北師大南山附屬學(xué)校中學(xué)部2023-2024學(xué)年第二學(xué)期

九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試題

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）

LZ1

2.方程爐=3%的解是（）

A.x=3B.X=0

C.Xj=3,%2=0D.x.=-3,Xo=0

3.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=N向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度,

得到的拋物線的解析式是（）

A.y=（x-1）2+2B.y=（x-1）2-2C.y=（x+1）2-2D.y=

（x+1）2+2

z、Lk

4.已知（-1,4）是反比例函數(shù)y=2（Z*0）上一點(diǎn)，下列各點(diǎn)不在y=一上的是（）

XX

A.f—3,—jB.（2,2）C.（4,-1）D.

5.如圖，和△A與G是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若G為OC的中點(diǎn),

4G=3,則.一ABC的面積為（）

c/

A.15B.12C.9D.6

6.如圖，在工ABC中，AD平分NB4C,按如下步驟作圖：

第一步，分別以點(diǎn)4、力為圓心，以大于的長為半徑在AO兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、

2

N；

第二步，連接MN分別交A3、AC于點(diǎn)E、F；

第三步，連接?！?、DF.

若BD=6,CD=3,CF=2,則AE的長是（）

A.3B.4C.5D.6

7.下列說法正確的是（）

A.對角線垂直的平行四邊形是矩形

B.方程x2+4x+16=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.拋物線y=-X2+2X+3頂點(diǎn)為（1,4）

2

D.函數(shù)y=-一，y隨x的增大而增大

x

8.某棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬元，第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬元，問十一、

十二月份月平均增長率是多少？設(shè)月平均增長率的百分?jǐn)?shù)是x,則由題意可得方程為

()

A.100(%+1)2=331B.100(X+1)+100(X+1)2=331

C.100+100(X+1)2=331D.

100+100(x+l)+100(x+l)2=331

ab

9.已知反比例函數(shù)），=絲的圖象如圖所示,則二次函數(shù)），=辦2-力:和一次函數(shù)y=bx+a

x

在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

A.

10.如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)E在邊CO上，點(diǎn)”在邊A。上，CE=DH,CH交BE

于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)、G,連接GE.下列結(jié)論：①CH=BE；②CHLBE；③SACC￡=SCDH；

GF4

④當(dāng)E是C。的中點(diǎn)時(shí)，-=?：⑤當(dāng)比=2小時(shí)，S止小“6%形..其中

正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①③④⑤D.②④⑤

二.填空題(每題3分，共15分)

x32x-y

11.已知一==,則----

V5y

12.若關(guān)于x的一元二次方程/一2“+〃2=0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是

13.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點(diǎn)。，且分別交AB、CD于E、F,矩形A8CQ

內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)尸落在陰影部分的概率是.

14.如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,點(diǎn)A、B、C、。都在格點(diǎn)上，48與CD

相交于點(diǎn)0,則N40C的正弦值是

15.如圖，矩形ABC0的頂點(diǎn)3(10,8),點(diǎn)人，C在坐標(biāo)軸上，E是邊上一點(diǎn)，將

k

沿AE折疊，點(diǎn)B剛好與0C邊上點(diǎn)。重合，過點(diǎn)E的反比例函數(shù)y=—的圖象與邊A3交

x

于點(diǎn)F,則線段M的長為一.

三.解答題（共55分）

16.解方程:

(1)X(X+4)=2X+8；

(2)3/—4x-l=0；

（3）2cos600-sin245°+（-tan450）2022.

17.某中學(xué)為了解九年級學(xué)生的體能狀況，從九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測

試，測試結(jié)果分為AB,C,。四個(gè)等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖（不完整）中的信息回答下

（2）“C等級”在扇形圖中圓心角度數(shù)為

（3）若該中學(xué)九年級共有700名學(xué)生，請你估計(jì)該中學(xué)九年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為。等

級學(xué)生人數(shù)；

（4）若從體能測試結(jié)果為A等級的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，作為該校培

養(yǎng)運(yùn)動員的重點(diǎn)對象，請用列表或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.

18.如圖所示，無人機(jī)在生活中的使用越來越廣泛，小明用無人機(jī)測量大樓的高度.無人機(jī)

懸停在空中E處，測得樓樓頂A的俯角是60。，樓C。的樓頂C的俯角是45°,已知

兩樓間的距離5。=100百米，樓A8的高為10米，從樓的A處測得樓C。的C處的

仰角是30°.(A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)).

BD

(1)求樓CD的高；

(2)小明發(fā)現(xiàn)無人機(jī)電量不足，僅能維持60秒的飛行時(shí)間，為了避免無人機(jī)掉落砸傷人，

站在A點(diǎn)的小明馬上控制無人機(jī)從E處勻速以5米/秒的速度沿E4方向返航，無人機(jī)能安

全返航嗎？

19.如圖，在ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作BE_LCD于點(diǎn)E,延長CD

到點(diǎn)F,使DF=CE,連接AF.

(1)求證:四邊形ABEF是矩形；

(2)連接OF,若AB=6,DE=2,ZADF=45°,求OF長度.

20.某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：售價(jià)

在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價(jià)每上漲I元，其銷售量就將減少10個(gè)，設(shè)該商場

決定把售價(jià)上漲x(0<X<20)元.

(1)售價(jià)上漲x元后，該商場平均每月可售出_____________個(gè)臺燈(用含x的代數(shù)式表示);

(2)為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺

燈多少個(gè)？

(3)臺燈售價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售利潤最大？

21.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括

函數(shù)性質(zhì)的過程.以下是我們研究函數(shù)y=x+|-2x+6|+機(jī)性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請

按要求完成下列各小題.

X???-2-1012345???

y.??654a21b7???

（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中，W及表格中a,b的值："2=,a=,

b=；

（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出該

函數(shù)的一條性質(zhì)：；

（3）已知函數(shù)y=3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

X

1-2,x+61+根>—的解集.

x

22.（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形A3CO中，點(diǎn)Q分別在邊8C,A3上，DQ1AE

于點(diǎn)。，點(diǎn)G,尸分別在邊。，A3上，GFA.AE.

圖⑴

①求證：DQ-AE；

GF

②推斷：V-的值為；

AE

（2）類比探究：如圖（2）,在矩形A8C。中，變=攵（左為常數(shù)）.將矩形A8CD沿Gb

AB

折疊，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形fEPG,EP交CD于點(diǎn)、H,連接AE

交GF于點(diǎn)、0.試探究Gb與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

圖⑵

27

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP,當(dāng)女=§時(shí)，若tanNCGP=GF=2弧，

求CP的長.

北師大南山附屬學(xué)校中學(xué)部2023-2024學(xué)年第二學(xué)期

九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試題

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）

D.

【答案】B

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】從幾何體的正面看可得圖形:

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關(guān)鍵是由三視圖得到相應(yīng)的立體圖形.從正

面看到的圖是正視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的

線畫實(shí)線，被遮擋的線畫虛線.

2.方程犬=3彳的解是（）

A.x=3B.%=0

C.&=3,%=°D.玉=—3,X,=0

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配

方法，公式法，因式分解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】/—3兀=0,

x(x-3)=0,

..占=0,%2=3,

故選：C.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線丫=尤2向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度,

得到的拋物線的解析式是()

A.y—(x-1)2+2B.y=(x-1)2-2C.y=(x+1)2-2D.y=

(x+1)2+2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案.

【詳解】解：將拋物線y=Y向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到的拋

物線的解析式是y=(x-l『+2.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減，上加下減.并

用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

4.已知,(一1,4)是反比例函數(shù)y=k、(ZwO)上一點(diǎn)，下列各點(diǎn)不在y=k生上的是()

A.f-3>—JB.(2,2)C.(4,-1)D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出k的值，再分別判斷即可.

k

【詳解】(一1，4)是反比例函數(shù)y=N0)上一點(diǎn),

左二—1x4=—4；

4k

A.-3x—=-4=攵，故在）=一上；

3x

k

B.2x2=4wZ，故不在y=一上；

x

k

C.4x（-1）=-4=A:,故在y=一上；

x

ik

D.一一x8=-4，故在y=一上；

2x

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟記孫二攵是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，ABC和4G是以點(diǎn)。為位似中心的位似三角形，若G為0C的中點(diǎn),

S△A[B]G3,則一ABC的面積為（）

A.15B.12C.9D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)G為。。的中點(diǎn)，則位似比為史Ln」，再根據(jù)相似比等于位似比，面積比

0C2

等于相似比的平方便可求解.

【詳解】???和△AgG是以點(diǎn)。為位似中心位似三角形，G為OC的中點(diǎn)，

△A/iG面積是3,

.0G_1

??----=一，

0C2

1G_]

q-4

3=1

==3

解得：SAABC=12?

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查位似比等于相似比，同時(shí)面積比是相似比的平方，掌握知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

6.如圖，在中，A。平分NB4C,按如下步驟作圖：

第一步，分別以點(diǎn)A、。為圓心，以大于的長為半徑在AO兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)例、

2

N；

第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)&F；

第三步，連接DE、DF.

若BD=6,CD=3,CF=2,則AE的長是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知得出"N是線段的垂直平分線，推出A￡=OE，AF=DF，求出

DE//AC,DF//AE，得出四邊形AEO尸是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE=OE，

通過一BDEs二DCF,得到迎=匹，代入求出即可.

CDCF

【詳解】解：???根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線,

：?AE=DE，AF=DF，

???ZEAD=ZEDA，

???AD平分/B4C，

ABADACAD,

：.ZEDA=ZCAD,

：.DE//AC,

同理￡＞尸〃人后，

..?四邊形方是菱形，

；?AE=DE，

'：DE//AC,DF//AE，

：./FDC=ZB,ABED=ABAC=ZDFC,

:?-BDE^^ADCF，

..粵=匹，即”匹

CDCF32

解得DE=4，

AE=DE=4

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂直平

分線的性質(zhì)，能根據(jù)定理判四邊形AEDF是菱形是解此題的關(guān)鍵.

7.下列說法正確的是()

A.對角線垂直的平行四邊形是矩形

B.方程x2+4x+16=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為(1,4)

2

D.函數(shù)y=-一，y隨x的增大而增大

x

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)分

別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：A、對角線垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意：

B、方程x2+4x+16=0沒有實(shí)數(shù)根，故說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、拋物線y=-X2+2X+3的頂點(diǎn)為(1,4),正確，符合題意；

2

D、函數(shù)y=--,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，錯(cuò)誤，不符合題意，

x

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)的

性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及性質(zhì)，難度不大.

8.某棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬元，第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬元，問十一、

十二月份的月平均增長率是多少？設(shè)月平均增長率的百分?jǐn)?shù)是x,則由題意可得方程為

()

A.100U+D2=331B.100(X+1)+100(X+1)2=331

C.100+100(x+l)2=331D.

100+100(x+l)+100(x+l)2=331

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)月平均增長率的百分?jǐn)?shù)為x,根據(jù)棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬

元，第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬元，可列方程求解.

【詳解】解：設(shè)月平均增長率的百分?jǐn)?shù)是x,則

100+100(尤+1)+1000+1)2=331.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，是增長率問題，關(guān)鍵找出等量關(guān)系列出方程.

9.已知反比例函數(shù)尸藝的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=or2—2x和一次函數(shù)y=6x+a

X

在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

A.

【解析】

【分析】先根據(jù)拋物線廣以2一〃過原點(diǎn)排除4再由反比例函數(shù)圖象確定m的符號，再由

。、人的符號和拋物線對稱軸確定拋物線與直線廣法+。的位置關(guān)系，進(jìn)而得解.

【詳解】解：；當(dāng)k0時(shí)，y=ax2-2x=0,即拋物線產(chǎn)"2一2%經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

?反比例函數(shù)產(chǎn)收的圖象在第一、三象限，

X

ab>0,即a、1同號,

當(dāng)〃V0時(shí)，拋物線產(chǎn)以2_合的對稱軸尸,V0,對稱軸在〉軸左邊，故D錯(cuò)誤；

a

當(dāng)。>0時(shí)，b>0,直線尸bx+a經(jīng)過第一、二、三象限，故B錯(cuò)誤；

C正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象與

系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

10.如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)E在邊8上，點(diǎn)”在邊上，CE=DH,CH交BE

于點(diǎn)、F,交BD于點(diǎn)、G,連接GE.下列結(jié)論：①CH=BE；②CH上BE；③SAGCE=SGDH；

GF4

④當(dāng)￡是8的中點(diǎn)時(shí)，—=-；⑤當(dāng)EC=2Z）E時(shí)，S正方形A8s=6S四邊形其中

GE5

正確結(jié)論的序號是（）

B.①②③⑤C.①③④⑤D.②④⑤

【答案】A

【解析】

【分析】通過證明,EBC絲A”C￡）推出C"=3E,NDCH=NCBE即可判斷①；再證

明/BFC=90°,即可判斷②；利用角平分的性質(zhì)可證oGO"中?！斑叺母吲c&GCE中

CE邊的高相等，通過“等底等高”證明S&GCE=，即可判斷③；證明

△HGDs/\GCB,ECBsAECF,求出相關(guān)線段長度，可知當(dāng)E是。。的中點(diǎn)時(shí)，

5GF=4GE,即可判斷④；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，兩個(gè)等高的三角

形面積比等于底長的比，可證3正方形ASCD=5S四邊形OEGH，即可判斷⑤.

【詳解】解：四邊形A8CD是正方形，

.ZADC=NOCB=90。，AD=DC=CB=BA.

?：CE=DH,

..,EB"(SAS),

CH=BE,故①正確；

由①得NE5C=NHC。，

■■ZBCF+ZECF=90°,

：./EBC+/BCH=9Q°,

：.ZBFC=90°,

BE_LC”，故②正確；

之

BC

四邊形ABC。是正方形，

ZADB=NCDB=45°,即DB是ZADC的角平分線，

???點(diǎn)G到AO邊與CO邊的距離相等，

即二GDH中OH邊的高與-GCE中CE邊的高相等，

又EC=HD,

'''S&GCE=S&GDH，故③正確；

設(shè)正方形ABCO邊長為4a,

當(dāng)E是。。的中點(diǎn)時(shí)，BC=CD=4a,EC=HD=2a,

由勾股定理得：BE=y]BC2+CE2=2y[5a-CH7cbi+HD，=2亞a,

NHDG=NCBG=45。,ZHGD=NCGB,

/\HGDs.CGB,

HGHD2a\

~CG~~BC~^a~2,

.”2??46

??GC=—CH=-----a?

33

NBEC=ZCEF,ZECB=NEFC=90°,

IECB^.EFC,

EFCE

?-=,

CEBE

EF2a

2a2y/5a

?后

??EeF=-2----a，

5

CF=yjCE1-EF2=半。，

QR

?GF=GC—CF=±a，

15

GE=VCF2+EF2=-cz，

2-

GE亍a5

-----a

15

，當(dāng)E是。。的中點(diǎn)時(shí)，5GF=4GE,故④正確;

CE2

當(dāng)EC=2OE時(shí)，——=一，

CD3

DH=CE,DC=BC,

DH2

-----=-,

BC3

FHGDSMGB,

DHDH2

GDH中DH邊的高與DGC中CD邊的高相等,

CD-^C3*

S2

.?.----nH-U-rD-n—一―,

°DGCJ

設(shè)SHGD=4b,則scGB=9b,SDGC=6b,

SBCD=9b+6b=l5b,

?,S正方形Ago=2sBs=30b,

EC=2DE,

DE1

-----=一,

CD3

q

.uDEG_i

S°DCG―J3'

,?0DEG—乙,

??S四邊形DEGH=2b+4b=6b,

…S正方形ABCD=5s四邊形DEGH，故⑤錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形面積

公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是從圖

形中找出全等三角形和相似三角形.

二.填空題（每題3分，共15分）

r’x32x-y

11.已知一=z，貝ij-----=____________.

y5y

【答案】-##0.2

5

【解析】

3

【分析】由比例的基本性質(zhì)得：x=-y,把x的代數(shù)式代入即可求得值.

【詳解】解：由條件得：x=3y,則2x-y_2義5）'1

一

一-

5.5

yy

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)及求代數(shù)式的值，運(yùn)用比例的基本性質(zhì)是關(guān)鍵.

12.若關(guān)于x的一元二次方程召一2%+加=0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是.

【答案】m<l

【解析】

【分析】由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0,列出關(guān)于m的不等式，求

出不等式的解集即可得到m的取值范圍.

【詳解】解：???一元二次方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)解，

b2-4ac=22-4m>0,

解得：m<l,

則m的取值范圍是m<l.

故答案為：m<l.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的解與b2-4ac

有關(guān)，當(dāng)b2-4ac>0時(shí);方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)b2-4acV0時(shí)，方程無解.

13.如圖，過矩形ABC。對角線的交點(diǎn)。，且分別交AB、CD于E、F,矩形ABCQ

內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)尸落在陰影部分的概率是

【解析】

(分析］根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB=OD=OA=OC,利用ASA可證明△￡80也△EDO,

可得陰影部分的面積=S"印+S\KBO=S&AOB，根據(jù)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等可得

1

S-S=S即可得出S=；S距形ABCD，利用概率公式即可得答案.

42-AOB

05co

【詳解】?.?四邊形為矩形，

OB=OD=OA=OC,ABIICD,

：.NEBO=NFDO,

NEOB=ZDOF

在與△EDO中，,

NEBO=ZFDO

：.aEBgnFDO(ASA),

?..陰影部分的面積=S&AEO+SAEBO=S^AOB，

???_AOB與MOB等底等高，

,,sAOB—sCOB=5sABC,

SABC=-S矩形ABC。，

?c_J.C

,?OAOB-W」距形ABC。?

矩形ABCD內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)P落在陰影部分的概率是--

4

故答案為：一

4

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率、矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形當(dāng)性

質(zhì)并熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

14.如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,點(diǎn)A、B、C、。都在格點(diǎn)上，AB與CD

相交于點(diǎn)0,則NA0C的正弦值是

【答案】|3

【解析】

【分析】如圖，連接8E,過點(diǎn)E作EFLAB于點(diǎn)凡證明NABE=NAOC,再利用勾股定

理及等面積法求解BE,瓦從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接BE,過點(diǎn)E作于點(diǎn)F.

\'BD//CE.BD=CE.

四邊形Q8EC是平行四邊形.

：.BE//DC.

：.NABE=ZAOC.

,,AB=V22+42=2-75，

：.SARF^-AB.EF^-x2y/5xEF^-x3x2.

ABE222

?S3也

??Er=------

5

在心△8EF中，

,*BE—A/12+22=5/5,

375

./.,EF53

sinAABDEC==-^?=-=-

BE亞5

3

.*?sinZAOC=—.

5

3

故答案為：一

5

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正弦，掌握構(gòu)造直角三角形求解銳角的

正弦是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，矩形ABCO的頂點(diǎn)8(10,8),點(diǎn)人，C在坐標(biāo)軸上，E是8c邊上一點(diǎn)，將.ABE

k

沿AE折疊，點(diǎn)B剛好與0C邊上點(diǎn)。重合，過點(diǎn)￡的反比例函數(shù)y=—的圖象與邊A3交

x

【答案】—

4

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出

。。的長，進(jìn)而求出CO的長，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(10力)，勾股定理求出〃的值，進(jìn)而求出反

比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】解：,工人班沿AE折疊，點(diǎn)B剛好與OC邊上點(diǎn)。重合，

：.AD=AB=IO,DE=BE，

AO=8,AD=10,

.??OD=Vl02-82=6>

..8=10—6=4,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(10力)，

則CE=8,￡>￡=10-6,

QCU+CE?=DE°，

42+b2=(8-6)2,

解得b=3,

，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(10,3),

設(shè)反比例函數(shù)〉二",

X

k=10x3=30,

30

..?反比例函數(shù)解析式為y=——，

x

F點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,

.?30

??O—,

X

解得X——，即AF=—,

44

1525

:.BF=AB-AF=10一一-=—,

44

25

故答案為：—.

4

三.解答題（共55分）

16.解方程：

（1）x（x+4）=2x4-8；

（2）3X2-4X-1=0；

（3）2cos60°-sin245°+（-tan450）2022.

【答案】（1）%=-4,4=2

、_2+V?_2—V7

（2）X,=----------，=----------

133

⑶3

2

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，掌握一元二次方程的

解法，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

（1）因式分解法解方程即可；

（2）公式法解方程即可；

（3）將特殊角的三角函數(shù)值代入后，計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：x(x+4)=2x+8,

x(x+4)-2(x+4)=0,

(x+4)(x-2)=0,

%+4=0或x-2=0,

解得玉=—4,凡=2;

【小問2詳解】

3X2-4X-1=0，

。=3,b=-4,c=—1,

b2-4ac=(-4『-4x3x(-l)=28>0,

-b+ylb2-4ac4±V282±V7

?,x=------------------=----------=---------

2a63

2+V72-V7

133

【小問3詳解】

原式=2、」一(正］+(_1).2=1_'+1=3.

212J22

17.某中學(xué)為了解九年級學(xué)生的體能狀況，從九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測

試，測試結(jié)果分為AB,C,。四個(gè)等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖(不完整)中的信息回答下

列問題:

0人數(shù)20

-8

-

16

1

14

1

12

1

10

1

8

6

4

2

0

ABCD測試等級

(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(2)“C等級”在扇形圖中的圓心角度數(shù)為

(3)若該中學(xué)九年級共有700名學(xué)生，請你估計(jì)該中學(xué)九年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為。等

級的學(xué)生人數(shù);

(4)若從體能測試結(jié)果為A等級的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，作為該校培

養(yǎng)運(yùn)動員的重點(diǎn)對象，請用列表或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.

【答案】(1)50(2)115.2°

.1

(3)56名(4)-

6

【解析】

【分析】(1)用4等級的頻數(shù)除以它所占的百分比即可得到樣本容量；

(2)求出C等級的人數(shù)，進(jìn)而求出C等級所占的百分比，進(jìn)而求出相應(yīng)的圓心角的度數(shù)；

(3)用700乘以。等級的百分比可估計(jì)該中學(xué)八年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為。等級的學(xué)生

數(shù)；

(4)用列表法表示12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出抽取的兩人恰好都是男生的結(jié)果數(shù)，然后

根據(jù)概率公式求解.

【小問1詳解】

解：10?20%=50(名)，

答：本次抽樣調(diào)查共抽取了50名學(xué)生.

故答案為：50

【小問2詳解】

解：測試結(jié)果為C等級的學(xué)生數(shù)為：

50-10-20-4=16(名)，

360°x—=115.2°,

50

故答案為：115.2°

【小問3詳解】

4

解：一x700=56(名)

50

答：該中學(xué)九年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為。等級學(xué)生人數(shù)是56名.

【小問4詳解】

解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

人

第2三\男男女女

男男男女男女男

男男男女男女男

女男女男女女女

女男女男女女女

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的兩人恰好都是男生的結(jié)果數(shù)為2,

所以抽取的兩人恰好都是男生的概率=最=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果”，

再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目肛然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.也

考查了統(tǒng)計(jì)圖.

18.如圖所示，無人機(jī)在生活中的使用越來越廣泛，小明用無人機(jī)測量大樓的高度.無人機(jī)

懸停在空中E處，測得樓樓頂A的俯角是60。，樓8的樓頂C的俯角是45°,已知

兩樓間的距離8。=1006米，樓的高為10米，從樓的A處測得樓CO的C處的

仰角是30°.（A、B、C、D、￡在同一平面內(nèi)）.

（2）小明發(fā)現(xiàn)無人機(jī)電量不足，僅能維持60秒的飛行時(shí)間，為了避免無人機(jī)掉落砸傷人，

站在A點(diǎn)的小明馬上控制無人機(jī)從E處勻速以5米/秒的速度沿E4方向返航，無人機(jī)能安

全返航嗎？

【答案】（1）110m

（2）無人機(jī)能安全返航

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)A做AF//BD,交CO于點(diǎn)F,則

ZAFC=ZBDC=90°,A尸=3￡>=100Gm,然后解直角三角形AC尸即可求出CO的

長，進(jìn)一步即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)圖中的角度轉(zhuǎn)換可得到A￡=AC=200,然后計(jì)算出無人機(jī)返回時(shí)可飛行的路程,

比較即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

如圖所示,

過點(diǎn)A做AE〃即，交于點(diǎn)F,

二ZAFC=ZBDC=90°,AF=5。=100Gm

在RtAAFC中，ZCAF=30°,

???CF=AFtan300=100^x—=100m,AC=2Cb=200m,

3

C￡>=CF+F￡>=100+10=110m,

答：樓CO高110m；

【小問2詳解】

依題意可知，ZAEC=180°-60°-45°=75°,ZE4F=60°,

NC4F=30°,

；?ZE4C=ZEAF-ZCAF=60°-30°=30°,

在EAC中，ZECA=180°-ZE4C-ZAEC=180°-30°-75°=75°,

/.ZECA^ZAEC,

AE=AC=200m,

無人機(jī)可飛行距離：s=w=5x60=300m

300>200

A無人機(jī)能安全返航

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握銳角三

角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在.ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作BELCD于點(diǎn)E,延長CD

到點(diǎn)F,使DF=CE,連接AF.

(1)求證:四邊形ABEF是矩形；

(2)連接OF,若AB=6,DE=2,/ADF=45。，求OF的長度.

【答案】⑴見解析；(2)OF=V29.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD〃BC且AD=BC,等量代換得到BC=EF,推出四邊

形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊中線可得：OF=^AC,利用勾股定理計(jì)算AC的長，可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明:???四邊形ABCD是平行四邊形

；.AB=CD,AB/7CD.

VDF=CE,

，DF+DE=CE+ED,

即:FE=CD.

?.?點(diǎn)F、E直線CD上

；.AB=FE,AB//FE.

...四邊形ABEF是平行四邊形

又,.?BE_LCD,垂足是E,

ZBEF=90°.

四邊形ABEF是矩形.

⑵解:：四邊形ABEF是矩形O,

/AFC=90°,AB=FE.

VAB=6,DE=2,

，F(xiàn)D=4.

VFD=CE,

.\CE=4.

；.FC=10.

在RSAFD中，ZAFD=90°.

VZADF=45°,

.".AF=FD=4.

在RtZkAFC中，ZAFC=90°.

?*-AC=VAF2+FC2=2V29-

V點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，

.?.0為AC中點(diǎn)

在RtAAFC中，ZAFC=90°.O為AC中點(diǎn).

.".OF=1AC=V29.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是

解題的關(guān)鍵.

20.某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：售價(jià)

在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)，設(shè)該商場

決定把售價(jià)上漲x（0<X<20）元.

（1）售價(jià)上漲x元后，該商場平均每月可售出____________個(gè)臺燈（用含x的代數(shù)式表示）;

（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺

燈多少個(gè)？

（3）臺燈售價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售利潤最大？

【答案】（1）（600-1Ox）

（2）這種臺燈的售價(jià)應(yīng)定50元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺燈500個(gè)

（3）臺燈售價(jià)定為60元時(shí)，每月銷售利潤最大

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)”，即可解答；

（2）根據(jù)總利潤=單件利潤X數(shù)量，列出方程求解即可；

（3）設(shè)每月銷售利潤為W,根據(jù)總利潤=單件利潤X數(shù)量，列出函數(shù)表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式,

根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可解答.

【小問1詳解】

解：售價(jià)上漲X元后，該商場平均每月可售出（600-10x）個(gè)臺燈，

故答案為：（600—10x）：

【小問2詳解】

解：（40+x-30）（600-10x）=10000,

整理得：%2-50%+400=0，

解得：M=10,%=40（舍去），

???這種臺燈的售價(jià)為40+x=40+10=50（元），

銷售數(shù)量為600—l（）x=6（X）—10x10=500（個(gè)），

答：這種臺燈售價(jià)應(yīng)定50元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺燈500個(gè).

【小問3詳解】

解：設(shè)每月銷售利潤為W,

W=（40+x-30）（600-10x）

=-10x2+500x+6000

=-10（x-25）2+12250,

V-10<0,

當(dāng)x<25時(shí)，W隨x的增大而增大，

V0<x<20.

當(dāng)x=20時(shí)，售價(jià)為40+x=60（元），卬取最大值，此時(shí)W=12000,

答：臺燈售價(jià)定為60元時(shí)，每月銷售利潤最大.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正

確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程和函數(shù)表達(dá)式，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì).

21.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括

函數(shù)性質(zhì)的過程.以下是我們研究函數(shù)丁=1+|-2彳+6|+根性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請

按要求完成下列各小題.

X???-2-1012345???

y.??654a21b7???

（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中，W及表格中a,匕的值：,a=,

b=；

（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出該

函數(shù)的一條性質(zhì)：;

（3）已知函數(shù)y=3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

X

x+1—lx+61+m>—的解集.

x

【答案】（1）-2；3；4；（2）作圖見解析；當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>3時(shí)，

y隨x的增大而增大；（3）x<0或第>4

【解析】

【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出“，然后得到完

整解析式，再根據(jù)表格代入求解其余參數(shù)即可；

（2）根據(jù)作函數(shù)圖象的基本步驟，在網(wǎng)格中準(zhǔn)確作圖，然后根據(jù)圖象寫出一條性質(zhì)即可；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，用函數(shù)的思想求解即可.

【詳解】(1)由表格可知，點(diǎn)(3,1)在該函數(shù)圖象上，

???將點(diǎn)(3,1)代入函數(shù)解析式可得：1=3+|—2x3+6|+m,

解得：m=-2,

???原函數(shù)的解析式為：y=%+|—2元+6]-2；

當(dāng)x=l時(shí)，y=3；

當(dāng)％=4時(shí)，y=4；

故答案為：—2;3；4；

(2)通過列表-描點(diǎn)-連線的方法作圖，如圖所示；

根據(jù)圖像可知：當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)尢>3時(shí)，y隨x的增大而增大；

故答案為：當(dāng)x<3時(shí)，y隨]的增大而減小，當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大；

(3)要求不等式?￥+|-2%+6|+加>3的解集，

X

實(shí)際上求出函數(shù)y=x+|-2x+6|+機(jī)的圖象位于函數(shù)y=3圖象上方的自變量的范圍,