PAGE21-上海市松江區(qū)2025屆高三數(shù)學12月一?？荚囋囶}（含解析）一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知集合，，則_____【答案】【解析】【分析】求解不等式化簡集合A，再由交集的運算性質(zhì)得答案．【詳解】由集合A得,所以故答案為【點睛】本題考查了交集及其運算，是基礎題．2.若角的終邊過點，則的值為_____________.【答案】【解析】【分析】由題意可得x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由隨意角的三角函數(shù)的定義可得，由誘導公式化簡，代入即可求解．【詳解】解：∵角α的終邊過點P（4，﹣3），則x＝4，y＝﹣3，r＝5，，．【點睛】本題主要考查隨意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題．3.設，則______.【答案】1.【解析】分析：首先求得復數(shù)z，然后求解其模即可.詳解：由復數(shù)的運算法則有：，則：.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則，復數(shù)模的計算等學問，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力.4.的綻開式中項的系數(shù)為_______．【答案】40【解析】【分析】依據(jù)二項定理綻開式，求得r的值，進而求得系數(shù)．【詳解】依據(jù)二項定理綻開式的通項式得所以，解得所以系數(shù)【點睛】本題考查了二項式定理的簡潔應用，屬于基礎題．5.已知橢圓的左、右焦點分別為、，若橢圓上的點滿意，則________【答案】【解析】【分析】依據(jù)橢圓定義，得到，再由題中條件，即可得出結果.【詳解】由題意，在橢圓中，，又，所以，因此.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓上的點到焦點的距離，熟記橢圓的定義即可，屬于基礎題型.6.若關于、的二元一次方程組無解，則實數(shù)________【答案】【解析】【分析】依據(jù)方程組無解，得到直線與直線平行，依據(jù)兩直線平行的充要條件，即可求出結果.【詳解】因為關于、的二元一次方程組無解，所以直線與直線平行，所以，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查由方程組無解求參數(shù)，熟記直線與直線平行的判定條件，敏捷運用轉化與化歸的思想即可，屬于?？碱}型.7.已知向量，，若向量∥，則實數(shù)________【答案】【解析】【分析】先由題意，得到，依據(jù)向量共線的坐標表示，得到，求解，即可得出結果.【詳解】因為向量，，所以，又∥，所以，即，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查由向量共線求參數(shù)，熟記向量共線坐標表示即可，屬于?？碱}型.8.已知函數(shù)存在反函數(shù)，若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則函數(shù)的圖像必經(jīng)過點________【答案】【解析】【分析】先由題意，得到，推出函數(shù)的圖像過點，其反函數(shù)過點，求出，得到，進而可求出結果.【詳解】因為函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以，因此，即函數(shù)的圖像過點又存在反函數(shù)，所以的圖像過點，即，所以，即函數(shù)的圖像必經(jīng)過點.故答案為：【點睛】本題主要考查反函數(shù)的應用，熟記反函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9.在無窮等比數(shù)列中，若，則的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】先設等比數(shù)列的公比為，依據(jù)題意，得到且，，分別探討，和，即可得出結果.【詳解】設等比數(shù)列公比為，則其前項和為：，若時，，若時，，因此且，，即，所以當時，；當時，.因此，的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查由等比數(shù)列的極限求參數(shù)的問題，熟記極限的運算法則，以及等比數(shù)列的求和公式即可，屬于?？碱}型.10.函數(shù)的大致圖像如圖，若函數(shù)圖像經(jīng)過和兩點，且和是其兩條漸近線，則________【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)圖像，得到函數(shù)關于對稱，推出，化原函數(shù)為，再由函數(shù)圖像所過定點，即可求出參數(shù)，得出結果.【詳解】由圖像可得：函數(shù)關于對稱，所以有，即，因此，又函數(shù)圖像經(jīng)過和兩點，所以，解得：，因此，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查由函數(shù)圖像求參數(shù)，熟記函數(shù)的對稱性，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可，屬于?？碱}型.11.若實數(shù)，滿意，，則實數(shù)的最小值為________【答案】【解析】【分析】先由題意，依據(jù)基本不等式，得到，得出，再由，得到，依據(jù)得，令，依據(jù)題意得到，由函數(shù)單調(diào)性，得到的最值，進而可求出結果.【詳解】因為，，所以，即，當且僅當時，取等號；因此，又，所以，即，由得，所以，令，因為，當且僅當時取等號.所以，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，因此.即實數(shù)的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查由基本不等式求最值，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.12.記邊長為1的正六邊形的六個頂點分別為、、、、、，集合，在中任取兩個元素、，則的概率為________【答案】【解析】【分析】先以的中點為坐標原點，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，得到各頂點坐標，列舉出集合中全部元素，以及滿意條件的組合，依據(jù)古典概型的概率計算公式，即可求出結果.【詳解】以的中點為坐標原點，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為正六邊形的邊長為，所以易得：、、、、、，因此，，，，，，，，，，，，，，，，，；共個向量.因此中含有個不同的元素.又在中任取兩個元素、，滿意的有：與或；與或；與或；與或；與或；與或；與或；與或；與或；與或；與或；與或；共種選法，又由、的隨意性，因此滿意的狀況共有：種；又在中任取兩個元素、，共有種狀況；因此，滿意的概率為：.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型，熟記概率計算公式即可，屬于?？碱}型.二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.已知是平面的一條斜線，直線，則（）A.存在唯一的一條直線，使得 B.存在無限多條直線，使得C.存在唯一的一條直線，使得∥ D.存在無限多條直線，使得∥【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，作出圖形，結合直線與直線，直線與平面位置關系，即可得出結果.【詳解】因為是平面的一條斜線，直線，畫出圖形如下：明顯在平面內(nèi)必存在直線與直線垂直，且平面內(nèi)有多數(shù)條直線與直線平行，故存在無限多條直線，使得.故選：B【點睛】本題主要考查直線與直線位置關系的判定，熟記線面，線線位置關系即可，屬于?？碱}型.14.設，則“”是“、中至少有一個數(shù)大于1”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件與必要條件的概念，干脆推斷，即可得出結果.【詳解】若，則、中至少有一個數(shù)大于1，即“”是“、中至少有一個數(shù)大于1”的充分條件，反之，若“、中至少有一個數(shù)大于1”，則不肯定大于，如：；因此，“”是“、中至少有一個數(shù)大于1”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查命題的充分不必要條件，熟記充分條件與必要條件的概念即可，屬于?？碱}型.15.若存在，使對隨意的恒成立，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】B【解析】【分析】先令，由題意，得到，推出，三式相加得，依據(jù)肯定值不等式的性質(zhì)定理，得到，再由題中存在，使結論成立，可得：只需，進而可得出結果.【詳解】因為對隨意的恒成立，令，則只需，即，所以，所以以上三式相加可得：，由肯定值不等式的性質(zhì)定理可得：，因此只需即.故選：B【點睛】本題主要考查求最值的問題，熟記肯定值不等式的性質(zhì)，以及不等式的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.16.已知集合，集合，定義為中元素的最小值，當取遍的全部非空子集時，對應的的和記為，則（）A.45 B.1012 C.2036 D.9217【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意先確定可能取的值為，再得到對應的個數(shù)，依據(jù)錯位相減法，即可求出結果.【詳解】因為集合，集合，為中元素的最小值，當取遍的全部非空子集，由題意可得：可能取的值為，則共有個；個；個；個；……，個；因此，所以，兩式作差得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查含個元素的集合的子集的應用，以及數(shù)列的求和，熟記錯位相減法求和，會求集合的子集個數(shù)即可，屬于常考題型.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17.如圖，圓錐的底面半徑，高，點是底面直徑所對弧的中點，點是母線的中點.（1）求圓錐的側面積和體積；（2）求異面直線與所成角的大小.（結果用反三角函數(shù)表示）【答案】（1）側面積，體積；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓錐的側面積公式，以及體積公式，結合題中數(shù)據(jù)，即可得出結果；（2）先由題意，得到，，兩兩垂直，以為坐標原點，以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，分別求出，，依據(jù)向量夾角公式，即可求出結果.【詳解】（1）因為圓錐的底面半徑，高，所以其母線長，因此圓錐的側面積為；體積為：；（2）由題意，易得：，，兩兩垂直，以為坐標原點，以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，又點是母線的中點，所以，因此，，記異面直線與所成角的大小為，所以，因此，異面直線與所成角的大小為.【點睛】本題主要考查求圓錐的側面積與體積，以及異面直線所成的角，熟記圓錐的側面積公式與體積公式，以及空間向量的方法求異面直線所成的角即可，屬于?？碱}型.18.已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）在△中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，、、成等差數(shù)列，且，求邊的長.【答案】（1）最大值為1；（2）.【解析】【分析】（1）先將函數(shù)解析式化簡整理，得到，依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最大值；（2）先由題意得到，求出；由、、成等差數(shù)列，得:；由得，再由余弦定理，即可得出結果.【詳解】（1），由可得，因此，所以；（2）由得，即，又，所以，因此，所以；由、、成等差數(shù)列，可得:；又，所以，即，由余弦定理可得：，解得：.【點睛】本題主要考查求正弦型函數(shù)的最大值，以及解三角形，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及余弦定理即可，屬于?？碱}型.19.汽車智能協(xié)助駕駛已得到廣泛應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結合車速轉化為所需時間），當此距離等于報警距離時就起先報警提示，等于危急距離時就自動剎車，某種算法（如下圖所示）將報警時間劃分為4段，分別為打算時間、人的反應時間、系統(tǒng)反應時間、制動時間，相應的距離分別為、、、，當車速為（米/秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表（其中系數(shù)隨地面濕滑成都等路面狀況而改變，）.階段0、打算1、人的反應2、系統(tǒng)反應3、制動時間秒秒距離米米（1）請寫出報警距離（米）與車速（米/秒）之間的函數(shù)關系式，并求時，若汽車達到報警距離時人和系統(tǒng)均不實行任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間（精確到0.1秒）；（2）若要求汽車不論在何種路面狀況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時？【答案】（1），最短時間秒（2）汽車的行駛速度應限制在米/秒，合72千米/小時【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，得到，結合題中數(shù)據(jù)，即可得出函數(shù)關系式；再由，得到汽車撞上固定障礙物的最短時間，依據(jù)基本不等式，即可求出最值；（2）依據(jù)題意，得到當時，報警距離最大，推出，求解即可得出結果.【詳解】（1）由題意：報警距離，當時，，則汽車撞上固定障礙物的最短時間為：秒；（2）由題意可得：，因為，所以當時，報警距離最大，因此，只需：，解得：，所以汽車的行駛速度應限制在米/秒，合72千米/小時.【點睛】本題主要考查函數(shù)模型的應用，以及基本不等式的應用，熟記基本不等式，以及不等關系即可，屬于?？碱}型.20.設拋物線的焦點為，經(jīng)過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.（1）若，求點坐標；（2）若，求證：原點總在以線段為直徑圓的內(nèi)部；（3）若，且直線∥，與有且只有一個公共點，問：△的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，最小值2，.【解析】【分析】（1）由拋物線方程以及拋物線定義，依據(jù)求出橫坐標，代入，即可得出點的坐標；（2）設，，設直線的方程是：，聯(lián)立直線與拋物線方程，依據(jù)韋達定理，以及向量數(shù)量積運算，得到，推出恒為鈍角，即可得結論成立；（3）設，則，由得，推出直線的斜率．設直線的方程為，代入拋物線方程，依據(jù)判別式等于零，得．設，則，，由三角形面積公式，以及基本不等式，即可求出結果.【詳解】（1）由拋物線方程知，焦點是，準線方程為，設，由及拋物線定義知，，代入得，所以點的坐標或（2）設，，設直線的方程是：，聯(lián)立，消去得：，由韋達定理得，所以，故恒為鈍角，故原點總在以線段AB為直徑的圓的內(nèi)部．（3）設，則，因為，則，由得，故．故直線的斜率．因為直線和直線平行，設直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意，得．設，則，，，當且僅當，即時等號成立，由得，解得或（舍），所以點的坐標為，.【點睛】本題主要考查求拋物線上的點，以及拋物線中三角形面積的最值問題，熟記拋物線的標準方程，以及拋物線的簡潔性質(zhì)即可，屬于?？碱}型，但計算量較大.21.已知數(shù)列滿意：①（）；②當（）時，；③當（）時，，記數(shù)列的前項和為.（1）求，，的值；（2）若，求的最小值；（3）求證：的充要條件是（）.【答案】（1），或1，或1；（2）115；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）先依據(jù)題中條件，求出，，，再結合題意，即可得出結果；（2）先由題意，得到，當時，，由于，所以或，分別