【新教材】1。1集合的概念教學(xué)設(shè)計

教材分析

由于空間時間維度的不同，同一個事物會有不同的解存，如:

在平面內(nèi)，所有到定點的距寓等于定長的點組成一個圓；而在

空間中,所有到定點的距窩等于定長的點組成一個球面。因此明

確研究對象、確定研究范圍是研究教學(xué)問題的基礎(chǔ)。為了簡潔、

準(zhǔn)確地表達(dá)教學(xué)對象及研究范圍，我們需要使用集合的語言和

工具。作為高中教學(xué)的第一節(jié)，本節(jié)主要通過實例研究研究集

合的含義，表示方法及表示方法，比較簡單。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

1.了解集合的含義;理解元素與集合的“屬于''與"不屬于”關(guān)氫

熟記常用教集專用符號,

2.深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其

解決有關(guān)問題,

3.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合。感受集合語

言的意義和作用。

教學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.教學(xué)抽象:集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2o逐聘推理:集合的互異性的辨析與應(yīng)用；

3-教學(xué)運算：集合相等時的參數(shù)計算，集合的描述法轉(zhuǎn)化為

列舉法時的運算；

4o數(shù)據(jù)分析：元素在集合中對應(yīng)的參數(shù)滿足的條件；

5o教學(xué)建模：用集合思想對實際生活中的對象進(jìn)行判斷與歸

類。

教學(xué)重難點

重點:集合的基本概念，集合中元素的三個特性，元素與集合的關(guān)

系,集合的表示方法,

難點：元素與集合的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎揪唧w問題中的

集合.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過程

-、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本2-5頁，思考并完成以下問題

lo集合和元素的含義是什么？各用什么字母表示？

2.集合有什么特性？

3.元素和集合之間有哪兩種關(guān)系？有什么符號表示？

4o常見的教集有哪些？用什么字母表示？

5o集合有哪兩種表示方法？它們?nèi)绾味x？

6o它們各自有什么特點？

7.它們使用什么符號表示？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單核，組內(nèi)可商量，最終選出代

表回答問題。

二、知銖歸納、槁理

1、元素與集合的概念

(1J元素：一般地，杷研究對象統(tǒng)稱為元素.元素常用小寫的

拉丁字母a,b,c,…表示.

(2)集合:把一些元素組成的逐生叫做集合(簡稱為差)、集合

通常用大寫的拉丁字母A,氏C,...表示.

(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的支庫是?樣的，就稱這兩個

集合是相等的.

C4J元素的特性:確定性、無序性、互異性、

2,元素與集合的關(guān)系

記

語言描述讀法

法

a是集合A中的元。屬于集合

屬于aeA

素A

不屬〃不是集合A中的。不屬于集

a^A

于元素合A

3、常用的教集及其記法

常用自然正整整教有理

實教集

的教教集教集集教集

集

記法NN*ZQR

4、列舉法

杷集合的元素一一列舉出來出來,并用花括號“[}''標(biāo)起來表示

集合的方法叫做列舉法,

5、描述法

（1J定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

（2）具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的二?

號及取值（變化）范圍,再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合

中元素所具有的共同特征.

三、典例分析、萃一反三

題型一集合的含義

例1考查下列每組對象，能構(gòu)成一個集合的是（）

①某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生；

②直角金林豕中橫、縱坐標(biāo)相等的點、;

③不小于3的自然教；

④2018年第23屆冬季奧運會金牌獲得者,

A、③④B、②③④C.②③D、②④

【答案】B

解題技巧：（判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)）

判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定

性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合;否則，不能組成

集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性,

跟蹤訓(xùn)練一

L給出下列說法：

①中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合；

②高一（1）班較屏的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合；

③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合；

④大于2013且小于2018的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合、

其中正確的有、（填序號）

【答嚎】①③

題型二元素與集合的關(guān)東

例2口）下列關(guān)京中，正確的有（）

①錯誤！WR；②錯誤!CQ;③一3|€N；④|一錯誤!|€Q。

A,1個B、2個C、3個D、4個

（2）集合A中的元素x滿足錯誤!CN,x€N,則集合A中的元素為

【答案】ruC(2)0,1,2

斛題技巧:判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出,只要判斷該元素在

已知集合中是否出現(xiàn)即可。

(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是

否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合

中的元素具有什么特征.

跟蹤訓(xùn)練二

2、已知集合A中有四個元素0,1,2,3,集合3中有三個元素0,1,

2,且元素a《B,則。的值為()

A.0B.1C、2D,3

【答曝】D

【解析】?/6Z€A,a$B,「.由元素與集合之間的關(guān)系知，。=3.

3、用迨當(dāng)?shù)姆柼羁眨?/p>

已知A=[x\x=3k+2fkSZ],B-{x\x-6m-1,m€Z},則有：

17A;-5A.

【答案】€任

【解析】令3左+2=17得，k=5EZo所以17WA。

令3女+2=-5得，k=—錯誤!￡Zo所以一5《Ao

題型三集合中元素的特性及應(yīng)用

例3已知集合A含有兩個元素〃和矯，若1CA,如實教〃的

值為、

【答案】-1

【解析】若1WA,則Q=1或?qū)?1,即。=±1。

當(dāng)。=1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，.?."1；

當(dāng)〃二-1時，集合A含有兩個元素1,-1,符合元素的互異性.「.

a=-1.

變式L［變條件］本例若將條件"1WA”改為"2€A',其他條件不

支，求實數(shù)。的值.

【答嚎】。=2,或a=錯誤!，或a=-錯誤！

【解析】若2€A,則Q=2或。2=2,即a=2,或〃=錯誤!，或〃=

一錯誤!.

變灰2、［變條件J本例若去掉條件“1WA',其他條件不變，則實

教。的取值范圍是什么？

【答案】存0且

【解析】若A中有兩個元素〃和屋，則由存〃2解得存（）且存］。

變式3,￡變條件1已知集合A含有兩個元素1和層，若、CA”,

求實數(shù)。的值.

【答案】〃二0

【解析】由可知，

當(dāng)a=1時，此時。2=[,與集合元素的互異性矛盾，所以

當(dāng)。=屆時，。=0或1(舍去人綜上可知,。二0。

解題技巧：(根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的3

個步驟)

/求解據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值

I

/檢驗々■隰據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進(jìn)行檢驗.

I

/z作答/葉寫出所有符合題意的字母的取值一

題型四用列舉法表示集合

例4用列率法表示下列集合.

門)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

(2)方程/二x的所有實數(shù)斛組成的集合；

(3)直線y=2x+l與y軸的支點所組成的集合.

【答案】見解析

【解析】(1)因為不大于10是指小于或等于10,非負(fù)是大于

或等于0的意思，所以不大于1。的非負(fù)偶數(shù)集是｛0,2,4,6,8,

10工

(2J方程二X的解是x=0或x=l或x=-1,所以方程的解組

成的集合為f0,l,一11、

(3)將x=0代人)=21+1,得y=l,即交疝是(0,1),

故兩直線的支點組成的集合是｛(0,1)｝.

解題技巧(用列舉法表示集合的三個步驟)

lo求出集合的元素；

2o杷元素----列率出來，且相同元素只能列舉一次；

3o用花括號括起來。

跟蹤訓(xùn)練四

4、若集合A=｛C,2),(3,4)，則集合A中元素的個數(shù)是()

A、1B、2C,3D、4

【答案】B

【解析】集合A=VI,2),(3,4)｝中有兩個元素(1,2)和(3,4)、

5、用列舉法表示下列給定的集合：

(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A

(2)方程/-9=0的實教根組成的集合3方。

(3)一次函數(shù)y=x+3與＞=一2x+6的圖象的支點組成的集合

D.

【答嗓】見解析

【解析】(1)因為大于1且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A

=廠2,3,4,5工

(2)方程/一9二。的實數(shù)根為一3,3,所以B二廠一3,3｝、

(3J由錯誤!得錯誤！

所以一次函數(shù)y=x+3與y=-2i+6的支點為(1,4J,所以D

=1(1,4)工

題型五用描述法表示集合

例5用描述法表示下列集合：

(1J故3除余1的正整數(shù)的集合；

(2J坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點的集合；

(3J大于4的所有偶數(shù)、

【答案】見斛折

【解析】(1)根據(jù)被除數(shù)=商*除教+余數(shù)，可如此集合表示為

{x\x=3n+1,n€N1、

(2)第一象F艮內(nèi)的點的橫、縱坐標(biāo)均大于零，故此集合可表示為

{(x,y)|x>0,y>0}、

(3)偶數(shù)可表示為2m〃WZ,又因為大于4,故欄3,從而用描述

法表示此集合為廣工|x=2H,〃€Z且底3工

解題技巧(描述法表示集合的2個步驟)

跟蹤訓(xùn)練五

6、用符號"L或"鏟填空:

2

(1JA=[x\x-x=0}f貝11A,-1A；

(2)(1,2)Rx,y)|y=x+l工

【答案】(1)WCC2)€

【解析】(1)易知A={0,1},故1€A,-1￡A；

(2J將x=l,y=2代人y=x+l,等式成立、

7、用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1J已知集合P={x|x=2幾,05〃32且〃€N}；

(2)拋物線)二12-21與工軸的公共點的集合；

(3)直線y=x上去掉原點的點的集合,

【答嚎】見解析

【解析】(U列率法：P={0,2,4工

(2)描述法:錯誤！。

或列舉法：{(0,0),(2,0)工

(3)描述法：{(x,y)\y=x,片0}.

題型六集合表示法的綜合應(yīng)用

例6(1)若集合A={x€R|〃N+2x+1=0,〃WR}中只有一

個元素，則〃=()

A,1B、2C,0D、0或1

(2)設(shè)錯誤！€錯誤!，貝」集合錯誤！中所有元素之積為.

【答案】(1)D(2)錯誤！

【解析】（1）當(dāng)。=0時，原方程變?yōu)?x+l=0,此時x=-錯誤!,

符合題意；

當(dāng)今0時，方程ax2+2x+1=0為一元二次方程，

/=4-4〃=0,即〃=1,原方程的解為工二-1,符合題意、

故當(dāng)。=0或〃=1時，原方程只有一個解，此時A中只有一個

元素、

（2）因為錯誤！€錯誤!，所以錯誤!2一錯誤!4一錯誤！=0,解得：。=一錯誤!，

當(dāng)〃二一錯誤!時，方程爐一錯誤!x+錯誤！=0的吏］別式/=錯誤！2-4X

錯誤！=錯誤！〉0,

所以集合錯誤!的所有元素的積為方程的兩極之積等于錯誤!.

解題技巧：（集合表示法中元素與集合的關(guān)余）

lo若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合

屬性是關(guān)鍵；

2o若已知集合是用列舉法表示的，把握元素的共同特征是關(guān)鍵；

跟蹤訓(xùn)練六

8、已知集合A={x|/-QX+匕=。},若A二12,3，求〃力的值.

【答嚎】見斛折

【解析】由A={2,3}知，方程x1—ax+b=0的兩極為2,3,由根

與余教的關(guān)豕得，錯誤!因此。=5/=6.

9、設(shè)集合3=錯誤!。試判斷元素1,2與集合3的關(guān)豕；用列舉

法表示集合Bo

【答案】見解析

【解析】（D當(dāng)x=l時,錯誤！=2WN.

當(dāng)x=2時，錯誤！=錯誤!《N.所以1W3,2cB.

（2J二?錯誤！WN,x€N,「.2+x只能取2,3,6.

「.X只能取0,1,4/.B=f0,1,4Jo

題型七集合含義的拓展

例7用描述法表示拋物線y=/+1上的點構(gòu)成的集合、

【答案】見解析

【解析】拋物線y=/+1上的