專(zhuān)題02直線(xiàn)與平面所成角（線(xiàn)面角)（含探索性問(wèn)題）(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求線(xiàn)面角 2題型二：已知線(xiàn)面角求參數(shù) 5題型三：求線(xiàn)面角最值（范圍） 8三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 10一、必備秘籍1、斜線(xiàn)在平面上的射影：過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)垂足及斜足的直線(xiàn)叫做斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影.注意：斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線(xiàn)的射影上.如圖，直線(xiàn)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一條斜線(xiàn)，斜足為SKIPIF1<0，斜線(xiàn)上一點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0是斜線(xiàn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影.2、直線(xiàn)和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線(xiàn)與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線(xiàn)與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0；（2）直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們的所成角為SKIPIF1<0；（3）直線(xiàn)與平面平行（或直線(xiàn)在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.結(jié)論：直線(xiàn)與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0.3、向量法設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.二、典型題型題型一：求線(xiàn)面角1．（22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0的中點(diǎn)為M，過(guò)M的直線(xiàn)分別與直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于P，Q，求直線(xiàn)PQ與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2．（22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)SKIPIF1<0處，SKIPIF1<0．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．3．（23·24·柳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是正三角形，側(cè)面SKIPIF1<0是菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.4．（23·24上·南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為底面圓圓心，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0是矩形．

(1)若點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．5．（23·24上·浙江·一模）如圖，多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．

(1)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0；(2)求直線(xiàn)SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．題型二：已知線(xiàn)面角求參數(shù)1．（22·23下·撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在幾何體ABCDEF中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，側(cè)面ABFE為正方形，SKIPIF1<0，M為AB的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若直線(xiàn)MF與平面DME所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)λ的值．2．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在線(xiàn)段SKIPIF1<0上（異于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.3．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線(xiàn)段SKIPIF1<0上的一點(diǎn).

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0點(diǎn)不是線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求三棱錐SKIPIF1<0體積.4．（22·23·廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形．如圖，四邊形SKIPIF1<0為箏形，其對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折到SKIPIF1<0的位置，形成三棱錐SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（22·23·萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得SKIPIF1<0，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．6．（22·23下·荊門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線(xiàn)為SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.題型三：求線(xiàn)面角最值（范圍）1．（22·23下·樂(lè)山·三模）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P滿(mǎn)足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則直線(xiàn)AP與平面SKIPIF1<0所成角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（21·22下·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，C是以SKIPIF1<0為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為正三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)且異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線(xiàn)為直線(xiàn)l，點(diǎn)Q為直線(xiàn)l上動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的取值范圍.3．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面SKIPIF1<0為等腰梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍．4．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為1，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線(xiàn)段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.5．（22·23·海口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（22·23下·樂(lè)山·三模）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P滿(mǎn)足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則直線(xiàn)AP與平面SKIPIF1<0所成角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（23·24上·亳州·階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為1的正方形SKIPIF1<0及其內(nèi)部繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，SKIPIF1<0長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長(zhǎng)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0與C在平面SKIPIF1<0的同側(cè)，則直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在SKIPIF1<0上，且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，當(dāng)直線(xiàn)PN與平面ABC所成的角最大時(shí)的正弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（22·23上·江西·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線(xiàn)段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值取最大值時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題5．（22·23上·廈門(mén)·期末）正方體SKIPIF1<0中，E為線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為．6．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，H為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則直線(xiàn)CD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍為7．（21·22·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，AB＝3，M是側(cè)面SKIPIF1<0內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足SKIPIF1<0，若AM與平面SKIPIF1<0所成的角SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.8．（22·23上·寧波·階段練習(xí)）已知圓柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為.9．（21·22下·綿陽(yáng)·期末）在正方體SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，點(diǎn)Р在側(cè)面SKIPIF1<0(包括邊界)上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足SKIPIF1<0SKIPIF1<0記直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是三、解答題10．（21·22下·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，C是以SKIPIF1<0為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為正三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)且異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線(xiàn)為直線(xiàn)l，點(diǎn)Q為直線(xiàn)l上動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的取值范圍.11．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面SKIPIF1<0為等腰梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍．12．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為1，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線(xiàn)段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.13．（22·23·?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.14．（23·24上·沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且M是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.15．（23·24上·東莞·階段練習(xí)）如圖1，梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，將梯形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，得空間幾何體SKIPIF1<0，如圖2．(1)在圖2中，若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)在圖2中，若SKIPIF1<0，在線(xiàn)段SKIPIF1<0上求一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大，并求出這個(gè)最大值．16．（23·24上·河?xùn)|·期中）如圖，在四棱線(xiàn)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上（異于點(diǎn)SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，求直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．17．（23·24上·廣東·階段練習(xí)）已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為4（圖1），SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，以SKIPIF1<0為棱將正方形SKIPIF1<0