PAGE專題講座6概率、統(tǒng)計在高考中的常見題型與求解策略1．(2016·東北三省四校聯(lián)考)已知點P，Q為圓C：x2＋y2＝25上的任意兩點，且|PQ|<6，若PQ中點組成的區(qū)域為M，在圓C內任取一點，則該點落在區(qū)域M上的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(9,25)C.eq\f(16,25) D.eq\f(2,5)解析：選B.PQ中點組成的區(qū)域為M，如圖陰影部分所示，那么在C內部任取一點落在M內的概率為eq\f(25π－16π,25π)＝eq\f(9,25)，故選B.2．如果X～B(20，p)，當p＝eq\f(1,2)且P(X＝k)取得最大值時，k的值為()A．8 B．9C．10 D．11解析：選C.當p＝eq\f(1,2)時，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(20－k)＝Ceq\o\al(k,20)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(20)，顯然當k＝10時，P(X＝k)取得最大值．3．(2016·邯鄲調研)一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標有數(shù)字0，兩個面上標有數(shù)字1，一個面上標有數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是________．解析：設向上的數(shù)之積為X，則隨機變量X的取值為0，1，2，4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此EX＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)4．已知離散型隨機變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析：由題意得，a＋b＋c＋eq\f(1,12)＝1，①因為EX＝0，所以－1×a＋0×b＋1×c＋2×eq\f(1,12)＝0，即－a＋c＋eq\f(1,6)＝0.②因為DX＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×eq\f(1,12)＝1，即a＋c＝eq\f(2,3).③聯(lián)立①②③解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).答案：eq\f(5,12)eq\f(1,4)5．(2016·遼寧省五校聯(lián)考)在某次考試中，從甲、乙兩個班各抽取10名學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，兩個班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分的為及格．(1)用樣本估計總體，請根據(jù)莖葉圖對甲、乙兩個班級的成績進行比較；(2)從甲班10名學生和乙班10名學生中各抽取一人，求有人及格的條件下乙班同學不及格的概率；(3)從甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取2人，3人中及格人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望．解：(1)從莖葉圖可以得到：甲班平均分為89分；乙班平均分為89分．甲班的方差大于乙班的方差．所以甲、乙兩班平均分相同，但是乙班比甲班成績更集中更穩(wěn)定．(2)事件“從甲班10名學生和乙班10名學生中各抽取一人，已知有人及格”記為A；事件“從甲班10名學生和乙班10名學生中各抽取一人，乙班同學不及格”記為B，則P(B|A)＝eq\f(P（A·B）,P（A）)＝eq\f(\f(4,10)×\f(5,10),\f(4,10)×\f(5,10)＋\f(6,10)×\f(5,10)＋\f(4,10)×\f(5,10))＝eq\f(2,7).(3)X的取值為0，1，2，3，X的分布列為X0123Peq\f(2,15)eq\f(19,45)eq\f(16,45)eq\f(4,45)期望EX＝eq\f(7,5).6．(2016·成都調研)為了豐富學生的課余生活，促進校園文化建設，我校高二年級通過預賽選出了6個班(含甲、乙)進行經典美文誦讀比賽決賽．決賽通過隨機抽簽方式決定出場順序．求：(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率；(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望．解：(1)設“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件A，則P(A)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為eq\f(1,15).(2)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4.P(X＝0)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(4×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(Aeq\o\al(3,4)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).所以隨機變量X的分布列為X01234Peq\f(1,3)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(1,15)因此，EX＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(1,15)＝eq\f(4,3).1．(2016·郴州一模)某次數(shù)學測驗共有10道選擇題，每道題均有四個選項，且其中只有一個選項是正確的，評分標準規(guī)定：每選對1道題得5分，不選或選錯得0分．某考生每道題都選并能確定其中有6道題能選對，其余4道題無法確定正確選項，但這4道題中有2道題能排除兩個錯誤選項，另2道只能排除一個錯誤選項，于是該考生做這4道題時每道題都從不能排除的選項中隨機選一個選項作答，且各題作答互不影響．(1)求該考生本次測驗選擇題得50分的概率；(2)求該考生本次測驗選擇題所得分數(shù)的分布列和數(shù)學期望．解：(1)設選對一道“能排除2個選項的題目”為事件A，選對一道“能排除1個選項的題目”為事件B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3).該考生選擇題得50分的概率為P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36).(2)該考生所得分數(shù)X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，P(X＝35)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝40)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(13,36)，P(X＝45)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝50)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36).該考生所得分數(shù)X的分布列為X3035404550Peq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(13,36)eq\f(1,6)eq\f(1,36)所以EX＝30×eq\f(1,9)＋35×eq\f(1,3)＋40×eq\f(13,36)＋45×eq\f(1,6)＋50×eq\f(1,36)＝eq\f(115,3).2．(2016·洛陽統(tǒng)考)在某學校的一次選拔性考試中，隨機抽取了100名考生的成績(單位：分)，并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表：組別[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)5182826176(1)求抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認為這次成績z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2)，且規(guī)定82.7分是復試線，那么在這2000名考生中，能進入復試的有多少人？(附：eq\r(161)≈12.7，若z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)＝0.9544，結果取整數(shù)部分)(3)已知樣本中成績在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選3人進行回訪，記選出的男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望Eξ.解：(1)樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70，s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161.(2)由(1)知，z～N(70，161)，從而P(z＞82.7)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587，所以能進入復試的人數(shù)為2000×0.1587≈317.(3)顯然ξ的取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al