磁莽淤利弗如布才;浮現(xiàn)

《高等數(shù)學(xué)》課程單元教學(xué)設(shè)計

(1)教案頭

單元名稱：參數(shù)的點估計學(xué)時：2

項目數(shù)理統(tǒng)計

學(xué)習(xí)型工作任務(wù)估計參數(shù)與假設(shè)檢驗

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

1.掌握點估計的數(shù)字特征法；

教學(xué)目標(biāo)

2.了解點估計的順序統(tǒng)計量法；分析實際問題中的參數(shù)的點估

3.掌握總體參數(shù)的無偏估計；計。

4.了解總體參數(shù)的有效性。

任務(wù)一給出一些例子，讓學(xué)生理解參數(shù)的點估計；

任務(wù)二給合實例，讓學(xué)生理解數(shù)字特征法、順序統(tǒng)計量法；

任務(wù)三總體參數(shù)的無偏估計與有效。

能力訓(xùn)練任務(wù)案例：1.用數(shù)字特征法估計4和。2；

及案例

2.用順序統(tǒng)計量法估計〃和cH；

3.求cH無偏估計量。

教學(xué)重點重點：點估計的數(shù)字特征法；

教學(xué)難點難點：估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)。

1.先讓學(xué)生聯(lián)系實例，然后引出參數(shù)的點估計；

2.介紹點估計的數(shù)字特征法；

教學(xué)組織

3.介紹點估計的順序統(tǒng)計量法及總體參數(shù)的無偏估計與有效性；

4.歸納總結(jié)相關(guān)知識。

作業(yè)習(xí)題11-2

備注

（2）主要教學(xué)過程

時間分配

步驟教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法教學(xué)手段學(xué)生活動

分鐘

本次課要學(xué)的主要內(nèi)容：

1.點估計的數(shù)字特征法；

告知

2.點估計的順序統(tǒng)計量法；講授（口

（教學(xué)內(nèi)5

3.總體參數(shù)的無偏估計與有效。述）

容、目的）

目的：分析實際問題中的參數(shù)

的點估計.

1.寫出一些現(xiàn)象，啟發(fā)學(xué)生理

引入

解參數(shù)的點估計；

（任務(wù)項講授板書15

2.說明本次課的任務(wù)：學(xué)會參

目）

數(shù)的點估計。

總體方案：

操練教師講

1.介紹點估計的數(shù)字特征法；

（掌握初解，學(xué)生

2.介紹點估計的順序統(tǒng)計量法；教師講解25

步或基本思考并記

3.介紹總體參數(shù)的無偏估計與

能力）憶

有效。

深化教師講

（加深對再次強調(diào)參數(shù)的點估計的重啟發(fā)、誘導(dǎo)解，學(xué)生請學(xué)生歸

20

基本能力要性，加深理解。重點講解思考并記納總結(jié)

的體會）憶

能力：解決實際問題的能力.

知識點1.點估計的數(shù)字特征

歸納法；

（知識和知識點2：點估計的順序統(tǒng)計量教師歸納板書15

能力）法；

知識點3：參數(shù)的無偏估計與有

效性.

訓(xùn)練

學(xué)生練習(xí)

（鞏固、舉出一個例子，計算參數(shù)的點估

啟發(fā)、誘導(dǎo)解題，教個別提問15

拓展、檢計。

師指導(dǎo)

驗）

總結(jié)教師講授2

作業(yè)習(xí)題11-23

后記

第二節(jié)參數(shù)的點估計

在實際問題中，總體的分布類型往往可以由經(jīng)驗確定，但有

時我們只關(guān)心總體的某些數(shù)字特征，特別是均值和方差，一般可以

通過樣本觀察值所組成的統(tǒng)計量對總體的參數(shù)進行估計，這類問題

就是參數(shù)估計.參數(shù)估計的類型一般有兩種：點估計、區(qū)間估計.

例如，工廠生產(chǎn)一批鉀釘，物釘頭的直徑孑是一個隨機變量,

現(xiàn)在要問這批佛釘頭部的平均直徑是多少？根據(jù)經(jīng)驗知道，J服從

正態(tài)分布N(〃,b2),但參數(shù)〃和CH未知，而釧釘頭部的平均直

徑就是參數(shù)E(J)=〃，因此需設(shè)法估計〃的值.通常我們從中抽

取若干鉀釘進行直徑的測定，以這些測定量的平均值作為整批鉀釘

頭部直徑的平均值的近似值.

一、點估計的方法

1.數(shù)字特征法

用樣本的數(shù)字特征來估計相應(yīng)總體的數(shù)字特征的方法稱為數(shù)

字特征法.在實際問題中常需要對總體的數(shù)學(xué)期望EG)和方差

進行點估計.

設(shè)(無1，尤2,…，為)是來自總體的一個樣本,若

—(y~—

總體那么x~N(〃,——).就是說，統(tǒng)計量x較

n

每一個分量七更集中于均值〃附近，用x來反映總體均值〃是合

理的，所以正態(tài)總體均值〃的估計量A就可選擇1，即4=：.同

樣用樣本的方差S2作為正態(tài)總體方差的估計量臺2,即

(T2=S2.

(4)

1n-

d-2=S2=—8_x)2(5)

n1

例1某廠生產(chǎn)一批鉀釘，現(xiàn)在檢驗鉀釘頭部的直徑，從產(chǎn)品

中抽取12只，測得直徑(單位：mm)分別為：

13.30,13.38,13.40,13.32,13.43,13.48

13.51,13.31,13.34,13.47,13.44,13.50

設(shè)佛釘頭部直徑總體N(〃,b2),其中〃和。2未知，用

數(shù)字特征法估計〃和。2.

解〃和。2的估計量分別為

-1

//=%=—(13.30+13.38+13.40+13.32+13.43+13.48+13.51+13.31

+13.34+13.47+13.44+13.50)=13.41.

6f.皿。—1341)2+(13.38-13.41)2+(13.4。-13W+(13.32-13.41)2

+(13.43-13.41)2+(13.48-13.41)2+(13.51-13.41尸+(13.31-13.41)2

+(13.34-13.41)2+(13.47-13.41)2+(13.44-13.41)2+(13.50-13.41)2]

-0.0053

2.順序統(tǒng)計量法

估計總體參數(shù)除數(shù)字特征法之外，還有順序統(tǒng)計量法.

將樣本的一組觀察值(引,%,，按大小順序排列為

x；<-??<%；,取最大值x；與最小值X：之差為R,則稱R為

樣本的極差；取居中的一個數(shù)(若〃為偶數(shù)，則取居中兩數(shù)的平均

值)為1,則稱亍為樣本的中位數(shù)，記作

x；+i(〃=2左+1)

7-KJ1(x；+x；+i)(n=2k)'

統(tǒng)計量工和R稱為順序統(tǒng)計量，構(gòu)成順序統(tǒng)計量的方法稱為

順序統(tǒng)計量法.

對于正態(tài)總體，用土來估計//,用R來估計。是較適宜的，

這時，工與A，R和6有以下關(guān)系：

//=x(6)

&=—R(7)

其中

例2設(shè)某種燈泡壽命總體服從NO，。?)，其中〃,。2未知,

今隨機取得6只燈泡，測得壽命(單位：/?)為

1400,1502,1453,1367,1650,1660

用順序統(tǒng)計量法估計〃和CH的值.

解按順序排列為1367<1400<1453<1502<1650<1660,所以

fi=x=1(1453+1502)=1477.5")

7?=1660-1367=293

6=0.3908x293=114.52(//)

在例2中，同樣可以用數(shù)字特征法來估計〃和CT2.

4=1=1505.3(//)

(7=113.89(//)

這樣，對同一正態(tài)總體的均值〃和方差。之，用不同的方法就

得到不同的估計值，這就要求我們選一種較好的估計方法.

二、估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)

估計量是隨機變量，對不同的樣本觀察值它有不同的估計值,

這些估計值在未知參數(shù)e的真值附近波動.我們希望估計值e的數(shù)

學(xué)期望等于未知參數(shù)e的真值，并且希望。的方差越小越好.下面

給出估計量的兩個評選標(biāo)準(zhǔn).

i.無偏性

設(shè)。為未知參數(shù)，的估計量，若E@)=e,則稱。為。的無

偏估計量，否則就稱今為夕的有偏估計量.

例3證明】是均值〃的無偏估計量.

證明因為

11

E(x)=一￡E(x)=一?〃〃=〃

nFn

所以X為〃的無偏估計量.

例4證明S2是4的有偏估計量.

1?—

證明因為E（S2）=E[-y（x.-x）2]

曜i=i

1n_

=—一4）一（％一4月}

ni=i

1nn__

=_a￡（七一一2三（九,一〃）（尤_//）+〃（％—4）2]

ni=li=i

1n-

二—{Z石（七-A）2_〃石[（%-4）1}

i=l

1z2/Tl—12

=—（n（J-n--）=-----a

nnn

即E（S2）0〃，所以S2是。2的有偏估計量.

1ri_

在例4中，如果我們把S2換成s；=——y（x-x）2,則

n-lTr

E（S；）=,所以S：為〃的無偏估計量.今后，我們將用S；代

替S2表示樣本方差.

例5求例1中。2的無偏估計量.

解。2的無偏估計量為

='[（13.31-13.41）2+■??+（13.50-13.41）2]=0.0058

2.有效性

設(shè)e的兩個無偏估計量為吊,R,如果。（。）＜D@），則稱

吊比R有效.

例6若總體J~N（〃,4）,（%,馬是來自總體的一個

—1n1

樣本，試評價〃的兩個估計量x=—（〃>2）與一（玉+/）

nH2

的有效性.

解因為E（x）=

現(xiàn)號當(dāng)=*（芭）+石⑺]=〃

所以7和七包都是//的無偏估計量.

_1

又因為D（x）=-cr2,

n

產(chǎn)+%11

0=齊卬（芭）+。氏）]=5,2D?=—,

2

〃>2時，—<J-<-CT2,故X比~+“2有效.

n22

一般在正態(tài)總體中，〃的估計量是用京b2的估計量是用S：.

三、小結(jié)知識學(xué)生練習(xí)習(xí)題11-2

四、布置作業(yè)習(xí)題11-2

④)圣司在利乘如命才;有稅

《高等數(shù)學(xué)》課程單元教學(xué)設(shè)計

(1)教案頭

單元名稱：參數(shù)的區(qū)間估計學(xué)時：2

項目數(shù)理統(tǒng)計

學(xué)習(xí)型工作任務(wù)估計參數(shù)與假設(shè)檢驗

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

1.了解置信區(qū)間的概念；

教學(xué)目標(biāo)分析實際問題中的參數(shù)的區(qū)間估

2.掌握均值的區(qū)間估計；

計。

3.掌握方差的區(qū)間估計。

任務(wù)一給出一些例子，讓學(xué)生理解參數(shù)的區(qū)間估計；

能力訓(xùn)練任務(wù)任務(wù)二給合實例，讓學(xué)生理解均值的區(qū)間估計；

任務(wù)三總體參數(shù)的方差的區(qū)間估計。

及案例案例：1.求均值的置信區(qū)間；

2.求方差的置信區(qū)間。

教學(xué)重點重點：均值的區(qū)間估計；

教學(xué)難點難點：置信區(qū)間的概念。

1.先讓學(xué)生聯(lián)系例子，然后引出參數(shù)的區(qū)間估計；

2.介紹均值的區(qū)間估計；

教學(xué)組織

3.介紹方差的區(qū)間估計；

4.歸納總結(jié)相關(guān)知識。

作業(yè)習(xí)題11-3

備注

（2）主要教學(xué)過程

時間分配

步驟教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法教學(xué)手段學(xué)生活動

分鐘

本次課要學(xué)的主要內(nèi)容：

1.參數(shù)的區(qū)間估計；

告知

2.介紹均值的區(qū)間估計；講授（口

（教學(xué)內(nèi)5

3.介紹方差的區(qū)間估計.述）

容、目的）

目的：分析實際問題中的參數(shù)

的區(qū)間估計。

1.寫出一些現(xiàn)象，啟發(fā)學(xué)生理

引入

解參數(shù)的區(qū)間估計；

（任務(wù)項講授板書15

2.說明本次課的任務(wù)：學(xué)會參

目）

數(shù)的區(qū)間估計。

觀察圖

操練總體方案：

形，教師

（掌握初1.介紹參數(shù)的區(qū)間估計；

教師講解講解，學(xué)25

步或基本2.介紹均值的區(qū)間估計；

生思考并

能力）3.介紹方差的區(qū)間估計。

記憶

深化教師講

（加深對再次強調(diào)參數(shù)的區(qū)間估計的重啟發(fā)、誘導(dǎo)解，學(xué)生請學(xué)生歸

20

基本能力要性，加深理解。重點講解思考并記納總結(jié)

的體會）憶

能力：解決實際問題的能力.

歸納

知識點1.參數(shù)的區(qū)間估計；

（知識和教師歸納板書15

知識點2：均值的區(qū)間估計；

能力）

知識點3：方差的區(qū)間估計。

訓(xùn)練

學(xué)生練習(xí)

（鞏固、舉出一個例子,計算參數(shù)的區(qū)間

啟發(fā)、誘導(dǎo)解題，教個別提問15

拓展、檢估計。

師指導(dǎo)

驗）

總結(jié)教師講授2

作業(yè)習(xí)題11-33

后記

講稿

第三節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計

在點估計中，用?去估計e時，其誤差情況并未考慮.通常我們希望估計出e真值所在的

一個范圍，并希望知道這個范圍包含e真值的概率，這種范圍常用區(qū)間的形式給出，這種形式

的估計稱為區(qū)間估計.

一、置信區(qū)間

設(shè)8為總體的未知參數(shù)，由樣本(玉,%，確定兩個統(tǒng)計量：4=…，相)和

%=%(天,々,…,％)，使得總體參數(shù)位于區(qū)間血,21內(nèi)的概率等于給定的數(shù)1—a，即

P(0］<6><6?2)=1-?(8)

則區(qū)間［外打］稱為。的1-。置信區(qū)間，4為置信下限，名為置信上限，1-a為置信水平.在

一般情況中，a取0.01,0.05,0.10等.

說明：式(8)的意義是區(qū)間收,2］包含夕真值的概率為l-a.即如果我們反復(fù)抽取大小

為〃的樣本，對每一個樣本可求得一個區(qū)間，在這些區(qū)間中約有(l-a)100%的區(qū)間包含8的

真值.

在許多實際問題中，總體都服從正態(tài)分布因此下面只介紹總體服從正態(tài)分布

的參數(shù)4,的區(qū)間估計方法.

二、均值〃的區(qū)間估計

1.已知CH,對〃進行區(qū)間估計

設(shè)(盾,巧,…,相)是來自正態(tài)分布NO，。?)的一個樣本，〃為己知，試求〃的1一。的

置信區(qū)間.

分析：給定a=0.05,問題是怎樣由樣本確定仇和名，使其滿足

尸(4<〃<%)=l—a=0.95(9)

根據(jù)不等式的性質(zhì)，得P小超w匚幺(二0=1-?=0.95

aaa

、G)

令土畫土通,u=±二幺，式(9)可變?yōu)?/p>

1cr2cro

yfnJ~nJ'n

尸(4(10)

<U<A2)=l-a=0.95

其中U~N(O,D.

不難想到滿足式(10)的4,4有無窮多對，我們通常選擇4,4滿足

(y

P(U<^)=P(U>A2)=-(ID

由于U~N(0,l),其密度函數(shù)圖形

關(guān)于縱軸對稱，故滿足式(11)的4和4

是絕對值相等，符號相反的兩個數(shù)，分別

記為-X和4,如圖11-4,則式(10)可寫

為

P(-/t<[/<A)=l-?=0.95

圖11-4

即P(U44)=1-5=0.975

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得Ua=1.96=2.

1--

_x-e^^■=2=1.96,

由2—A=—1.96,

40o

VnVn

x—1.96-^,=x+1.96

得6X-02

\n一

故〃的1一a的置信區(qū)間血0]為丘一L96爺，x+1.96

(12)

一般地，若(％1，々，…，相)為來自總體N(〃,b2)的一個樣本，其中〃為己知，則確定〃

的1-a的置信區(qū)間步驟如下:

(1)對給定的置信水平1—a,由=1—a,查附表1確定4=U〃

1----

2

-1n

(2)計算％二—￡%,則"的1—a的置信區(qū)間為

■Z=1

—(J—

[X—A~-r=,X+(13)

例1某車間生產(chǎn)的滾珠，其直徑服從正態(tài)分布N(//,cr2),cr2=0.06,從某天生產(chǎn)的滾

珠中隨機抽取6個，測得直徑(單位：mm)為

14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1,

分別求平均直徑當(dāng)?=0.05和a=0.01時，1—a的置信區(qū)間.

解依題意，總體分布為N(/z,0.06),n=6,<y-V0.06.

-1

x=-(14.6+15.1+14.9+14.8+15.2+15.1)=14.95

(1)當(dāng)a=0.05時，查附表1得九=U°=Uo.975=L96，代入式(13),得〃的

1--

2

l-a=0.95的置信區(qū)間為[14.754,15.146].

(2)當(dāng)a=0.01時，查附表1得4°o.995=2.58,代入式(13),得〃的0.99的

1—

2

置信區(qū)間為[14.692,15.208].

可見，置信水平越高，置信區(qū)間就越大.

2.未知。2,對〃進行區(qū)間估計

在很多實際問題中，如新產(chǎn)品的試制、新工藝的實施等，根本無法知道。的值，在估計正

態(tài)總體的均值〃時，不能直接用式(13).這時可以采用以下方法：

首先用無偏估計量So來代替。，可以證明統(tǒng)計量7=土'、份服從自由度為1的

S。

*〃一1)分布,即

T=―—―yj~n-—(14)

s。

根據(jù)置信區(qū)間的定義，對于給定的有

即P[\T\>t?(n-V)}=a.

~2

查附表2得到0(A-1),記2=ta(n-1),如圖115因此有

~2~2

So

P(x-A<//<%+=l-a

4n

得出正態(tài)總體方差。未知時，均值4的

1-a的置信區(qū)間為

[%-X+(15)

例2對某種型號的飛機的飛行速

圖11-5

度進行15次試驗，測得最大飛行速度（m/s）為422.2,417.2,425.6,420.3,425.8,423.1,

418.7,428.2,438.3,434.0,412.3,431.5,413.5,441.3,423.0.根據(jù)長期實踐經(jīng)驗，最大飛

行速度可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，試對最大飛行速度的均值進行區(qū)間估計（a=0.05）.

解依題意，總體服從NG/,"),這時均未知，而〃=15,n-l=14.

-1

x=—(422.2+417.2+425.6+420.3+425.8+423.1+418.7+428.2

+438.3+434.0+412.3+431.5+413.5+441.3+423.0)=425.0

=—(2.82+7.82+0.62+4.72+0.82+1.92+6.32+3.22+13.32

14

+92+12.72+6.52+11.52+16.32+22)=72.049

貝ijSo=8.488.

給定。=0.05,查附表2得力.os（14）=2.145=2,代入式（15）得出〃的0.95的置

2

信區(qū)間為［420.3,429.7］.

三、方差。2的區(qū)間估計

設(shè)總體J~N（//,cr2）,且〃未知，現(xiàn)通過樣本（西,々，…，%），求。2的1—。的置信區(qū)間?

解決此類問題與求〃的置信區(qū)間的方法基本相同.

（1）先找一個僅含。2的樣本函數(shù)5—,可以證明~力2（〃一1）.

（T

（1）根據(jù)置信區(qū)間的定義，對于給定的0＜。＜1,有

P（4＜（T2＜%）=

由不等式的性質(zhì)得

J（〃-1）S；/（〃-1廊］_1

r----------------S-----------------S-------------------I-'

L%?4J

記4=（〃T）S："=（〃T）S：,則式（］6）可寫為

%回

p(4〈/M4)=1-a

（3）如圖11-6,由于72分布密度函數(shù)

圖像是不對稱的，通常我們選擇4,4滿足

圖11-6

P<x<4)=P<x>=y

即

>A)=1-y

P($n2=*.

查附表3確定4=%：/(〃—1)及幾2=?；(〃—1)的值.所以。2的1—a的置信區(qū)間為

一5~2

■T)S；d)s,(⑺

4'4」

例3就例2中所給條件，求總體方差。2的1一。的置信區(qū)間(1-a=0.95).

解=72.049,?-1=14,1-a=0.95,查附表3得

4=始975(14)=5.629,4=/必(14)=26119,

代入公式(17)得。2的0.95的置信區(qū)間為[38.619,179.195].

四、小結(jié)知識學(xué)生練習(xí)習(xí)題10-3

五、布置作業(yè)習(xí)題10-3

④條淤利系見布才;存稅

《高等數(shù)學(xué)》課程單元教學(xué)設(shè)計

(1)教案頭

單元名稱：參數(shù)的假設(shè)檢驗學(xué)時：2

項目數(shù)理統(tǒng)計

學(xué)習(xí)型工作任務(wù)估計參數(shù)與假設(shè)檢驗

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

使學(xué)生理解假設(shè)檢驗的基本思想,掌

1.理解參數(shù)的假設(shè)檢驗的基本概念；

教學(xué)目標(biāo)握假設(shè)檢驗的基本方法,提高學(xué)生利

2.掌握正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗法；

用數(shù)理統(tǒng)計的思想方法解決實際問

3.了解正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗法。

題的能力。

任務(wù)一給出一些現(xiàn)象，讓學(xué)生理解參數(shù)的假設(shè)檢驗的基本概念；

任務(wù)二給合例子，讓學(xué)生理解正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗法；

能力訓(xùn)練任務(wù)及案例任務(wù)三了解正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗法。

案例：1.U檢驗法；2.t檢驗法；3.7?檢驗法。

教學(xué)重點重點：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗法；

教學(xué)難點難點：對假設(shè)檢驗的基本思想和方法的理解。

1.先讓學(xué)生聯(lián)系實例，然后分析參數(shù)的假設(shè)檢驗的基本概念；

2.介紹正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗法；

教學(xué)組織

3.介紹正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗法；

4.歸納總結(jié)相關(guān)知識。

作業(yè)習(xí)題4

備注

（2）主要教學(xué)過程

時間分配

步驟教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法教學(xué)手段學(xué)生活動

分鐘

本次課要學(xué)的主要內(nèi)容：

告知1.假設(shè)檢驗的基本概念；

講授（口

（教學(xué)內(nèi)2.正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)5

述）

容、目的）檢驗法；

目的：學(xué)會假設(shè)檢驗的計算。

1.寫出一些現(xiàn)象，啟發(fā)學(xué)生理

引入

解假設(shè)檢驗的基本概念；

（任務(wù)項講授板書15

2.說明本次課的任務(wù)：學(xué)會學(xué)

目）

會假設(shè)檢驗的計算.

總體方案：

操練1.介紹假設(shè)檢驗的基本概念；教師講

（掌握初2.介紹正態(tài)總體均值的假設(shè)檢解，學(xué)生

教師講解25

步或基本驗法；思考并記

能力）3.介紹正態(tài)總體方差的假設(shè)檢憶

驗法。

深化教師講

（加深對再次強調(diào)假設(shè)檢驗的基本概啟發(fā)、誘導(dǎo)解，學(xué)生請學(xué)生歸

20

基本能力念的重要性，加深理解。重點講解思考并記納總結(jié)

的體會）憶

能力：解決實際問題的能力.

知識點1：假設(shè)檢驗的基本概

歸納念；

（知識和知識點2：正態(tài)總體均值的假設(shè)教師歸納板書15

能力）檢驗法；

知識點3：正態(tài)總體方差的假設(shè)

檢驗法。

訓(xùn)練

學(xué)生練習(xí)

（鞏固、舉出一個例子,計算正態(tài)總體均

啟發(fā)、誘導(dǎo)解題，教個別提問15

拓展、檢值的假設(shè)檢驗.

師指導(dǎo)

驗）

總結(jié)教師講授2

作業(yè)習(xí)題43

后記

（3）講稿

第四節(jié)參數(shù)的假設(shè)檢驗

前面我們介紹了參數(shù)估計，本節(jié)將介紹另一類重要問題一一假設(shè)檢驗.

一、假設(shè)檢驗的基本思想和方法

1.假設(shè)檢驗問題

例如，按國家標(biāo)準(zhǔn)，某產(chǎn)品的次品率不得超過1%,今從批量為200件一批的這種產(chǎn)品中，

任取5件，發(fā)現(xiàn)5件中有一件次品.問這批產(chǎn)品的次品率尸是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)，即我們關(guān)心的

問題是PW0.01是否成立.

再如，某車間用包裝機包裝商品，額定標(biāo)準(zhǔn)凈重0.5kg.設(shè)包裝機稱得商品重量服從正態(tài)分

布N(0.5,0.0152).某天隨機抽取它所包裝的商品9袋，稱得凈重為

0.497,0.506,0.518,0.524,0.488,0.511,0.510,0.515,0.512

問這天包裝機的工作是否正常？在該例中我們關(guān)心的問題是：是否有〃=4=0.5立，

(T2=(To=0.0152.

假設(shè)檢驗進行統(tǒng)計推斷的過程是：先對關(guān)心的問題提出一個看法，稱之為統(tǒng)計假設(shè)，并記

為8°，然后根據(jù)樣本信息，對假設(shè)的合理性進行推斷.

如在第二例中，假設(shè)包裝機工作正常，商品每袋重量的均值〃=0.5依((/=0.0152),

即80:〃=0.5.然后根據(jù)樣本信息推斷H。的合理性.

2.小概率原理

在一次試驗中，如果事件A的概率2(4)=。很小時，A稱為小概率事件.

一般地，概率小于0.05的事件，稱為小概率事件.但如果事件的發(fā)生關(guān)系到生命、財產(chǎn)的

安全時，a要取得更小.

在生活實踐中，”小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”.我們把它稱為小概率原理.

在假設(shè)檢驗過程中，若在一次試驗中小概率事件發(fā)生了，我們就認(rèn)為是不合理的.

3.假設(shè)檢驗的方法

在上例中，我們知道即使機器正常工作，機器所包裝商品每袋的凈重也不會都是0.5kg.也

就是說，假設(shè)在總體中任取一個樣本(玉,々，…，相)它的均值［和0$的差異總存在，但不會太

大.若給一個適當(dāng)?shù)某?shù)左，,一0.5|＞左是不大可能出現(xiàn)的事件，即P(F—0.5|＞Q=a,a

一定很小，所以|元一0.5|＞左是小概率事件.

如果抽取一個樣本(西,無2,…,居)，恰出現(xiàn)了,一0.5|＞左的結(jié)果，則依據(jù)小概率原理，可

以斷言，這臺機器工作不正常；反之，若出現(xiàn),-0.5|〈女的結(jié)果，就可以斷言，機器工作正

常.

綜上所述，得到假設(shè)檢驗的方法如下:

(1)對需檢驗的問題提出原假設(shè)Ho(如上例中，4°:EG)=〃=0.5).

(2)按照考察的問題要求選定一個小的正數(shù)a(0<a<1),并由下式確定左值

P(|x-0.5|>k)=a(18)

其中，a為均值0.5出現(xiàn)顯著差異的概率，稱a為顯著性水平；

(3)通過樣本值(七,/，…，匕)，計算出忖-。5|,并與左比較，得出統(tǒng)計推斷結(jié)論：若

|x-0.5|<^,接受原假設(shè)“°；若|元一0.5|>>，拒絕原假設(shè)a。.

二、一個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗法

1.U檢驗法

利用統(tǒng)計量U=與幺~N(0,l)來檢驗已知方差。2的正態(tài)總體NG/,/)的均值〃=〃o

4n

(己知常數(shù))的方法稱為。檢驗法.

利用。檢驗法檢驗正態(tài)總體N(//,cr2)的均值4=4。(4已知)的步驟如下：

(1)提出原假設(shè)Ho:〃=〃o(//()已知)；

(2)確定顯著性水平a,并通過下式確定左值：

P(|x-0.5|>k)=a

ky/~n(rr\

將上式變形得P忙&>-----a,即P\U\>^~=a.

(J(J

<4n

k1(\

令ua=------，得P=a,查附表1,確定M=2.

r°rr

(3)計算總比較￡4與Ma，得出統(tǒng)計推斷:

O1--

____2

yjn

X一為

若<仇a,則接受原假設(shè)Ho：4=4o；

(J1----

2

若七1風(fēng)>%9，則拒絕原假設(shè)HQ:〃=〃0?

°15

Jn

也可以說，當(dāng)三二風(fēng)的值落入?yún)^(qū)間(一8,—M?)U(M竺+8)內(nèi)時，則拒絕原假設(shè)我

01-71-萬

yjn

們稱(一8,一Ma)U(M°,+8)為拒絕域.

11----

22

例1在第二例中，取a=0.05時，問這天包裝機的工作是否正常？

解⑴％:4=05(表示假設(shè)包裝機工作正常)；則統(tǒng)計量。=匚竺西.

°0.015

(x-05)

(2)由a=0.05有P-------x3>ua=0.05,查附表1得M?=?097=1.96.

(0.015i-y)i~°-975

-1

(3)x=-(0.497+0.506+0.518+0.524+0.488+0.511+0.510+0.515

+0.512)=0.509

x—0.5.0.509-0.5.

u------x3-------------x3=1.8<1.96

\\=0.0150.015

所以接受Ho：〃=0-5，即這天包裝機工作正常.

2.t檢驗法

在很多實際問題中，正態(tài)總體的方差往往是不知道的，這樣上面介紹的。檢驗法就失效了,

我們以CT2的無偏估計量代替CT2，便得到新的統(tǒng)計量T=巴聲.

3()

利用統(tǒng)計量T=的分布t(n-1)來檢驗未知方差正態(tài)總體N(〃,cr?)的均值〃=〃o

yJn

為常數(shù))的方法稱為/檢驗法.

f檢驗法的步驟與U檢驗法相仿：

(1)提出原假設(shè)“0：〃=〃0(〃0已知).

(2)確定顯著性水平a,并通過P(,—攵)確定左值，

將上式變形得

々J=、一^P\T\>ta