第七章離散控制系統(tǒng)

一、本章重點

1.z變換的概念、公式、定理及z變換方法；

2.系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)、系統(tǒng)輸出信號的z變換;3.離散系統(tǒng)穩(wěn)定性及其穩(wěn)態(tài)誤差。二、本章難點

1.復(fù)雜系統(tǒng)z變換方法；

2.模擬化設(shè)計與離散化設(shè)計方法;三、本章考點

1.系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；

2.輸出信號的z變換;3.判定離散系統(tǒng)穩(wěn)定性、求其穩(wěn)態(tài)誤差。AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正7.1離散系統(tǒng)的基本概念一、離散/采樣系統(tǒng)1、線性系統(tǒng)線性連續(xù)系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)采樣/脈沖控制系統(tǒng)（信號為脈沖序列）數(shù)字系統(tǒng)/計算機控制系統(tǒng)（信號為數(shù)字序列）2、離散系統(tǒng)的特點（P289）

采樣系統(tǒng)中一處或多處的信號是脈沖序列或數(shù)字序列。因此，離散系統(tǒng)中必須具備的兩個特殊環(huán)節(jié)。采樣器（采樣開關(guān)）：連續(xù)信號保持器：脈沖序列采樣恢復(fù)脈沖序列

連續(xù)信號

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正采樣器保持器0tu（t）連續(xù)信號t0u*（t）脈沖序列信號0tuh（t）階梯信號當采樣頻率f足夠大時：u*（t）

uh（t）

u（t）

3、計算機控制系統(tǒng)

1）一種典型的計算機控制系統(tǒng)

A/D微機D/A對象測量裝置AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正2）計算機控制系統(tǒng)中必須具備的兩個重要環(huán)節(jié)A/D轉(zhuǎn)換器（相當于采樣器）：采樣編碼（數(shù)字量）D/A轉(zhuǎn)換器（相當于保持器）：解碼復(fù)現(xiàn)4、研究方法：z

變換方法建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

7.2信號采樣與保持一、采樣過程及其數(shù)學(xué)描述1、采樣過程：連續(xù)信號經(jīng)過采樣器采樣后變換成離散信號的過程。采樣器是把連續(xù)信號變?yōu)槊}沖序列的裝置，也稱為采樣開關(guān)。2、周期為T的理想單位脈沖序列δT（t）定義為：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正而連續(xù)信號e（t）經(jīng)過采樣器出來的離散信號可以描述為：

習(xí)慣上認為e(t)只有在開始采樣以后才有意義，因此，t<0時的信號為零，即：故經(jīng)過采樣器出來的離散信號為：

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正3、采樣信號的拉變換根據(jù)拉氏變換的定義：故AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正4、采樣信號的頻譜分析設(shè)連續(xù)信號的傅氏變換為，則采樣信號的傅氏變換為：圖(a)連續(xù)信號頻譜由于連續(xù)信號的頻譜是單一的連續(xù)頻譜，其最大角頻率為，如圖（a）所示。而采樣信號的頻譜則是以采樣角頻率為周期的無窮多個頻譜之和，當>2時,則采樣頻譜如圖（b）所示。

圖(b)采樣信號頻譜>2

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正當<2時,則采樣頻譜如下圖（c）所示。此時,采樣頻譜中的補充分量相互交疊在一起,采樣器的輸出信號將發(fā)生畸變,無法再恢復(fù)到原來的連續(xù)信號的頻譜。圖(c)采樣信號頻譜<2由此可見，要想使連續(xù)信號不失真地從采樣信號中恢復(fù)過來，則必須滿足條件：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正Shannon定理：如果采樣器的輸入信號e（t）的頻譜具有有限帶寬，并且有直到ωh的頻率分量，則只要采樣周期T滿足：即≥2那么，信號e（t）就可以完全不失真地從采樣信號e*（t）中恢復(fù)過來。采樣周期T的選?。焊鶕?jù)Shannon定理，T應(yīng)該越?。é豷

越高），信息丟失的內(nèi)容就越少，控制效果越好。但是，T太小會增大計算量。所以，在工程設(shè)計中時域中，取：T=ts/40，或

T=tr/10；頻域中，?。害豷=10ωc，即T=π/5ωc

5、采樣定理（Shannon定理）AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正二、信號恢復(fù)（保持）1、信號的輸出形式直接輸出數(shù)字信號；輸出連續(xù)信號（需要保持器將數(shù)字信號恢復(fù)成連續(xù)信號）。a、工作原理（1）、零階保持器

2、保持器的類型

b、輸出表達式：

c、傳遞函數(shù)：

d、頻率特性AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正（2）、一階保持器

a、工作原理

b、輸出表達式：（3）、信號保持器的特性a、低通濾波特性；b、相角遲后特性；c、時間遲后特性。

c、傳遞函數(shù)：

d、頻率特性AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正7.3z變換理論1、直接定義一、z變換定義對于離散信號序列：

定義它的z變換為：

其中，z為復(fù)變量，且上式為無窮級數(shù)收斂，即|z-1|<1。信號e*(t)的z變換記為：信號E(z)的z反變換記為：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正例題：求幾何序列：的z變換。解：根據(jù)z變換的定義，有：

幾何意義：幾何序列e*(t)在z平面上，圓|z|=|a|以外都是可以做z變換的（在圓|z|=|a|以內(nèi)則不可以）。z=0為E(z)的零點，z=a為E(z)的極點。AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正2、從拉氏變換導(dǎo)出定義根據(jù)拉氏變換定義，有：

由于：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正則采樣信號e*（t）的z變換定義為：二、z變換的方法級數(shù)求和法、部分分式法、留數(shù)計算法等。1、級數(shù)求和法（z變換定義法）例題1、試求取單位階躍函數(shù)1（t）的z變換。AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正解：例題2、試求取理想脈沖序列δT（t）的z變換。解：(注意：脈沖序列δ（t）的z變換為1)AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正由上述兩個例題可知：相同的z變換是與相同的采樣函數(shù)相對應(yīng)的，但不一定與相同的連續(xù)函數(shù)相對應(yīng)。例題3、試求衰減指數(shù)函數(shù)的Z變換。

解：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正例題4、試求取單位斜坡函數(shù)t的z變換。解：2、部分分式法（待定系數(shù)法）求法：已知e（t），求E（z）；

已知E（s），求E（z）。

如：P298例題7-7等。AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正三、Z變換的性質(zhì)

1、線性定理

若：E1（z）=Z[e1（t）]，E2（z）=Z[e2（t）]，

E（z）=Z[e（t）]，a為常數(shù)，則：Z[e1（t）+e2（t）]=E1（z）+E2（z）

Z[ae（t）]=aE（z）2、實數(shù)位移定理若：E（z）=Z[e（t）]，則：

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正3、復(fù)數(shù)位移定理若：E（z）=Z[e（t）]，則：

4、初值定理則：

若：E（z）=Z[e（t）]，且存在，5、終值定理則：若：E（z）=Z[e（t）]，且存在，函數(shù)序列e（Kt）（k=0，1，2，…）均為有限值，

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正6、卷積定理四、z反變換（略講）

則卷積定理描述為：

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正7．4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義：離散系統(tǒng)是將輸入序列r（n）變換為輸出序列c（n）的一種變換關(guān)系，數(shù)學(xué)表達為：其中：n=0，±1，±2，±3，…，r（n）和c（n）可以理解為t=nT時系統(tǒng)的輸入序列r（nT）和輸出序列c（nT），T為采樣周期。與連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)也有線性和非線性、定常與時變之分。以分析線性定常離散系統(tǒng)為主。

差分方程、脈沖傳遞函數(shù)、離散狀態(tài)空間表達形式。AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正2、線性常差分方程的建立及其求解3、脈沖傳遞函數(shù)

（1）脈沖傳遞函數(shù)定義

聯(lián)想傳遞函數(shù)的定義，并設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如下圖所示，

定義線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比：（1）、迭代法；（2）、z變換方法。

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正同樣地，線性定常離散系統(tǒng)的采樣輸出為：

而實際系統(tǒng)的輸出往往是連續(xù)信號，此時可在輸出端虛設(shè)一個與輸入采樣開關(guān)同步、周期相同的理想采樣開關(guān)，如下圖所示。

（2）脈沖傳遞函數(shù)意義系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G（z）等于系統(tǒng)加權(quán)序列K（nT）的Z變換，即：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正（3）脈沖傳遞函數(shù)求取方法

1）已知差分方程，求脈沖傳遞函數(shù)

第一步：令初始條件為零，對方程兩邊進行z變換，化成代數(shù)方程；第二步：根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義式，求出G（z）。例題1：設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為：

試求脈沖傳遞函數(shù)G（z）。解：利用實數(shù)位移定理，對方程兩邊進行z變換，并令：

c（1）=c（0）=0，r（0）=0，則有：即：

例題2：教材P313：例7-16。

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正2）已知連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，求脈沖傳遞函數(shù)

第一步：對連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G（s）用部分分式法展開；第二步：查拉氏變換與s變換對照表（P298）求出脈沖傳遞函數(shù)。例如教材P313：例7-17。

4、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

（1）采樣拉氏變換的重要性質(zhì)

1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性：

2）若采樣函數(shù)的拉氏變換E*（s）與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換G（s）相乘以后再離散化，則E*（s）可以從離散符號中提出來：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情況，如下圖（a）所示：

設(shè)兩個連續(xù)環(huán)節(jié)G1（s）和G2（s）的脈沖傳遞函數(shù)分別為G1（z）和G2（z），如上圖（a）所示，則開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：上述結(jié)論可以推廣到n個環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情況。

G（z）=G1（z）G2（z）AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)的情況，如下圖（b）所示：

由于在設(shè)兩個連續(xù)環(huán)節(jié)G1（s）和G2（s）之間沒有采樣開關(guān)，則它們串聯(lián)后的等效傳遞函數(shù)為

G1（s）G2（s）。此時，開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：G（z）=G1G2（z）其中，符號G1G2（z）為G1（s）和G2（s）乘積的z變換。同樣地，此結(jié)論可以推廣到n個環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)的情形。顯然，G1（z）G2（z）≠G1G2（z）AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正例題：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有兩個連續(xù)環(huán)節(jié)，分別在兩種串聯(lián)情況下的脈沖傳遞函數(shù)。解:①串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時，如下圖所示：

②串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)時，如下圖所示：

顯然，AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正3）、零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況，如下圖所示：

4）、連續(xù)信號進入連續(xù)環(huán)節(jié)的情況，如下圖所示：

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正（3）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

情形1：總輸入端設(shè)有采樣開關(guān)。設(shè)兩個環(huán)節(jié)并聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖如下圖（a）所示，可將它等效為下圖（b）所示：（a）（b）AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正因為：所以：情形2：部分輸入支路設(shè)有采樣開關(guān)、部分支路輸入為連續(xù)信號。

如：設(shè)兩個環(huán)節(jié)并聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：因為：C（z）=C1（z）+C2（z）而C1（z）=G1（z）·R（z）

C2（z）=G2R（z）所以：C（z）=G1（z）·R（z）+G2R（z）AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正5、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

由于在采樣系統(tǒng)中，采樣開關(guān)設(shè)置在系統(tǒng)中的位置可以不同，因此，閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式。下面討論兩種有代表性的閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。1）給定輸入、誤差采樣時，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

例題1：某閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖（1）所示。

圖（1）解：因為AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正所以：故---輸入信號作用下誤差脈沖傳遞函數(shù)。

又即---輸入信號作用下閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正例題3：閉環(huán)離散系統(tǒng)如下圖（2）所示。

同上分析方法，有：

圖（2）例題2：教材P318：例題7-20。AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正2）擾動輸入、誤差采樣時，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)設(shè)在圖（2）所示閉環(huán)離散系統(tǒng)中，前向通道G1與G2之間有擾動輸入，如圖（3）所示。（3）n（t）圖（3）閉環(huán)采樣系統(tǒng)有：AutomaticControlTheory§6.線性離散系統(tǒng)分析與校正例題4求下圖所示閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)φ（z）。

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