第頁(yè)第六章圓6.1圓的有關(guān)性質(zhì)學(xué)用P64[過關(guān)演練](40分鐘80分)1.(2019·山東青島)如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,∠AOC=140°,點(diǎn)B是AC的中點(diǎn),則∠D的度數(shù)是(D)A.70° B.55°C.35.5° D.35°【解析】連接OB,∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn),∴∠AOB=12∠AOC=70°,由圓周角定理得∠D=12∠AOB=352.(2019·四川樂山)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就.它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長(zhǎng)1尺(AB=1尺=10寸),問這塊圓形木材的直徑是多少?”如圖所示,請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)計(jì)算圓形木材的直徑AC是(C)A.13寸 B.20寸C.26寸 D.28寸【解析】設(shè)☉O的半徑為r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,則有r2=52+(r-1)2,解得r=13,故☉O的直徑為26寸.3.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°,以BC為直徑的☉O交AB于點(diǎn)D,E是☉O上一點(diǎn),且CE=CD,連接OE,過點(diǎn)E作EF⊥OE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則∠F的度數(shù)為(CA.92° B.108° C.112° D.124°【解析】∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°,∵CE=CD,∴∠COE=2∠B=68°,又∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°,∴∠F=360°-90°-90°-68°=1124.如圖,☉O的半徑OD垂直于弦AB,垂足為C.連接AO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E.連接BE,CE,若AB=8,CD=2,則△BCE的面積為(A)A.12 B.15 C.16 D.18【解析】∵OD⊥AB,∴AC=BC=12AB=4,在Rt△AOC中,設(shè)半徑OA=OD=x,則OC=x-2,根據(jù)勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,∴AE=10,∵AE是☉O的直徑,∴∠ABE=90°,∴BE=AE2-AB2=102-82=6.∴S△5.如圖,AB是☉O的直徑,AC,BC分別與☉O相交于點(diǎn)D,E,連接DE,現(xiàn)給出兩個(gè)命題:①若AC=AB,則DE=CE;②若∠C=45°,記△CDE的面積為S1,四邊形DABE的面積為S2,則S1=S2.那么(D)A.①是真命題,②是假命題B.①是假命題,②是真命題C.①是假命題,②是假命題D.①是真命題,②是真命題【解析】由題意知四邊形DABE是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠CDE=∠B,若AC=AB,則∠B=∠C,∴∠CDE=∠C,∴DE=CE,∴①是真命題;連接BD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∵∠CDB=90°,∠C=45°,∴DCCB=22,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴S△DCES△BCA=12,∴6.(2019·山東泰安)如圖,☉M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)P是☉M上的任意一點(diǎn),PA⊥PB,且PA,PB與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,則AB的最小值為(C)A.3 B.4C.6 D.8【解析】∵PA⊥PB,∴∠APB=90°,∵AO=BO,∴AB=2PO,若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值,連接OM,交☉M于點(diǎn)P',當(dāng)點(diǎn)P位于P'位置時(shí),OP'取得最小值,過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,則OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵M(jìn)P'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6.7.(2019·吉林)如圖,A,B,C,D是☉O上的四個(gè)點(diǎn),AB=BC,若∠AOB=58°,則∠BDC=29°【解析】連接OC.∵AB=BC,∴∠AOB=∠BOC=58°,∴∠BDC=12∠BOC=8.如圖,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D,且AB=8cm,DC=2cm,則OC=5cm.

【解析】連接OA,因?yàn)榘霃絆C⊥AB于點(diǎn)D,所以AD=12AB=4cm,設(shè)☉O的半徑為xcm,在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5,所以O(shè)C=5cm9.(2019·湖北黃岡)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,則AC=23.

【解析】連接BD.∵AB是直徑,∴∠C=∠D=90°,∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,∴∠DAB=30°,∴AB=AD÷cos30°=43,∴AC=AB·cos60°=23.10.如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于☉O,點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn),連接OE,OF,分別與AB,BC交于點(diǎn)G,H,且∠EOF=90°,有下列結(jié)論:①AE=②△OGH是等腰直角三角形;③四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化;④△GBH周長(zhǎng)的最小值為4-2.其中正確的是①②.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

【解析】連接OA,OB,則有∠AOB=90°,又∠EOF=90°,所以∠AOE=∠BOF,所以AE=BF,故①正確;連接OC,則∠OBG=∠OCH=45°,OB=OC,∠BOG=∠COH,所以△OBG≌△OCH,所以O(shè)G=OH,△OGH是等腰直角三角形,故②正確;由△OBG≌△OCH,得S四邊形OGBH=S△OBG+S△OBH=S△OCH+S△OBH=S△OBC=14×42=4,所以四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而不變,故③錯(cuò)誤;設(shè)BG=x,則BH=4-x,GH=BG2+BH2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+811.(8分)如圖,MN是☉O的直徑,MN=4,點(diǎn)A在☉O上,∠AMN=30°,點(diǎn)B為AN的中點(diǎn),P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn).(1)利用尺規(guī)作圖,確定當(dāng)PA+PB最小時(shí)P點(diǎn)的位置;(不寫作法,但要保留作圖痕跡)(2)求PA+PB的最小值.解:(1)如圖,點(diǎn)P即為所求.(2)如圖,連接OA,OA',OB.由(1)可得,PA+PB的最小值即為線段A'B的長(zhǎng),∵∠AMN=30°,∴∠AON=∠A'ON=2∠AMN=60°.又∵點(diǎn)B為AN的中點(diǎn),∴∠BON=12∠AON=30°,∴∠A'OB=90°又∵M(jìn)N=4,∴OB=OA'=2.在Rt△A'OB中,由勾股定理得A'B=22+22∴PA+PB的最小值是22.12.(8分)如圖,AB是半圓的直徑,O是圓心,C是半圓上一點(diǎn),D是弧AC中點(diǎn),OD交弦AC于點(diǎn)E,連接BE,若AC=8,DE=2.(1)求半圓的半徑長(zhǎng);(2)求BE的長(zhǎng)度.解:(1)設(shè)圓的半徑為r,∵D是弧AC的中點(diǎn),∴OD⊥AC,AE=12AC=在Rt△AOE中,OA2=OE2+AE2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5,即圓的半徑長(zhǎng)為5.(2)連接BC,∵AO=OB,AE=EC,∴BC=2OE=6,∵AB是半圓的直徑,∴∠ACB=90°,∴BE=EC2+B13.(10分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點(diǎn),且OC∥BD,AD分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F.(1)求證:CB平分∠ABD;(2)若AB=6,OF=1,求CE的長(zhǎng).解:(1)∵OC∥BD,∴∠C=∠DBC,∵OC=OD,∴∠C=∠OBC,∴∠OBC=∠DBC,∴CB平分∠ABD.(2)∵OF∥BD,OA=OB,∴OF為△ABD的中位線,∴BD=2OF=2,∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,AD=62-22=42,∴而CF=OC-OF=3-1=2,∴CF=BD,在△CEF和△BDE中,∠∴△CEF≌△BED,∴DE=EF=2,在Rt△CEF中,CE=2214.(10分)如圖,點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不在BAD上,且不與點(diǎn)B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.(1)求證:BD是該外接圓的直徑;(2)連接CD,求證:2AC=BC+CD;(3)若△ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱圖形為△ABM,連接DM,試探究DM2,MA2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解:(1)∵∠ADB=∠ACB=45°,且∠ABD=45°,∴∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAD=90°,∴BD是△ABD外接圓的直徑.(2)如圖1,作AE⊥AC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵∠EAC=∠BAD=90°,∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,∴∠EAB=∠DAC.由∠ACB=∠ABD=45°,可得△ACE與△ABD是等腰直角三角形,∴AE=AC,AB=AD,∴△ABE≌△ADC,∴CD=BE.在等腰Rt△ACE中,由勾股定理,得CE=2AC.∵CE=BC+BE,∴2AC=BC+CD.(3)DM2=BM2+2MA2.證明:如圖2,延長(zhǎng)MB交圓于點(diǎn)F,連接AF,DF.∵∠BFA=∠ACB=∠BMA=45°,∴∠MAF=90°,MA=AF,∴MA2+AF2=2MA2=MF2.又∵AC=MA=AF,∴AC=又∵AD=AB,∴CD=BF,∴DF∵BD是直徑,∴∠BFD=90°.在Rt△MDF中,由勾股定理,得DM2=DF2+MF2,∴DM2=BM2+2MA2.[名師預(yù)測(cè)]1.如圖,☉O中,OA⊥BC,∠AOC=50°,則∠ADB的度數(shù)為(B)A.15° B.25° C.30° D.50°【解析】連接OB,∵OA⊥BC,∠AOC=50°,∴∠AOB=∠AOC=50°,則∠ADB=12∠AOB=25°2.如圖所示,☉O的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON=(A)A.5 B.7C.9 D.11【解析】因?yàn)镺N⊥AB,所以AN=12AB=12×24=12,∠ANO=90°.在Rt△AON中,由勾股定理得ON=OA3.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,CB=CD,∠CAD=30°,∠ACD=50°,則∠ADB=70°【解析】∵CB=CD,∠CAD=30°,∴∠CAD=∠CAB=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°,∵∠ACD=50°,∴∠ABD=50°,∴∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=704.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,過點(diǎn)C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接BE,若AD=365,sin∠EBC=2425,求☉O解:(1)∵CE∥AD,∴∠ACE=∠CAD,∵∠B=∠AEC,∠B=∠D,∴∠AEC=∠D,∴∠EAC=∠ACD,∴AE∥CD,∴四邊形AECD為平行四邊形.(2)作OH⊥CE于點(diǎn)H,連接OE,OC,如圖,則EH=CH=12CE∵CE=AD=365,∴EH=18∵∠EOC=2∠EBC,∠EOH=∠COH,∴∠EOH=∠EBC,在Rt△EOH中,sin∠EOH=EHOE∴OE=2524×185=1545.如圖,以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與AC,BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,且DE=(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由;(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sin∠ABD的值.解:(1)△ABC是等腰三角形.理由:∵DE=BE,∴∠EBD=∠∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°.∴∠CDE=∠C.∵四邊形ABED內(nèi)接于☉O,∴∠CDE=∠CBA,∴∠C=∠CBA,∴AC=AB,∴△ABC是等腰三角形.(2)∵∠CDE=∠C,∴CE=DE.∵DE=BE,∴DE=EB,∴CE=EB=12BC=12×∵☉O的半徑是5,∴AC=AB=10.∵∠CDE=∠CBA,∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴CDBC=CEAC,即CD12=6∴AD=AC-CD=10-7.2=2.8.∴在Rt△ADB中,sin∠ABD=ADAB6.如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且DC=DE.(1)求證:∠A=∠AEB;(2)連接OE,交CD于點(diǎn)F,OE⊥CD,求證:△ABE是等邊三角形.解:(1)∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠A+∠BCD=180°.∵∠DCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE.∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB.∴∠A=∠AEB.(2)∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等腰三角形.∵EO⊥CD,∴CF=DF.∴EO是CD的垂直平分線.∴ED=EC.∵DC=DE,∴DC=DE=EC.∴△DCE是等邊三角形.∴∠AEB=60°.∴△ABE是等邊三角形.7.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度數(shù);(2)求證:∠1=∠2.解:(1)∵BC=DC,∴BC=∴∠BAC=∠CAD=∠CBD.∵∠CBD=39°,∴∠BAC=∠CAD=39°.∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°.(2)∵EC=BC,∴∠CBE=∠CEB.∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠BAC,∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC.又∵∠BAC=∠CBD,∴∠1=∠2.8.如圖,已知☉O是△ABC的外接圓,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,AE∥BC,(1)求證:AD=CE;(2)如果點(diǎn)G在線段CD上(不與點(diǎn)D重合),且AG=AD,求證:四邊形AGCE是平行四邊形.解:(1)在☉O中,∵AB=AC,∴AB=AC,∴∠B=∠∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC.又∵BD=AE,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.(2)解法1:連接AO并延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)H,∵AB=