Page1專題10直線與直線的位置關(guān)系知識總結(jié)：1．異面直線異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．兩條直線是異面直線等價于這兩條直線既不相交，也不平行．另外特別注意異面直線所成角的范圍是.2．空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：(1)相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)．(2)平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．(3)異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．3．空間中兩條直線位置關(guān)系的分類(1)從有無公共點(diǎn)的角度分類：(2)從是否共面的角度分類：4．異面直線的畫法畫異面直線時，為了表示它們不共面的特點(diǎn)，通常用一個或兩個平面襯托，如圖8-4．2-2(1)(2)(3)．5.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行．具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．題型歸納【題型01共面直線，相交直線】【題型02異面直線】【題型03異面直線所成角】【題型01直線與直線位置關(guān)系的辨析】【典例1】在棱長為1的正四面體中，直線與是（

）．A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關(guān)系【答案】C【分析】利用異面直線的判斷方法判斷即可.【詳解】作出正四面體，如圖，

因?yàn)槠矫妫矫?，，平面，所以與是異面直線.故選：C.【題型02異面直線的辨析】【典例1】如果兩條直線與沒有公共點(diǎn)，那么與（

）A．共面 B．平行C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線【答案】D【分析】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，可得如果兩條直線與沒有公共點(diǎn)，那么與可能平行，也可能是異面直線.【題型03異面直線所成角】【典例1】在長方體中，，，，則和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)可知即為和所成的角.【詳解】如圖所示：易知，所以和所成的角，即為和所成的角，在中，，所以.即和所成的角是.故選：A同步練習(xí)一、單選題1．設(shè)a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無公共點(diǎn)”是“a與b是異面直線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)a與b無公共點(diǎn)時，a與b可能平行或異面，反之，當(dāng)a與b是異面直線時，a與b無公共點(diǎn).故選：B.2．已知直線平面是平面上的一條直線，則直線與的關(guān)系不可能是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】A【分析】利用線面垂直的性質(zhì)即可.【詳解】因?yàn)橹本€平面，所以，故直線與的關(guān)系可以是異面的，也可以是相交的，不可能是平行的.故選：A3．已知平面平面，直線，直線，則與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交【答案】B【分析】利用直線與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，直線，直線，所以與沒有交點(diǎn)，即與可能平行，也可能異面．故選：B.4．根據(jù)所學(xué)知識判斷下列描述錯誤的是（

）A．不相交的直線是平行直線 B．經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面C．不共線的三點(diǎn)確定一個平面 D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)【答案】A【分析】利用空間直線的位置關(guān)系判斷A；利用平面基本事實(shí)判斷BC；利用棱臺的定義判斷D作答.【詳解】對于A，在空間，不相交的兩條直線可能是平行直線，也可能是異面直線，A錯誤；對于B，兩條平行直線確定一個平面，B正確；對于C，不共線的三點(diǎn)確定一個平面，C正確；對于D，棱錐被平行于棱錐底面的平面所截，截面與底面間的部分是棱臺，因此棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，D正確.故選：A5．如圖所示，長方體中，給出以下判斷，其中正確的是（

）A．直線與相交B．直線與是異面直線C．直線與有公共點(diǎn)D．【答案】D【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.【詳解】對于A，面，面，且B不在AC上，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故A選項(xiàng)錯誤；對于B，，，四邊形為平行四邊形，，即直線與平行直線，故B選項(xiàng)錯誤；對于C，面，面，，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故C選項(xiàng)錯誤；對于D，，，四邊形為平行四邊形，，故D選項(xiàng)正確；故選：D.6．如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，線段AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（

）

A．相交 B．平行 C．異面 D．無法判斷【答案】C【分析】將正方體的展開圖還原為正方體，在正方體中找到展開圖中AB、CD對應(yīng)的直線，再判斷AB、CD的位置關(guān)系．【詳解】由題意，將正方體展開圖還原為正方體，如圖所示：在正方體中找到對應(yīng)的AB、CD兩條直線，由圖可知，AB與CD異面．故選：C．

7．如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）

A．異面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【分析】由異面直線的定義判斷即可.【詳解】體對角線與面對角線不在同一個平面內(nèi)，且不平行，故體對角線與面對角線的位置關(guān)系一定是異面.故選：A.8．已知長方體中，長方體各個面的對角線所在的直線中與面對角線平行的有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】長方體共有6個面，每個面上有2條對角線，共12條對角線，因?yàn)椤?，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，而其它面對角線與相交或異面，所以長方體各個面的對角線所在的直線中與面對角線平行的有1條，故選：B．

9．在直三棱柱中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（

）A．與相交，且B．與相交，且C．與是異面直線，且D．與是異面直線，且【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義分析判斷，利用勾股定理計(jì)算長度即可【詳解】如圖所示，因?yàn)槠矫?，平面，所以與是異面直線，．因?yàn)椋裕蔬x：D

10．在棱長為a的正方體中，與AD成異面直線且距離等于a的棱共有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【分析】結(jié)合異面直線與異面直線距離的定義，直接觀察直觀圖即可【詳解】由題，觀察正方體即可得與AD成異面直線且距離等于a的棱有，故選：C11．有如下命題，其中正確的命題個數(shù)是（

）（1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線；（2）任意兩條異面直線有且只有一條公垂線；（3）兩條異面直線的公垂線段是分別聯(lián)結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條；（4）兩條異面直線的距離是兩條異面直線的公垂線段的長度．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)異面直線的公垂線的定義、異面直線公垂線段的定義進(jìn)行判斷．【詳解】（1）（4）就是相關(guān)定義，正確；異面直線的公垂線是與異面直線均垂直的直線，有無數(shù)條，（2）錯誤；兩條異面直線的距離是兩條異面直線的公垂線段的長度可知（3）正確．故選：C．12．已知平面平面，，，且直線與不平行.記平面?的距離為，直線?的距離為，則（

）A． B．C． D．與大小不確定【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，，且直線與不平行，所以平面?的距離等于直線?的距離，所以，故選B.13．在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異面直線與所成角的余弦值為求出底面正方形的邊長，進(jìn)而可求解.【詳解】如圖，該四棱柱為長方體，因?yàn)?所以為異面直線與所成角，設(shè)底面正方形邊長為，則，在中，，解得，因?yàn)樵撍睦庵鶠殚L方體，所以平面，平面，所以,同理,所以直線與直線的距離為，故選:B.14．下列說法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個平面 B．三角形可以確定一個平面C．沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線 D．兩條異面直線的夾角可能為鈍角【答案】B【分析】對于AB，由不共線的三點(diǎn)確定一個平面判斷，對于C，舉例判斷，對于D，由異面直線的夾角的定義判斷即可【詳解】不共線的三點(diǎn)確定一個平面，三角形可以確定一個平面，A錯誤，B正確．沒有公共點(diǎn)的兩條直線可能是平行的共面直線，所以C錯誤，兩條異面直線的夾角不可能為鈍角，所以D錯誤．故選：B15．在正方體的所有面對角線中，所在直線與直線互為異面直線且所成角為的面對角線的條數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】作圖，直接觀察可得.【詳解】如圖，易知為等邊三角形，所以，又，所以異面直線與的夾角為，符合題設(shè).同理，面對角線，，也滿足題意，所以滿足條件的面對角線共4條，故選：B．16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“塹堵”一說“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖所示的“塹堵”中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．無法判斷【答案】C【分析】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，則有∥，從而可得∥平面，由此可得直線與沒有公共點(diǎn)，而，∥，由此可得直線與不可能平行，從而可得結(jié)論【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以與平面沒有公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以直線與沒有公共點(diǎn)，所以直線與不可能相交，因?yàn)椋?，所以直線與不可能平行，所以直線與是異面直線，故選：C17．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，正確的命題是（

）A．AB與CF成45°角 B．BD與EF成45°角C．AB與EF成60°角 D．AB與CD成60°角【答案】D【分析】由正方體的平面展開圖還原成正方體，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意得，將正方體的平面展開圖還原為正方體，如圖，CF和BD平行，AB垂直與BD，所以AB與CF成角，故A錯誤；BD與CF平行，CF垂直與EF，所以BD與EF成角，故B錯誤；EF與CG平行，AB與CG成角，所以AB與EF成角,故C錯誤；CD與AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB，所以，所以AB與CD成角，故D正確.故選：D18．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中下列判斷錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意還原正方體，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，還原正方體，如圖所示，連接，可得，又由，所以，所以A正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知，所以B正確；因?yàn)?為在平面上的射影，所以，所以C正確；根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的定義，可得與是異面直線，所以D錯誤.故選：D.19．在正方體中，異面直線AB1與BD的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，則為異面直線AB1與BD所成的角，故可得出結(jié)果.【詳解】異面直線與夾角等于與夾角；連接，則為異面直線AB1與BD所成的角，為正三角形，所以，所以異面直線與夾角為.故選：B

20．兩條異面直線所成的角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)異面直線的定義得出答案.【詳解】由異面直線的定義可知，兩條異面直線所成的角的范圍是故選：B21．若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交【答案】D【解析】根據(jù)異面直線所成角判斷.【詳解】因?yàn)?、為異面直線，所以、所成的角為銳角或直角，因?yàn)橹本€與平行，所以與所成的角為銳角或直角，所以與的位置關(guān)系是異面或相交，故選：D22．正方體如圖所示.在三條直線，，中，與BD垂直的有（

）A．3條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B【分析】通過直線平移，找到異面直線所成的角，從而判斷是否垂直.【詳解】連結(jié)，∵為矩形，∴，∵，，∴，∵，，∴與所成的角為，故兩直線不垂直；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的位置關(guān)系，考查識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.23．已知三條直線，，滿足且，則與（

）A．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【答案】B【分析】根據(jù)空間直線平行垂直的定義，結(jié)合等角定理進(jìn)行判定.【詳解】若且，根據(jù)空間直線垂直的定義，可得，不平行，有可能共面，也有可能異面.故選：B.24．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有（）條．A．2 B．4C．6 D．8【答案】D【分析】由正方體ABCD--A1B1C1D1的圖象結(jié)合線線垂直的定義即可求解結(jié)果．【詳解】在正方體ABCD--A1B1C1D1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．故選：D．25．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【答案】D【分析】根據(jù)線線之間的垂直關(guān)系判斷即可.【詳解】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.26．在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)，將直線平移到，再利用即可求得角的大小.【詳解】連接，如下圖所示：

根據(jù)正方體性質(zhì)可知，所以直線與所成的角即為直線與所成的角；設(shè)正方體棱長為2，易知，，，在中，滿足，即，因此，所以.故選：B27．點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD中AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，若AC＝BD，且AC與BD所成角的大小為90°，則四邊形EFGH是（

）A．梯形 B．空間四邊形C．正方形 D．有一內(nèi)角為60°的菱形【答案】C【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用三角形中位線的性質(zhì)以及等角定理進(jìn)行判斷.【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD中AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，所以，，，,所以，，所以四邊形是平行四邊形，又AC與BD所成角的大小為90°，所以與所成角的大小為90°，即，所以四邊形是矩形，又AC＝BD，，，所以，所以四邊形是正方形，故A，B，D錯誤.故選：C.二、填空題1．已知、是異面直線，直線直線，則直線與直線b的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】若，因?yàn)?，則，與已知、是異面直線矛盾，所以直線與直線b不平行，則當(dāng)直線與直線b在同一平面則相交，當(dāng)直線與直線b不在同一平面則異面，故答案為：相交或異面.2．異面直線和所成的角為，則的范圍是．【答案】【分析】直接利用異面直線所成角定義可得答案.【詳解】由異面直線所成角的定義可知：異面直線和所成角的范圍為.故答案為：.3．如圖，正六棱柱的底面和頂面均為正六邊形，側(cè)棱均垂直于底面和頂面.其6個側(cè)面12條面對角線所在的直線中，與直線異面的共有條.

【答案】5【分析】列出與直線異面的面對角線所在直線，得到答案.【詳解】與直線相交的有，與直線平行的有，剩余的與直線異面，共5條.故答案為：54．空間中已知直線，直線，直線，若直線直線，直線與直線異面，則直線與直線的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】空間直線，直線，直線a與c為異面直線，則直線b與直線c可能是相交直線或也可能是異面直線.故答案為：相交或異面三、解答題1．在正方體中的12條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有條.【答案】6【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合異面直線的意義求解即得.【詳解】在正方體中的12條棱所在直線中，與直線相交的棱所在直線有，共6條，其余6條棱所在直線與直線是異面直線，

所以與直線是異面直線的共有6條.故答案為：62．如圖是正方體的平面展開圖，在原來的正方體中（1）與平行；（2）與是異面直線；（3）與垂直；（4）與成．其中正確的序號是．【答案】（4）【分析】將正方體的直觀圖畫出，判斷出與為異面直線，（1）錯誤；證明出四邊形為平行四邊形，得到（2）錯誤；根據(jù)面面平行推導(dǎo)出與不垂直，（3）錯誤；作出輔助線，得到或其補(bǔ)角即為與所成角，結(jié)合是等邊三角形得到答案.【詳解】畫出正方體的直觀圖如下：

對于（1），與為異面直線，不平行，錯誤；對于（2），連接，因?yàn)?，且，故四邊形為平行四邊形，故與平行，（2）錯誤；對于（3），在平面上，⊥，由于平面與平面平行，要想與垂直，只需與平行，顯然兩者不平行，故與不垂直，（3）錯誤；對于（4），連接，因?yàn)榕c平行，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)正方體的邊長為1，由勾股定理得到，故是等邊三角形，故，故與成，（4）正確.故答案為：（4）3．如圖所示，在正方體中M，N分別是和的中點(diǎn)，則下列直線、平面間的位置關(guān)系是什么？

(1)AM所在的直線與CN所在的直線的位置關(guān)系；(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系；(3)AM所在的直線與平面的位置關(guān)系；(4)平面ABCD與平面的位置關(guān)系.【答案】(1)異面(2)相交(3)平行(4)相交【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫妫矫?，平面，且直線，所以直線與為異面直線.（2）解：因?yàn)槠矫妫移矫?，所以與平面相交于點(diǎn)，即直線平面，即直線與平面相交.（3）解：在正方體中，可得平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?