2020-2021學(xué)年蘇教版高一必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步單元同步基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、單選題

1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的AABC的直觀圖VA'3'C如圖所示，則在AABC的三

邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

2.下面給出的命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面

②平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形

③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

④有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

A.1B.2C.3D.4

3.已知m,n表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不重合的平面，下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若m//a,ml/（3,則a///?B.若m//a,n!la,則血

C.若，〃_L。，〃_La,則加〃〃D.若加_La,mLn,則〃//a

4.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.則在這個(gè)正方體中：

①與￡￡＞平行；②CN與8E是異面直線；③CN與3M成60°角；④ZW與

8N是異面直線.

以上四個(gè)命題中，正確的命題序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①④D.③④

5.如圖，在正方體ABC?！?4G。中，分別為CG，8C,OC的中點(diǎn)，則

下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.MNHAD,

B.PM與A4是異面直線

C.平面平面肱VP

D.M/V〃平面A4GA

6.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（）

1+211+2乃1+2乃1+47

A.---------B.---------C.---------D.---------

4"2萬(wàn)712萬(wàn)

7.已知三棱錐A—8CZ）的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且A8J_平面BC。，

AB=2拒,AC^AD=4,CD=2五,則球。的表面積為（）

A.20乃B.18萬(wàn)C.36萬(wàn)D.24%

8.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉嚅,

如圖，在鱉膈A8CD中，ABL平面8CD,且AB=8C=CD,則異面直線AC與B。所成角的

余弦值為（）

A

BD

1

A.B.----C.2

22

二、多選題

9.已知a,6是兩個(gè)不重合的平面,m,。是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是

()

A.若mlln,m±a,則n_LaB.若mila,an6=n,貝！jmlln

C.若m_La,m_L6,則all6D.若m_La,miln,nII6,則all6

10.用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的

高之比為1:2,則關(guān)于上、下兩空間圖形的說(shuō)法正確的是（）

A.側(cè)面積之比為1:4B.側(cè)面積之比為1:8

C.體積之比為1:27D.體積之比為1:26

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.在正方體ABCD-AiBiGDi中，直線BDi與&C是異面直線；

B.正方形的直觀圖是正方形；

C.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓，則圓錐的母線是底面半徑的2倍;

D.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

12.如圖，在四棱錐中，底面A3CD是正方形，24,底面ABCD,

PA=AB,截面BOE與直線PC平行，與私交于點(diǎn)E，則下列判斷正確的是（）

p

A.E為F4的中點(diǎn)

IT

B.P8與CD所成的角為一

3

C.平面BDE，平面PAC

D.點(diǎn)P與點(diǎn)A到平面BOE的距離相等

13.已知點(diǎn)P,。分別是一個(gè)正方體的外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，且尸，。之間距離

的最大值為避上1,則

2

A.正方體的體積為1

B.正方體的內(nèi)切球的體積為三

c.正方體的外接球的表面積為6%

D.P,。之間的距離最小值為史二1

2

14.在正方體中，點(diǎn)尸是線段A4上的動(dòng)點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有

（）

A.80〃平面AD|P

B.D.PLA.C

ITIT

c.2P與G。所成角的取值范圍為

D.P是AB1中點(diǎn)時(shí)，直線尸3與平面8G。所成的角最大

三、填空題

15.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖）,

NABC=45°,AB=AD=l,DC1.則這塊菜地的面積為.

16.棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則該球的體積為（注：

4

球的體積v=—其中R為球的半徑）

3

17.圓錐底面半徑為1,母線長(zhǎng)為4,軸截面為Q43,如圖，從A點(diǎn)拉一繩子繞圓錐側(cè)

面一周回到A點(diǎn)，則最短繩長(zhǎng)為.

18.在棱長(zhǎng)為9的正方體ABCD-AB'C'。'中，點(diǎn)E，尸分別在棱AB，DD'k,滿

4Z?r）'r

足一=——=2,點(diǎn)P是。。'上一點(diǎn)，且PB〃平面CEV,則四棱錐外

EBFD

接球的表面積為.

19.如圖，多面體OABCD,AB=CD=2,AD=BC=2^>AC=BD=410.

且OA,OB,0c兩兩垂直，給出下列5個(gè)結(jié)論：

①三棱錐0-ABC的體積是定值；

②球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、。四點(diǎn)的球的直徑是屈；

③直線06//平面AC。；

④直線A￡＞與0B所成角是60°；

⑤二面角A—OC—D等于30。.

四、解答題

20.如圖，在正方體ABC。-45GA中，點(diǎn)E為棱。。的中點(diǎn).

(1)求證：B。//平面ACE；

(2)求異面直線AE與8。所成角的余弦值.

21.已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長(zhǎng)為8,寬為6的長(zhǎng)方形，頂點(diǎn)在底

面投影為底面中心，高為4.

(1)求該幾何體的體積V;

(2)求該幾何體的側(cè)面積S.

22.如圖，在矩形ABC。中，AB=0,BC=2,E為BC的中點(diǎn)，把小ABE^n^CDE

分別沿AE,DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P.

(1)求證：PE_L平面尸4)；

(2)求二面角P—AD-七的大小.

23.如圖，已知正四棱柱A8C0-4月G。中，A3=l，AA=0，M為的

中點(diǎn).

(1)求證：A8〃平面MAC；

(2)過(guò)作正四棱柱ABCO-A/CIA的截面，使得截面平行于平面MAC,在正

四棱柱表面應(yīng)該怎樣畫(huà)線？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出截面的面積.

24.如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，AD//BC,A￡>=3,BC=4,M為線段AO

上點(diǎn)，且滿足AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面PAB；

V,

(H)設(shè)三棱錐N—BCM的體積為匕，四棱錐P—A8CD的體積為匕，求色.

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)VA'8'C'的形狀還原得到AABC的形狀，由此確定出最長(zhǎng)的線段.

【詳解】

根據(jù)VAB'C'的形狀可知AABC的形狀如下圖：

由圖可知，最長(zhǎng)的線段為AC,

故選：D.

2.C

【分析】

根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)棱柱的特征可得，一個(gè)棱柱的底面至少有三條邊，所以至少有5個(gè)面；即①正確；

由平行六面體的概念和性質(zhì)，可知：平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形；即

②正確；

根據(jù)正棱錐的特征可得，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形；即③正確；

根據(jù)棱臺(tái)的特征可知：棱臺(tái)是棱錐截得的，側(cè)棱的延長(zhǎng)線要交于同一點(diǎn)。有兩個(gè)面平行且相

似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體，不能保證側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，因此該多面體不一

定是棱臺(tái)，即④錯(cuò)；

因此正確的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選：C.

3.C

【分析】

由線面和面面的位置關(guān)系可判斷A;根據(jù)線面平行及線線的位置關(guān)系判斷B；根據(jù)線面垂直

的性質(zhì)定理判斷C；由線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可判斷O.

【詳解】

解：對(duì)于A：若m//a,mlIp,則a///或e,夕相交，A錯(cuò)；

對(duì)于B,若加//a,〃//a,則加與〃相交、平行或異面，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加_La,nLa,則加〃〃，故C正確；

對(duì)于D,若加_La,mLn,則或"ua,故D錯(cuò)誤；

故選：C

【分析】

將展開(kāi)圖復(fù)原為幾何體，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)，逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】

解：展開(kāi)圖復(fù)原的正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知

8M與ED是異面直線，所以①錯(cuò)誤；

CN與3E是平行直線，所以②錯(cuò)誤；

連接4V,AC,則AN與8M,所以NANC或其補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，因

為AANC為等邊三角形，所以NA7VC=6O°,所以CN與成60°角，所以③正確；

與8N是異面直線，所以④正確，

故選：D

NM

【分析】

由中位線性質(zhì)可證得MN〃8G〃A。，知A正確;

由異面直線的定義可知B正確;

利用線面平行判定定理可證得MN〃平面AgA,NP〃平面ABR,由面面平行的判定知

C正確；

根據(jù)空間中直線與平面位置關(guān)系的判斷知D錯(cuò)誤.

【詳解】

連接AC,4GBCt,

對(duì)于A,分別為CG，8C中點(diǎn)，,

又BC、HAD\,:.MNHAD\,A正確；

對(duì)于B,A4u平面ACGA,MG平面ACGA，尸金平面ACGA，

直線PM與AH為異面直線，B正確；

對(duì)于C,由A知：MNHAD,,又AD|U平面MNU平面ABQ1，；.MN〃平面

AB,D,,同理可證：NP〃平面AB】5,

,;MNCNP=N,MN,NPu平面MNP,.?.平面ABQ〃平面M/VP,c正確；

對(duì)于D,???MN//BQ,且BQPlB￡=G,MN,BC,,片Gu平面BCC.B,,

與與G相交，又與Gu平面A4G。，.?.仞N與平面4gGA相交，D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.B

【分析】

根據(jù)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，得到圓柱的高和底面半徑之間的關(guān)系，然后求出圓柱

的表面積和側(cè)面積即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)圓柱的底面半徑為r,圓柱的高為〃,

???圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，

2萬(wàn)r=h,

圓柱的側(cè)面積為2/Z7%=4/r,

圓柱的兩個(gè)底面積為2乃產(chǎn),圓柱的表面積為24/+2］由=21f+4//,

圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：2萬(wàn)戶;4丁尸=匕生,

4乃r2萬(wàn)

故選：B.

7.A

【分析】

根據(jù)A5_L平面BCD,得到AB_LBC,ABLBD，再由AB=2g，AC=AD=4,

CD=2也，得到3C_L3O,則三棱錐A-BCD截取于一個(gè)長(zhǎng)方體，然后由長(zhǎng)方體的外

接球即為三棱錐的外接球求解.

【詳解】

因?yàn)锳B_L平面BCD,

所以ABLBC,ABLBD,

???BC=BD=M-(2廚=2,

在△BCD中，CD=2叵,

CD2=BC2+BD2,

BCA.BD.

如圖所示：

三棱錐A-BCD的外接球即為長(zhǎng)方體AGFH-BCED的外接球,

設(shè)球。的半徑為R,則2R=yjBA1+BC1+BD2=7（2A/3）2+22+22=275，

解得R=布,

所以球。的表面積為20兀，

故選：A.

8.A

【分析】

如圖所示，分別取AB，AD,BC,8。的中點(diǎn)E，F(xiàn),G,。，則印//BD,EG//AC,

FO1OG,NEEG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成角.

【詳解】

解：如圖所示，

分別取A3,AD，BC,80的中點(diǎn)E，F(xiàn),G,。，貝IJER//8D,EGIIAC,FO1OG,

NFEG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BO所成角.

設(shè)AB=2a>則EG-EF-叵a，F(xiàn)G=yla2+a2=,

r.N五EG=60°,

異面直線AC與30所成角的余弦值為J，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)

題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

[71

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,5，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角

作為兩條異面直線所成的角.

9.AC

【分析】

利用空間線面、面面位置關(guān)系的判定選項(xiàng)A,C正確；通過(guò)空間想象舉反例判斷選項(xiàng)B,D不正

確.

【詳解】

A.miln,m±a,則"_La,所以該選項(xiàng)正確；

B.由mila,anp=n,則m與n的位置關(guān)系不確定，可能平行或異面，所以該選項(xiàng)不正確;

C.m_La,m±p,則all。正確，所以該選項(xiàng)正確；

D.m±a,miln,nilP，則aJ_0,所以該選項(xiàng)不正確.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：空間直線平面位置關(guān)系的判斷，常用的方法有：（1）舉反例；（2）證明.要根據(jù)

已知條件靈活選擇方法求解.

10.BD

【分析】

計(jì)算出小棱錐與原棱錐的相似比，結(jié)合兩個(gè)棱錐側(cè)面積之積為相似比的平方、體積之比為相

似比的立方可求得結(jié)果.

【詳解】

依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺(tái)，

所以小棱錐與原棱錐的底面邊長(zhǎng)之比為1:3,高之比為1:3,

所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為1：9,體積之比為1:27,

即小棱錐與棱臺(tái)的側(cè)面積之比為1:8,體積之比為1:26.

故選：BD.

11.AC

【分析】

利用異面直線的判定定理判斷選項(xiàng)A；根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法判斷選項(xiàng)B；設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,

底面圓的半徑為r,由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),

扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，列方程可得圓錐的母線和底面半徑的關(guān)系；對(duì)于D,利用棱

柱的定義判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A,正方體ABCD-4&C1D1中，：BDm平面8CGBi=8,BQ印面BCJBi,B邨C

由異面直線判定定理得BDi與81c是異面直線，正確；

對(duì)于B,由平行或重合于x軸的長(zhǎng)度不變，平行或重合于y軸的長(zhǎng)度不變，可得正方形的直

觀圖不是正方形，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/，底面圓的半徑為r,根據(jù)題意得2pr=18°吸,,則/=2r,

180

正確；

對(duì)于D,有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，錯(cuò)誤；

故選：AC

12.ACD

【分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理，結(jié)合線線角的求法，以及線段兩端點(diǎn)到

平面距離相等的條件，選出正確答案.

【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，連接AC交3。于點(diǎn)M，連接EAZ，如圖所示，

?;PC〃面BDE，PCu面APC,且面APCD面8￡>E=￡M，...PCV/EM,

又?.?四邊形ABC。是正方形，二川為AC的中點(diǎn)，

E為Q4的中點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，?.?A3//CD,/PR4為PB與所成的角,

ABl面ABCD,.-.PA±AB<

jr

在中，PA=AB>Z.PBA.=—,故B錯(cuò)誤；

4

對(duì)于C項(xiàng)，PA_L面ABC。，BOu面ABCD,-.PALBD，

又AC工BD,ACcQ4=A,AC,PAPAC

??.B。！.面PAC,又Mu平面BDE，故C正確.

因?yàn)镽4c平面&）E=E，且E為線段Q4的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)P與點(diǎn)A到平面BDE的距離相等，所以D正確；

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，解題思路如下：

（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可以判斷A項(xiàng)真假；

（2）利用異面直線所成角的定義找其平面角，求得大小，判斷B項(xiàng)真假；

（3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面PAC,判斷C項(xiàng)真假；

（4）根據(jù)當(dāng)平面過(guò)線段中點(diǎn)時(shí)?，線段兩端點(diǎn)到平面的距離相等，判斷D項(xiàng)真假.

13.ABD

【分析】

正方體外接球半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，

P,。之間距離的最大值為避上L而P,Q分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，所以

2

PQma,=立。+0=1+1。=立±1,即可解得。=1,即可判斷.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則正方體外接球半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即正a，內(nèi)切球半徑為

2

棱長(zhǎng)的一半，即巴，

2

P，。分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn),

\/3a+1\/3+1.

PQ=2!—a+-=2-----a='-----，解得a=l，

n,dX2222

正方體體積為1,A正確;

內(nèi)切球體積為B正確;

6

正方體外接球表面積為4萬(wàn)3萬(wàn)，（:不正確;

CCA/3ay/3—1-r-rit

PQ=—a一一=-----,D正確.

ni,n222

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題的關(guān)鍵在如何求出棱長(zhǎng)，易錯(cuò)點(diǎn)在于明確"正方體外接球半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，內(nèi)

切球半徑為棱長(zhǎng)的一半”.

14.ABD

【分析】

證明BDII平面ADg，即可判斷A;證明ACL平面ARB］，即可判斷B;根據(jù)CQHAB、，即

可確定與所成角的取值范圍，即可判斷C;根據(jù)可確定直線依與平面

所成的角最大角取法，即可判斷D.

【詳解】

在正方體ABC?！狝gCq中，8?！?2,3。2平面494，月。1匚平面4。4，

所以BD〃平面AO￡,因?yàn)辄c(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面=平面AR四，即

〃平面AD/,故A正確;

在正方體48。。一4反。|。中，_L與n_L平面

AGC4n，AC,同理可證A。14。,從而4。，平面A。耳，

因?yàn)辄c(diǎn)尸是線段AB】上的動(dòng)點(diǎn)，所以"Pu平面40耳,因此。故B正確；

在正方體A5CO—A4G。中，C、DHAB\,所以RP與G。所成角為與A4所成角,

TC71

而AA￡>4為正三角形，所以。尸與CQ所成角的取值范圍為y,y,故C錯(cuò)誤；

在正方體ABC。—A4G。中，C\DIIAB\,所以當(dāng)P到3距離最小時(shí)，直線PB與平面

BG。所成的角最大，即p是AB1中點(diǎn)時(shí)，直線〃3與平面8G。所成的角最大，故D正確,

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行判斷、線面垂直判斷、線線角以及線面角，考查綜合分析判斷能力，屬中

檔題.

15.2+—V2

2

【分析】

按斜二測(cè)畫(huà)直觀圖的原則，找到四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，

即把直觀圖中的點(diǎn)還原回原圖形中，連接后得到原圖形，然后利用梯形面積公式求解.

【詳解】

如圖，直觀圖四邊形的邊在V軸上，在原平面直角坐標(biāo)系下在x軸上，長(zhǎng)度不變.

點(diǎn)A在y'軸上，在原平面直角坐標(biāo)系圖形中在y軸上，且4"長(zhǎng)度為直觀圖中的2倍.

在直觀圖四邊形中AO//V軸，所以在原平面直角坐標(biāo)系下AO'//x軸，長(zhǎng)度不變.

所以在原平面直角坐標(biāo)系中A'B'C'D'為直角梯形.

在直觀圖四邊形中，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為E，

則在直觀圖中，AA3E為等腰直角三角形且AB=AT)=1,BE=W，則BC=1+注

22

歷

所以在原平面直角坐標(biāo)系中B'C'=l+—,=2,A'。'=1

2

所以梯形AB'C'D面積為1xM也

21+1+2J2=2+~T

故答案為：2+也

2

16.46兀

【分析】

根據(jù)正方體的對(duì)角線與其外接球的半徑之間的關(guān)系求出半徑，然后由球的體積公式即可求出

外接球的體積.

【詳解】

解：由正方體的對(duì)角線即為其外接球的直徑2R,可得（2/?y=3x22,解得R=g,

所以該正方體外接球的體積V=g乃R3=；萬(wàn)=48萬(wàn).

故答案為：4G不.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則其外接球的半徑/?=且a；其內(nèi)切球的半徑R=f.

22

17.4A/2

【分析】

把圓錐側(cè)面展開(kāi)為一個(gè)平面圖形，利用平面上兩點(diǎn)間線段最短可得.

【詳解】

27rX1TC7T

由題意r=l,/=4,所以圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中心角為。=------=-,如圖，ZAPA'=-,

422

則A4'=及x4=4&-

故答案為：4逝.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐側(cè)面上的最短距離問(wèn)題，空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)

題的解決方法常常是把幾何體的表面展開(kāi)攤平為一個(gè)平面圖形，利用平面上兩點(diǎn)間線段最短

求解.

18.178〃

【分析】

以D為原點(diǎn),DA，DC,分別為x，Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(O,O,f),由PB〃

平面CE尸可得P點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)四棱錐P-ABCD的特點(diǎn)可得外接球的直徑可得答案.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，DA,DC,DU分別為％%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

______.AED'F

，田——=----=2,

EBFD

則E(9,6,0),C(0,9,0),尸(0,0,3),8(9,9,0),設(shè)P((W),

：.EC=(-9,3,0),CF=(O,-9,3),而=(9,9,T)

設(shè)平面FEC的法向量為n=(x,y,z),

n-EC-0-9x+3y=01

則《,即《ccc，不妨令z=3,則y=l,x==

n-CF=Q—9y+3z=03

得"=因?yàn)镻B〃平面CEF,

所以加工二。，Gp|x9+lx9-3/=0,解得［=4，

所以「（0,0,4）,

由PD_L平面ABC。，且底面是正方形，

所以四棱錐P-ABCD外接球的直徑就是PB，

由麗=（9,9,Y）,得|而|

所以外接球的表面積S=4萬(wàn)=178萬(wàn)?

故答案為：178%.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐外接球的表面積的求法，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，確定球的半徑,

考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.

19.①②④

【分析】

由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，設(shè)。4=x,OB^y,OC=z,由已知解得x=l,y=43,z=3,

對(duì)于①，根據(jù)三棱錐的體積公式可判斷；

對(duì)于②，球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、￡）兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，由此可判斷;

對(duì)于③，由OB//AE可判斷；

對(duì)于④，由已知得ND4E即為直線AO與08所成的角，解三角形可判斷；

對(duì)于⑤，由已知得異面直線CD與OA所成的角大小為二面角A-OC-D的二面角大小，

解三角形可判斷；

【詳解】

由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，如下圖所示，設(shè)。4=x,OB=y,OC=z,

則X2+），2=4,%2+z2=10>y2+z2=12,解得，x=1,y—>/3,z=3,

對(duì)于①，三棱錐O—ABC的體積為goCxgoAxOB=乎，故①對(duì)；

對(duì)于②，球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、。兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即為

JIFF后=而,故②對(duì)；

對(duì)于③，由于03//AE,AE和平面ACO相交，則QB和平面ACD相交，故③錯(cuò).

對(duì)于④，由于QB//AE,則ND4E即為直線AO與OB所成的角，

由tanND4E=2^=6,則ND4E=60°,故④對(duì)；

AE

對(duì)于⑤，因?yàn)锳OJ.OC，DC±OC,所以異面直線CO與OA所成的角大小為二面角

APL

A—OC—。的二面角大小，連接OE,則NAOE為所求，tanZAOE=^=V3,所以

OA

NAOE=60°；⑤錯(cuò)誤；

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決幾何體相關(guān)的外接球等問(wèn)題時(shí)，補(bǔ)全幾何體是常用的一種方法，利用補(bǔ)全的

幾何體的性質(zhì)研究原幾何體的性質(zhì).

20.（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫.

5

【分析】

（1）連接BD與AC交于點(diǎn)。，根據(jù)。，E為為中點(diǎn)，易得。E//BA，再利用線面平行的判

定定理證明；

（2）根據(jù)（1）,由。E//8Q得到異面直線4后與8。所成的角，然后證得

AC1OE,得到AAOE是直角三角形求解.

【詳解】

(1)如圖所示:

連接8D與AC交于點(diǎn)。，

因?yàn)?。，E為為中點(diǎn)，

所以。E//BA，又OEu平面ACE,802平面ACE，

所以8。//平面ACE；

(2)由(1)知OE//BD],則NAEO異面直線AE與BR所成的角,

在正方體ABCZ)—4旦。]。|中，

因?yàn)锳C,BZ),ACJ,且

所以AC_L平面用8。。，又因?yàn)镺Eu平面480。，

所以AC_LOE,

所以AMOE是直角三角形，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則A0=￡,0E=2a，

22

所以AE=yJOE2+AO2=—,

2

G

T近

OE=

所以cosNAEO=——石5

AE

2

故答案為：叵

5

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類(lèi)型：利用圖中已

有的平行線平移：利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.

21.(1)64；(2)40+24萬(wàn)

【分析】

(1)利用棱錐的體積公式直接計(jì)算；

(2)先利用勾股定理求得各側(cè)面上的斜高，再求各側(cè)面面積之和即得棱錐的側(cè)面積.

【詳解】

(1)幾何體的體積為

曠=3.5矩形,〃=：乂6*8*4=64?

(2)正側(cè)面及相對(duì)?側(cè)面底邊上的高為：

%=+3?=5-

左、右側(cè)面的底邊上的高為：

月="2+42=4萬(wàn)

故幾何體的側(cè)面面積為：

S=2x(；x8x5+；x6x40)=4O+240.

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐的體積和側(cè)面積的求法，求側(cè)面積關(guān)鍵在于側(cè)面上的斜高的計(jì)算，關(guān)鍵要掌握

頂點(diǎn)在底面上的投影是底面中心的意義，知道高垂直于底面內(nèi)的直線，高于底面內(nèi)的邊心距

和側(cè)面的斜高構(gòu)成直角三角形.

71

22.(1)證明見(jiàn)詳解；(2)

4

【分析】

(1)由矩形的性質(zhì)知EC_LCD,EB_L84,由題意并根據(jù)線面垂直的判定即可證PE_1平

面PAD；

(2)過(guò)E作于尸，連接PF，由已知可證AD_L平面尸"，即知N/Y石為二

面角P—AD—E的平面角，結(jié)合余弦定理求其余弦值，進(jìn)而確定其大小.

【詳解】

(1)在矩形ABCO中，有EC上CD,EB上BA,

???由題意知：PE±PD,PE±PA,而燈）口上4=2，

PEJ_平面PAO；

（2）過(guò)E作所，AZ）于尸，連接PF，又AOu平面尸AD，

由（1）知：PELAD，而PEcEF=E,所以AZ）_L平面PEF，

,NPEE為二面角尸一4D—七的平面角，而AB=e,BC=2,

/-pp2+pF2-PE1比

PF=PE=1,FE=6,則cosZPFE=~—=—

2PF-FE2

,/ZPFEG[0,7r],

71

ZPFE=—.

4

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)、線面垂直的判定證明線面垂直；

（2）根據(jù)定義找到