦，卜.底面邊長為2加,側(cè)棱長為2,則

A.棱臺的側(cè)面積為6巾

B.棱臺的體積為14小

c.棱臺的側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為:

D.棱臺的側(cè)面與底面所成銳二面角的余弦值為由

【答案】ACD

【解析】A：fW面的高加=、^22—(坐)2=^^,S何=4*(應(yīng)+2近)x^^=6巾，正確：

B：上底面面積S=(加/=2,卜底面面積S2=(2a)2=8,高力=加22-|2=小,所以/=；

|4EI.%

(S|+S2+、SSM=—錯(cuò)誤：C：cosa=----2----=,，正確：D：si叩=本=7亍,所以co3

=yjl-sin￥=*,正確.故選ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=3sin2x+4cos2x,g(x)=y(x)+|/(x)|.若存在x()￡R,對任意x￡R,/(戈)2

購),則

A.任意x￡R,f(x-hxo)=f(x—xo)

B.任意x￡R,/(x)^/(xo+J)

C.存在。＞0,使得g(x)在(&，xo+處上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

D.存在e＞一相，使得颯在(XO—得，xo+為上單調(diào)遞減

【答案】BD

3

【解析】Hx)=5sin(2x+a),其中a為銳角且cosa=g,山題意，出是危)的最小值點(diǎn)，所以

Kx)關(guān)于x=xo對稱，所以/(x-xo)X/(-x+xo)=〃x+xo),A借誤：因?yàn)?(.r)的最小1E周期

r=y=n,所以為最大值點(diǎn)，所以任意x€R,/(x)(兒g+力B正確；因?yàn)?/p>

L+E)=O,在(xo,xo+力中,外)<0,所以g(x)恒為0,故不存在6>0,使得於)在(xo，

*)+仍上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；取0=一：，則在(和一意，X。一：)內(nèi)，/(x)單調(diào)遞減且曲

>0,所以g(x)=2/(x)單調(diào)遞減，D正確.故選BD.

第H卷(非選擇題共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(30+,)5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為▲.

【答案】270

【解析】N=C；X33X尸=270.

14.寫出一個(gè)離心率為小，漸近線方程為v=±率的雙曲線方程為▲.

【答案】『一?=1.

15.早在15世紀(jì)，達(dá)?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖I，先制作三張一樣

的黃金矩形48。(翳=退］)，然后從長邊CO的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著與短邊平行的

長電2

方向剪開一半，即OE=5O,再沿著與長邊平行的方向剪出相同的長度，即。尸=

OE,將這：個(gè)矩形穿插兩兩垂宜放置，連結(jié)所有頂點(diǎn)即可得到一個(gè)正二十面體，如圖

2.若黃金矩形的短邊長為4,則按如上制作的正二十面體的表面積為▲,其外

接球的表面積為▲.

圖2

【答案】80\/3,(40+8小)n

【解析】注意到正二十而體每個(gè)面都是邊長等于矩形短邊的正三角形，故S=20X乎X4，=

8M:其中心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離都等于矩形對用線的一半，故S=n(42+(2小+2>)=(40+

8475)n.

16.已知直線與曲線yuf+cosx相切，則與+b的最大值為▲

【答案】］

2xo-sinxo=%，knn-)

【解析】h°+gx；+cosm故爹+6=沔。-sitiW+xl+cosw-xgLsiru。)

-2-

=-XQ+TLXO+Afosiavo^sinxo+COSLYO,令g(x)=—x+7tv+xsiar?sinx+co&r>g'(x)=-2x

,

-￡

+it+.rcosLr—rcoir-(.r—7)(cos.r—2).因?yàn)閏ost■—2<0,故當(dāng)4

四,解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

己知四邊形/8CC中，/C與8。交于點(diǎn)E,AB=2BC=2CD=4.

(1)若N/OC=爭，AC=3,求cosNC4。；

(2)若/￡=CE,8￡=2&,求△48C的面積.

解：⑴在△中，由正弦定理.解》=八，

/COsx.n0ZADCs\?nZ，C2AD

.In

rrz.CDsinZ/lDC2><S，nT亞

所以sni/C4O=------k------=-----------=[-?

由0V/C4)常

得cosNC4D=qI-NC4D=ql一吊尸率.

(2)設(shè)/￡=CE=m,/AEB=a.

在中，8+加一4色〃icosa=16.①

在△5CE中，8+加一4?zncos(兀一a)=4,UP8+zw2+4,\/2mcos?=4.②

由①(③，解得用=陋，即/￡=CE=qi

將膽=啦代入①，解得cosa=-因?yàn)镺VQVTC,所以sina=W—83%=乎,

所以△/BC的面積Sz3c=2STB￡=2XyfX8￡Xsina=2Xex&X2&x￥)=5.

18.(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛%｝滿足：m+3,G，。4成等差數(shù)列，且a”a3,何成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式：

(2)在任意相鄰兩項(xiàng)a*與皈0=1,2,…)之間插入2*個(gè)2,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)

新的數(shù)列｛瓦｝.記S”為數(shù)列｛瓦｝的前“項(xiàng)和，求滿足S”<500的〃的最大值.

解:⑴設(shè)｛?！埃顬樨绖ta“=ai+(〃-IW，

又田+3,。3，成等差數(shù)列，所以2a?=4|+3+四，

即2田+4〃=2。|+3+34,所以4=3,

。3，ax成?等比數(shù)列,所以所以(co+6)2=。|(。]+21),

所以9al=36,ai=4,

故通項(xiàng)為a.=3〃+].

(2)在新的數(shù)列｛仇｝中,V〃￡N?旦女22時(shí)，QA前共有々+(21+2]+…+2*i)=2&+A~2項(xiàng)，

又內(nèi)>0,故⑸｝遞增.

同｝的前“項(xiàng)和7.二①磬，故71=也押.

,23456

取4=7,則2*+4一2=133,Si33=r7+2(2+2+2+2+2+2)=91+252=343<500：

取A=8,則2*+A—2=262,5262=介+2?⑵+22+23+24+25+2?+27)=116+508=624〉

500；

故所求最大的滿足S〃<500的〃在133與262之間，故含有外公....a?,其余均為2,又343

+2X78=499<500,343+2X79>500.故如后共有78個(gè)2,

則”的最大值為133+78=211.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸一48co中，四邊形/8C。為直角梯形，AD//BC,N/18C=90。，AD

=2BC=2AB=4,△"￡>為等邊三角形，E為PD的中點(diǎn),直線與CE所成甭的大

小為45。.

(1)求證：平面玄。1平面H8C。；

(2)求平面州8與平面PC。所成角的正弦值.

(第19題圖)

解：(1)證明：取/。中點(diǎn)尸，連結(jié)C凡山四邊形48。為直加梯形且N/8c=90。,

28c=2/8=4得CF4/18=2,所以CF_L/。，

山￡尸=；燈='。=2,直線48與C￡所成角等于NECF=45°,所以EFLCF,

乂因?yàn)镋FCXO=尸，所以CEL平面CFu所以平面488,

所以平面以。，平面48CD

：2)連結(jié)尸尸，所以/7JL4O,所以依，平面480所以PF_LC尸，故可以尸為原巾，分別

以FC,FD,FP為x,y,二軸正方向建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，

所以/(0,-2,0),8(2,-2,0).C(2.0.0),D(0,2.0).P(0,0,2?

所以布=(2,0,0),淳=(0,2.2小)，CP=(-2,0,26)，CD=(-2,2.0),

設(shè)平面R48和PC。的一個(gè)法向昂:分別為/M=(XI，.r”zi),n=(X2>j2?z：).

則仃‘°，取得xi=0,zi=—l,所以》i=(0,y/3,—1),

APm=2y\+2*>/3zi=0

(CPj2t2+2'"0,取Z2=l得力=/，.V2=小，所以/w=(V5,61),

、C￡>〃=-2盯+2”=0

設(shè)平面PAB和PC。的火知的大小為9,則|cos<9|=魯彗=

網(wǎng)刑7g4x77yJ7

所以sind=W-cosW=^^.

20.(本小題滿分12分)

某乒乓球教練為了解某同學(xué)近期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)記錄了該同學(xué)40局接球訓(xùn)練成績，每局

訓(xùn)練時(shí)教練連續(xù)發(fā)100個(gè)球，該同學(xué)接球成功得1分，否則不得分，PI每局訓(xùn)練結(jié)果相互.

獨(dú)立，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(I)若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，

①求該同學(xué)40局接球訓(xùn)練成績的樣本平均數(shù)7；

②若該同學(xué)的接球訓(xùn)練成績X近似地服從正態(tài)分布M/，，100),其中〃近似為樣本平均數(shù)

7,求P(54<X<64)的值：

(2)為了提高該同學(xué)的訓(xùn)練興趣，教練與他進(jìn)行比賽.一局比賽中教練連續(xù)發(fā)100個(gè)球，

該同學(xué)得分達(dá)到80分為獲勝，否則教練獲勝.若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束，記比賽

的局?jǐn)?shù)為匕以頻率分布直方圖中該同學(xué)獲勝的頻率作為概率，求￡?(/).

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量夕，)，則叫一。<6<〃+<7戶0.6827,

尸3—2。<+2。戶0.9545,PQ—3。<g<“+3。戶0.9973.

解：（1）07=55xo.l+65x0.2+75X0.45+85X0.2+95X0.05=74.

②由（1）得〃=丁=74,所以X~N（74,100）.

得P（64<X<84）^0.6827,P（54<X<94）^0.9545,

所以P（54<X<64）=P（54<X<94）；尸（64<X<84）=空L'Q理27=0/359.

⑵設(shè)“該同學(xué)一局比賽獲勝”為事件/，則P（4）=（O.O2+O,OO5）X1O=；.

y的可能取值為34,5,

p（y=3）=（；）3++=擊，p（y=4）=dx（1）2xjx1+dx（jfx|xj=-^.

p（y=5）=dx（1）2x（|）；!x14-dx（!）2x（|）2x1=^.

Y345

74527

P16128128

因此E（y）=3X-j^+4X-j^