第50講

隨機事件與概率第十章

計數(shù)原理、概率及其分布1．某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立事件的是

(

)A．至多一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒中靶激活思維【解析】D對于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、兩次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、兩次都中靶，A不滿足條件；對于B，“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關系，B不滿足條件；對于C，“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關系，C不滿足條件；對于D，“兩次都沒中靶”與“至少一次中靶”對立，D滿足條件．2．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，下列結論正確的是 (

)A．A與B互為對立事件

B．A與B互斥C．A與B相等

D．P(A)＝P(B)D【解析】拋擲兩枚質地均勻的硬幣的所有結果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).事件A包含的結果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的結果有(正，反)，(反，反)，顯然事件A，事件B都含有“(正，反)”這一結果，即事件A，事件B能同時發(fā)生，因此，事件A與事件B既不互斥也不對立，故A，B錯誤；3．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3.(1)如果B?A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______；0.5【解析】如果B?A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3.0.3(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____．0.8【解析】如果A，B互斥，那么A∩B＝?，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0.04．從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的概率是______．【解析】5．從0～9這10個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)的平方的個位數(shù)字為1的概率是______；這個數(shù)的四次方的個位數(shù)字為1的概率是______．【解析】從0～9這10個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，共有10種可能，其樣本空間可表示為Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．1．樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的____________稱為樣本點，常用ω表示．全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機事件①定義：將樣本空間Ω的________稱為隨機事件，簡稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．基本結果聚焦知識子集2．兩個事件的關系和運算

含義符號表示包含關系A發(fā)生導致B發(fā)生________相等關系B?A且A?B________并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生____________，___________A?BA＝BA∩B＝?A∪B＝Ω3．古典概型(1)有限性：樣本空間的樣本點只有__________；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性________．4．古典概型的概率公式有限個相等5．概率的性質性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________.性質5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝______________________.P(A)＋P(B)1－P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)口袋中裝有3個紅球和4個黑球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出3個球，則互斥而不對立的事件是

(

)A．“至少有1個紅球”與“至少有1個黑球”B．“至少有1個紅球”與“都是黑球”C．“至少有1個紅球”與“至多有1個黑球”D．“恰有1個紅球”與“恰有2個紅球”隨機事件的關系與運算舉題說法1【解析】【答案】D對于A，不互斥，如“取出2個紅球和1個黑球”與“至少有1個黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；對于B，“至少有1個紅球”與“都是黑球”不能同時發(fā)生，且必有其中之一發(fā)生，所以為互斥事件，且為對立事件，所以B不符合題意；對于C，不互斥，如“取出2個紅球和1個黑球”與“至多有1個黑球”不是互斥事件，所以C不符合題意；對于D，“恰有1個紅球”與“恰有2個紅球”不能同時發(fā)生，所以為互斥事件，但不對立，如“恰有3個紅球”，所以D符合題意．變式在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2，0.2，0.3，0.3，則下列說法正確的是

(

)A．A∪B與C是互斥事件，也是對立事件B．B∪C與D是互斥事件，也是對立事件C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件【解析】【答案】DA中，A∪B與C是互斥事件，但不對立，因為P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A錯誤；B中，B∪C與D是互斥事件，但不對立，因為P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B錯誤；C中，A∪B與C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C錯誤；D中，A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正確．(1)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為(

)古典概型2A【解析】(2)從1至6這6個整數(shù)中隨機取3個不同的整數(shù)，其中恰有兩個是偶數(shù)的概率為(

)C2【解析】變式回文數(shù)是指從左往右讀與從右往左讀都是一樣的正整數(shù)，如323，5445等．在所有小于200的三位回文數(shù)中任取兩個數(shù)，則這兩個回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于5的概率為

(

)B【解析】某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示．概率的基本性質3【解答】設事件A＝“不派出醫(yī)生”，事件B＝“派出1名醫(yī)生”，事件C＝“派出2名醫(yī)生”，事件D＝“派出3名醫(yī)生”，事件E＝“派出4名醫(yī)生”，事件F＝“派出5名或5名以上醫(yī)生”，且事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出醫(yī)生至多2個”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.人數(shù)01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出醫(yī)生至多2個的概率；某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示．3【解答】方法一：“派出醫(yī)生至少2個”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出醫(yī)生至少2個”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.人數(shù)01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(2)求派出醫(yī)生至少2個的概率．變式五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為宮、商、角、徵、羽，如果從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為 (

)B【解析】隨堂練習【解析】【答案】CA【解析】3．袋中裝有大小相同的2個白球和5個紅球，從中任取2個球，則取到的2個球顏色相同的概率是

(

)D【解析】4．某鉛筆工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線，甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品次品率為10%，乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品次品率為5%.現(xiàn)在某客戶在該廠定制生產(chǎn)同一種鉛筆產(chǎn)品，由甲、乙兩條生產(chǎn)線同時生產(chǎn)，且甲生產(chǎn)線的產(chǎn)量是乙生產(chǎn)線產(chǎn)量的1.5倍．現(xiàn)在從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件，則取到合格產(chǎn)品的概率為 (

)A．0.92 B．0.08 C．0.54 D．0.38A【解析】從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件抽到甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品的概率為0.6，抽到乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的概率是0.4，抽到甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品中合格產(chǎn)品的概率P1＝0.6×(1－0.1)＝0.54，抽到乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品中合格產(chǎn)品的概率P2＝0.4×(1－0.05)＝0.38，任取一件抽到合格產(chǎn)品的概率P＝P1＋P2＝0.54＋0.38＝0.92.配套精練A組夯基精練一、

單項選擇題1．四位爸爸A，B，C，D相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則A的小孩與D交談的概率是

(

)【解析】設A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，則交談組合有9種情況，分別為(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，【答案】A2．某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為(

)D【解析】3．從正六邊形的6個頂點中任取3個構成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為

(

)C【解析】4．某次考試共有4道單選題，某學生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25.若從這4道題中任選2道，則這個學生2道題全做對的概率為(

)A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43C【解析】二、

多項選擇題5．有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件F為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”，事件H為“不訂甲報紙”，事件I為“一種報紙也不訂”．下列說法正確的是(

)A．E與G是互斥事件B．F與I是互斥事件，且是對立事件C．F與G不是互斥事件D．G與I是互斥事件【解析】【答案】BC對于A，E與G有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，F(xiàn)與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且是對立事件，故B正確；對于C，F(xiàn)與G可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對于D，G與I也可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤．6．某中學為了能充分調動學生對學術科技的積極性，鼓勵更多的學生參與到學術科技之中，提升學生的創(chuàng)新意識，該學校決定邀請知名教授于9月2日和9月9日到學校做兩場專題講座．學校有東、西兩個禮堂，第一次講座地點的安排不影響下一次講座的安排，假設選擇東、西兩個禮堂作為講座地點是等可能的，則下列敘述正確的是

(

)【解析】【答案】ABC三、

填空題7．社區(qū)從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加服務工作，則甲、乙都入選的概率為______．【解析】設這5名同學分別為甲，乙，1，2，3，從5名同學中隨機選3名，樣本空間Ω＝{(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)}，共10個樣本點.【解析】59．某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質量分為一等品、二等品、三等品．從這批雪車中隨機抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.85，則抽到一等品的概率為________．0.78【解析】四、

解答題10．4月23日是世界讀書日，其設立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作．某市教育部門為了解全市中學生課外閱讀的情況，從全市隨機抽取1000名中學生進行調查，統(tǒng)計他們每日課外閱讀的時間，如圖是根據(jù)調查結果繪制的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計1000名學生每日的平均閱讀時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)的平均值)；【解答】由(0.0025＋0.0100＋a＋0.0150＋0.0100)×20＝1，可得a＝0.0125，這

1000名學生每日的平均閱讀時間為10×0.05＋30×0.2＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＝58(min).10．4月23日是世界讀書日，其設立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作．某市教育部門為了解全市中學生課外閱讀的情況，從全市隨機抽取1000名中學生進行調查，統(tǒng)計他們每日課外閱讀的時間，如圖是根據(jù)調查結果繪制的頻率分布直方圖．(2)若采用分層隨機抽樣的方法從樣本在[60，80)，[80，100]內的學生中共抽取5人來進一步了解閱讀情況，再從中選取